2017年第八届 世界数学团体锦标赛少年组试题（含答案）

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1、2017 WMTC 少年组个人赛第一轮少年组个人赛第一轮 Intermediate Level Individual Round 1 1若3,2xy，求 2 ()xy， 2 ()xy ， x xy 中的最大值 2如图，点 O，P，Q 在正方形 ABCD 的边上，若 OP=OQ， POQ=80 ，PQD=67 ，求QOC 3记63的整数部分是m，小数部分是n；28的整数部分是p， 小数部分是q，求mpnq的值 4计算： 201720162015 5 125 145 12014 5如果 x，y 是正整数，且220 xy，求 y x 的最大值 1 6如图，两个同心圆的圆心是 O，半径分别是 r 和

2、2r，大圆的 弦 EF 切小圆于点 A， 点 C 在 EF 的延长线上， CB 是大圆的切线， OB 交 AF 于点 D若DCB=30 ，求 OD ED 7正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别在 AB，BC 上， AF 与 DE 交于点 G若 AE4，BF3，求四边形 DGFC 的面积 8从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中取出九个数字，组成一 个两位数，一个三位数和一个四位数，如果这三个数的和等于 2017， 求没有取的数字 2017 WMTC 少年组个人赛第二轮少年组个人赛第二轮 Intermediate Level Individual Round 2 9如图，在A

3、BC 中，ABC90，M 是 AC 的中点，半圆 M 与 BC 切于点 D， 半圆 N 经过点 B， 且与半圆 M 切于点 E 若 AB=4， CB=8，求阴影部分的面积(圆周率 取 3) 10如图，四边形 ABCD 是矩形，AB=3，BC=4，将矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 F，CF 与 AD 相交于点 E，求ACE 的面积 11若关于 x 的一元二次不等式 22 60 xaxa恰有 7 个整数 解，求正整数 a 12已知非零实数 a，b，c 满足 2299, 265, abc abc 求 3 43 ac abc 的值 2 2017 WMTC 少年组个人赛第三轮少年组个人赛第三轮

4、Intermediate Level Individual Round 3 13已知a，b，c都是正整数，且 3144abcabbcacabc ，求abc 14如图，20 个同样的方格组成一条环形小路，小明从 A 格出 发，他第一次走一格到达 B，第二次走两格到达 C，第三次走三格到 达 D，按此规律走下去，他第几次走完时刚好第 3 次回到 A？ 3 2017 WMTC 少年组接力赛第一轮 少年组接力赛第一轮 Intermediate Level Relay Round 1 1-A 若正整数 x 和 y 满足2359 xy ，求 xy 4 2017 WMTC 少年组接力赛第一轮 少年组接力赛第

5、一轮 Intermediate Level Relay Round 1 1-B 设前面队友传来的答案是设前面队友传来的答案是 T. 在长方形 ABCD 中，ABT，以 A 为圆心，AB 长为半径的弧交 AD 于点 E，以 D 为圆心，DE 长为半径的弧交 CD 于点 F，以 C 为 圆心，CF 长为半径的弧与弧 BE 相切，求 BC 的长 4 2017 WMTC 少年组接力赛第二轮 少年组接力赛第二轮 Intermediate Level Relay Round 2 2-A 已知 A，B，C 是实数，若 2 32 21 111 xABxC xxxx 恒成立，求 2 (3)ABC的值 5 201

6、7 WMTC 少年少年组组接力接力赛第赛第二二轮轮 Intermediate Level Relay Round 2 2-B 设前设前面面队友传来的答案是队友传来的答案是 T. 如图，点 A1，B1，C1，D1分别是正方形 ABCD 各边上的四等分 点，点 A2，B2，C2，D2分别是正方形 A1B1C1D1各边上的三等分点， 点 A3，B3，C3，D3分别是正方形 A2B2C2D2各边上的中点. 若 AB=T， 求四边形 A3B3C3D3的面积 5 2017 WMTC 少年少年组组接力接力赛第赛第三三轮轮 Intermediate Level Relay Round 3 3-A 如图，BD

7、是O 的直径，点 A，C 在O 上，BD 与 AC 交与点 E若 BC=2，BE=1，ACB=30，求 AD 的长 6 2017 WMTC 少年少年组组接力接力赛第赛第三三轮轮 Intermediate Level Relay Round 3 3-B 设前设前面面队友传来的答案是队友传来的答案是 T. 如图，E，F 是 RtBAC 的斜边 BC 上的三等分点，若 BC=T， 求 22 AEAF的值 6 2017 WMTC 少年少年组组团体团体赛赛 Intermediate Level Team Round 1.已知四边形 ABCD 的四个内角 A，B，C，D 满足 ABC D.用表示 A- B

8、，B- C，C- D，以及 115 - A 中的最小者，求的最大 值. 2.已知实数 a，b 满足 2 212412aabba ，求 22 a bab的值. 3.已知1xy ， 2 19201750 xx， 2 52017190yy， 求 1 x xy 的值. 4.在 33 的网格图中，选出 3 个 11 的网格涂上阴影，求所得 图形是轴对称图形的概率.（如下图：（1）是轴对称图形，（2）不 是轴对称图形） 7 5.若图1中任意如图2所示的三个圆中的数字都满足：2xyz， 求 A. 图 1 图 2 6.如图，EFGHIJKL 是一个边长为 2 的正八边形，求图中阴影部 分的面积. 7.如图，把

9、等腰直角AOB 置于平面直角坐标系中，O 是坐标原点， OB=2，C 是斜边 AB 的中点，现将AOB 沿着 x 轴无滑动地向右滚动，第 一次滚动至图位置，第二次滚动至图位置，当连续滚动 2017 次后， 求点 C 的坐标. 8.如图，是由 12 个相似的直角三角形拼成的，其中，公共顶点 N 是对应顶点，若 ML= 11 3 2 ，求 AB 的长. 9.已知m， n都是正整数， m 5和 n 4 的乘积是一个28位数， 若m25， 求 nm 的值. 10.直角梯形有三条边的长是 6， 6，8， 求此梯形的面积的最小值. 11.如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，30CAB，D 是CB的

10、中点，P 是 AB 上的动点，若PCPD的最小值是 1，求O 的半径长. 12.已知 n 是正整数，并且 3 3 12017nn，求 n 的最大值. 13.已知互不相同的非零一位数 A，B，C 满足ABAABA CAB， 求CAB. 14.若实数 x，y，z 满足 4138xyzxyz ，求 x+2y-3z 的值. 15.已知 a 和 b 都是正整数，若直线yax和曲线 b y x 围成的封 闭区域中（不包括边界），横纵坐标都是正整数的点恰有 123 个，求 a+b 的最小值. 16.解方程 33 190277xx（x0）. 17.若(2018)(2018)2018xxyy， 求 22 445

11、42017xyxy的值. 18.若质数 a，b 满足 2 8(23 )127(21349 )abab，求 a+b 的值. 19.已知68a，68a都是有理数，求正整数 a. 20.如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，60C，圆 1 O和圆 2 O 分别是ABD和BCD的内切圆，半径分别是 3，5，求梯形的高 2017WMTC 少年少年组组参考答案参考答案 个人赛个人赛 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 52 6 27 29 742 2014 18 1 2 18 题号题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 8 22 3 75 16 9 2 56 39 接力赛接力赛 团体赛团体赛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 16 5 2017 3 7 54 2 82 8 (269021345,0) 1 41 或 42 366 7 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 25 153 -17 27 189 1 288 32 12 题号题号 1-B 2-B 3-B 答案 20 25 9 20 3