2020年中考数学试题分类汇编之十 相似三角形
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1、 1 2020 年中考数学试题分类汇编之十 相似三角形 一、选择题 9 (2020 成都) (3 分)如图,直线 123 / / /lll,直线AC和DF被 1 l, 2 l, 3 l所截,5AB , 6BC ,4EF ,则DE的长为( ) A2 B3 C4 D10 3 解:直线 123 / / /lll, ABDE BCEF , 5AB ,6BC ,4EF , 5 64 DE , 10 3 DE, 选:D 10 (2020 哈尔滨) (3 分)如图,在ABC中,点D在BC边上,连接AD,点E在AC边 上,过点E作/ /EFBC,交AD于点F,过点E作/ /EGAB,交BC于点G,则下列式子
2、一定正确的是( ) A AEEF ECCD B EFEG CDAB C AFBG FDGC D CGAF BCAD 解:/ /EFBC, AFAE FDEC , / /EGAB, AEBG ECGC , AFBG FDGC , 故选:C 2 8. (2020 河北) 在如图所示的网格中, 以点O为位似中心, 四边形ABCD的位似图形是 ( ) A. 四边形NPMQ B. 四边形 NPMR C. 四边形NHMQ D. 四边形 NHMR 解:如图所示,四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ 故选:A 12. (2020 四川绵阳) 如图, 在四边形 ABCD 中, ADBC,ABC=90, AB
3、=2 7,AD=2,将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转后得A B C, 当A B恰好过点 D 时,B CD为等腰三角形,若BB=2,则 AA=( ) A. 11 B.2 3 C.13 D.14 【解析】A. 解:过点 D 作 DEBC 于点 E.则 BE=AD=2,DE=AB=2 7, 设 BC=BC=x,CE=x-2. B CD为等腰三角形, BC=BD=x,DBC=90 DC=2x 3 在 RTDCE 中,由勾股定理得: 222 DCDECE, 即: 222 2 )(2 7)(2)xx(,解得: 1 4x , 2 -8x (舍去) 。 在 RTABC 中,AC= 22 ABBC= 22 (
4、2 7)4=2 11 由旋转得:BC=BC,AC=A C,A CAB CB A CAB CB AABB ACBC ,即: 2 42 11 AA 11AA .故选 A. 10.(2020 无锡)如图,等边ABC的边长为 3,点D在边AC上, 1 2 AD ,线段PQ在 边BA上运动, 1 2 PQ ,有下列结论: CP与QD可能相等;AQD与BCP可能相似;四边形PCDQ面积的最大值为 31 3 16 ;四边形PCDQ周长的最小值为 37 3 2 其中,正确结论的序号为( ) A. B. C. D. 解:线段PQ在边BA上运动, 1 2 PQ , QDPAPC, CP与QD不可能相等,则错误;
5、设AQ x, 1 2 PQ ,3AB , 1 3-=2.5 2 AQ0,即2.5x0, 假设AQD与BCP相似, A=B=60 , 4 ADAQ BPBC ,即 1 2 1 3 3 2 x x , 从而得到 2 2530 xx,解得1x 或1.5x (经检验是原方程的根) , 又2.5x0, 解得的1x 或1.5x 符合题意, 即AQD与BCP可能相似,则正确; 如图,过 P 作 PEBC 于 E,过 F 作 DFAB 于 F, 设AQx, 由 1 2 PQ ,3AB ,得 1 3-=2.5 2 AQ0,即2.5x0, 1 3 2 PBx, B=60 , 31 3 22 PxE , 1 2 A
6、D ,A =60 , 1 2 33 24 DF , 则 11313 35 33 222242 PBC SBCPExx , 1133 2248 DAQ SAQDFxx , 四边形PCDQ面积为: 13 33 3533 35 3 3+ 2242888 ABCPBCDAQ SSSxxx , 又 2.5x0, 当2.5x时,四边形PCDQ面积最大,最大值为: 3 35 331 3 +2.5= 8816 , 即四边形PCDQ面积最大值为 31 3 16 , 5 则正确; 如图,作点 D 关于直线AB的对称点 D1,连接 D D1,与AB相交于点 Q,再将 D1Q 沿着 AB向 B 端平移PQ个单位长度,
7、即平移 1 2 个单位长度,得到 D2P,与AB相交于点 P,连 接 PC, D1Q=DQ=D2P, 112 1 2 ADD DAD,且AD1D2=120 , 此时四边形PCDQ的周长为: 2 CPDQCDPQCDCDPQ,其值最小, D1AD2=30 ,D2A D=90 , 2 3 2 AD , 根据股股定理可得, 2 22 2 22 339 =3= 22 CDACAD , 四边形PCDQ的周长为: 2 391139 33 2222 CPDQCDPQCDCDPQ , 则错误,所以可得正确,故选:D 8. (2020 重庆 A 卷) 如图, 在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别是(1,2)
8、A,(1,1) B , (3,1)C ,以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF,使DEF与ABC成位似图形, 且相似比为 2:1,则线段 DF 的长度为( ) 6 O F E D C B A A. 5 B. 2 C. 4 D. 2 5 解:以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF,使DEF 与ABC 成位似图形,且相 似比为 2:1, 而 A(1,2) ,C(3,1) , D(2,4) ,F(6,2) , DF 22 2642 =2 5, 故选:D 6.(2020 重庆 B 卷)如图,ABC 与DEF 位似,点 O 为位似中心.已知 OAOD=12, 则ABC 与DEF 的面积比为( ) A.
