2019年第十届世界数学团体锦标赛少年组试题（含答案）

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1、2019 WMTC 少年少年组个人赛第一轮组个人赛第一轮 Intermediate Level Individual Round 1 1 用 x表示不超过 x 的最大整数， 则 sin 45 cos45cos30 _. 2 若 1 45 + 1 56 + 1 67 + 1 1nn 8， 则 n=_. 3在一个可以改变容积的密闭容器内，装有质量为 m 的某种气 体，当改变容积 V 时，气体的密度也随之改变，与 V 在一定范围 内满足 m V ， 它的图象如图所示， 则容器内气体的质量m=_kg. 4已知55221xxx，则x_. 5有两组数 a1，a2，a3，a4，a5，a6和 b1，b2，b3

2、，它们的平均 数分别是 20 和 60，则 141 aab， 252 aab， 363 aab这三个数的 平均数是_. 1 6已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AOB 的 面积是9， COD的面积是4， 则四边形ABCD面积的最小值是_. 7已知关于 x 的方程 2 2 210 2 c xcxc 有实数根，则该方 程有一个负根的概率是_. 8如图，AB，CD，DE 分别是正 n 边形的三条边，AC 与 BE 交 于点 M，AMB=45，则 n=_. 2019 WMTC 少年少年组个人赛第组个人赛第二二轮轮 Intermediate Level Individual R

3、ound 2 9已知关于x的不等式组 30 20 xm nx 的解集是13x ，则 2019 ()mn_. 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为起点，M 为终点画一条折线段，其中 A1(1,0)， A2(1,1)，A3(-1,1)，A4(-1,-1)，A5(2,-1)，,若折线段 OA1A2A3An-1AnM 的长度是 2019， 则点 M 的坐标是 _. 11如图，将正方形 ABCD 绕顶点 A 逆时针旋转 45到 AEFG 的 位置，CD 和 EF 交于点 M.若 DM=5，则 CM =_. 12已知关于 x 的方程 22 109360 xxnn的根都是整数，则正 整数

4、n=_. 2 2019 WMTC 少年少年组个人赛第组个人赛第三三轮轮 Intermediate Level Individual Round 3 13已知 n 是自然数， 1013 222n是完全平方数，则 n=_. 14若关于 x 的方程 2 (7)(8)(11215 )560kk xk x的解都是整 数，则满足条件的整数 k 有_个. 3 2019 WMTC 少年少年组组接力接力赛第一轮赛第一轮 Intermediate Level Relay Round 1 1-A 已知正数 x，y，z 满足 xyz=1，则 x +y +z 的最小值是_. 4 2019 WMTC 少年少年组组接力接力

5、赛第一轮赛第一轮 Intermediate Level Relay Round 1 1-B 设前面队友传来的答案是 T 设 i x=0， 1， 或-2 （i=1， 2， 3， ， n） ， 且满足 12 222 12 673 T T n n xxx xxx , , , , 则 333 12n xxx=_. 4 2019 WMTC 少年少年组组接力接力赛第赛第二二轮轮 Intermediate Level Relay Round 2 2-A 已知关于 x 的方程 2 2 21470axaxa的根都是整数， 则实数 a的值有_个. 5 2019 WMTC 少年少年组组接力接力赛第赛第二二轮轮 In

6、termediate Level Relay Round 2 2-B 设前面队友传来的答案是 T 如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，DEAC，DFBC. 若 AC=2BC，BF=T，则 AE=_. 5 2019 WMTC 少年少年组组接力接力赛第赛第三三轮轮 Intermediate Level Relay Round 3 3-A 从 2， 3， 5， 7 中取 3 个数组成三位数abc， 若 a b c 能整除abc， 则 a_. 6 2019 WMTC 少年少年组组接力接力赛第赛第三三轮轮 Intermediate Level Relay Round 3 3-B 设前面队友

7、传来的答案是 T 如图，将矩形 ABCD 绕点 C 旋转 90到矩形 FGCE 的位置，图中 的圆弧是点 A 的运动轨迹.已知图中阴影部分的面积是 T， 矩形 ABCD 的面积是 T1，则 DG=_.（圆周率取 3） 6 2019 WMTC 少年少年组组团体团体赛赛 Intermediate Level Team Round 1若35 ab m， 11 2 ab ，则 m=. 2如图，ABC 中，AC=CB=AD，BD=DC，DBA=2DAB， DAC=2DBC，则ADC=. 3已知 2,3,4 abbcca abbcca ，则 a=. 4如图，抛物线 2 2yx与直线y kxb 交于点 A(

8、-3，7)和 B(2，2)，与 y 轴交于 C 点，则ABC 的面积是. 5用 x表示不超过 x 的最大整数，若123xx，则 x = . 6已知 x 是自然数，若 x+178 和 x-291 都是完全立方数，则 x =. 7 7已知ABC 的三条边长分别是 a，b，c，并且 22 5445 aa ba aa ，则ABC 面积的最大值是. 8方程 xy=2019(x+y)的正整数解(x，y)有组. 9如图，l1l2l3，且 l1和 l2间的距离是 5，l2和 l3间的距离是 7，若正方形有三个顶点分别在三条直线上，则此正方形的面积最大 是. 10若四个连续自然数 a，b，c，d 满足 3333

9、 abcd，则 abcd =. 11已知 , 是关于 x 的一元二次方程 2 (1)(1)100mxmx的 两个有理根，并且( 1)(1)4m ，则 22 =. 12如图，曲线 k y x 0 x 与等边AOB 的边 OA、AB 分别交于 C、D 两点.若 OA=6，OC=3BD，则实数 k=. 13如图，以正八边形的两条边为边，向正八边形内作正方形， 其中阴影部分的面积是53 2，则正八边形的面积是. 14如果二次函数 f(x)= 2 0axbxc a 满足： （1）f(-1)=0；（2）x f(x) 2 1 2 x ， 则 f(x)的最小值是. 15 已知正数 a, b, c 满足 3 4

10、abc， 则 333333333 abbcca 的最小值是. 16在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（-1,2），B（1,4），点 P 在 x 轴上，则当APB 取得最大值时，点 P 的坐标是. 17如图，正方形 ABCD 的边长是 4，AEED，AF2FB，M 是EAF 的内心，则 MC=. 18将真分数 c a 化成小数是 0.15 k 个数字 ，k是整数，则 a 的最小 值是. 19如图，在长方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，点 B 关于 AE 的对称点 G 在 CD 上；F 是 CD 上一点，点 D 关于 AF 的对称点 H 在 AG 上.若 AB=5，BC=3， 则 CE+

11、FH=. 20 已知 , a b是正整数， 22 ab除以ab， 商q余r， 并且 2 1831qr， 则满足题意的有序数对 , a b 有组. 2019WMTC 少年组少年组参考答案参考答案 个人赛个人赛 1234567 -59974110025 1 2 891011121314 12-1(17， -22)5 24144 接力赛接力赛 团体赛团体赛 12345678910 1575 24 5 15 7 2 或42019 2919318 11121314151617181920 61 9 81 3 25 202(1,0) 10 2 3 13 17 6 8 1-B2-B3-B -2025246