9、12 B. 13 C. 14 D.15 .答案 C. 6.(2020 甘肃定西)生活中到处可见黄金分割的美.如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部 以下a与全身b的高度比值接近 0.618, 可以增加视觉美感.若图中b为 2 米, 则a约为 ( ) A.1.24 米 B.1.38 米 C.1.42 米 D.1.62 米 答案:A 7 (2020 四川遂宁) (4 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,ABC 的平分线交 AC 于点 E, 交 AD 于点 F,交 CD 的延长线于点 G,若 AF2FD,则 的值为( ) A1 2 B1 3 C2 3 D3 4 解:由 AF2DF,可以假设 DFk,
10、则 AF2k,AD3k, 7 四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,ABCD,ABCD, AFBFBCDFG,ABFG, BE 平分ABC,ABFCBG, ABFAFBDFGG, ABCD2k,DFDGk,CGCD+DG3k, ABDG,ABECGE, = = 2 3 = 2 3, 故选:C 9 (2020 广西南宁) (3 分)如图,在ABC 中,BC120,高 AD60,正方形 EFGH 一 边在 BC 上,点 E,F 分别在 AB,AC 上,AD 交 EF 于点 N,则 AN 的长为( ) A15 B20 C25 D30 解:设正方形 EFGH 的边长 EFEHx, 四边 EFGH
11、是正方形,HEFEHG90,EFBC, AEFABC, AD 是ABC 的高,HDN90, 四边形 EHDN 是矩形,DNEHx, AEFABC,(相似三角形对应边上的高的比等于相似比) , BC120,AD60,AN60 x, ,解得:x40, AN60 x604020 故选:B 11(2020广西玉林)(3分)(2020玉林) 一个三角形木架三边长分别是75cm, 100cm, 120cm, 现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为 60cm 和 120cm 的两根木条要求以 其中一根为一边, 从另一根截下两段作为另两边 (允许有余料) , 则不同的截法有 ( ) A一种 B两种 C三
12、种 D四种 解:长 120cm 的木条与三角形木架的最长边相等,则长 120cm 的木条不能作为一边, 8 设从 120cm 的木条上截下两段长分别为 xcm,ycm(x+y120) , 由于长 60cm 的木条不能与 75cm 的一边对应,否则 x、y 有大于 120cm, 当长 60cm 的木条与 100cm 的一边对应,则 75 = 120 = 60 100, 解得:x45,y72; 当长 60cm 的木条与 120cm 的一边对应,则 75 = 100 = 60 120, 解得:x37.5,y50 答:有两种不同的截法:把 120cm 的木条截成 45cm、72cm 两段或把 120c
13、m 的木条截成 37.5cm、50cm 两段 故选:B 11 (2020 贵州遵义) (4 分)如图,ABO 的顶点 A 在函数 y= (x0)的图象上,ABO 90, 过 AO 边的三等分点 M、 N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点 P、 Q 若四边形 MNQP 的面积为 3,则 k 的值为( ) A9 B12 C15 D18 解:NQMPOB,ANQAMPAOB, M、N 是 OA 的三等分点, = 1 2, = 1 3, = 1 4, 四边形 MNQP 的面积为 3, 3: = 1 4, SANQ1, 1 =( ) 2=1 9, SAOB9, k2SAOB18, 故选:D 6 (3
14、 分) (2020荆门)ABC 中,ABAC,BAC120,BC23,D 为 BC 的中点, 9 AE= 1 4AB,则EBD 的面积为( ) A33 4 B33 8 C 3 4 D 3 8 解:连接 AD,作 EFBC 于 F, ABAC,BAC120,D 为 BC 的中点, ADBC,AD 平分BAC,BC30 在 RtABD 中,BD= 1 2BC= 3,B30, AB= 30 = 3 3 2 =2,AD= 1 2 =1, AE= 1 4AB, = 3 4, EFBC,ADBC,EFAD, BEFBAD, = , 1 = 3 4EF= 3 4, SBDE= 1 2 = 1 2 3 3 4
15、 = 33 8 , 选:B 5 (2020 山西) (3 分)泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命 题的证明泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算 出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们所学的( ) A图形的平移 B图形的旋转 C图形的轴对称 D图形的相似 选:D 10 (2020 浙江温州) (4 分)如图,在 RtABC 中,ACB90,以其三边为边向外作 10 正方形, 过点 C 作 CRFG 于点 R, 再过点 C 作 PQCR 分别交边 DE, BH 于点 P, Q 若 QH2PE,PQ15,则 CR 的长为( ) A14 B15 C
16、83 D65 解:如图,连接 EC,CH设 AB 交 CR 于 J 四边形 ACDE,四边形 BCJHD 都是正方形, ACEBCH45, ACB90,BCI90, ACE+ACB+BCH180,ACB+BCI90 B,C,H 共线,A,C,I 共线, DEAIBH,CEPCHQ, ECPQCH,ECPHCQ, = = = 1 2, PQ15,PC5,CQ10, EC:CH1:2, AC:BC1:2,设 ACa,BC2a, PQCRCRAB,CQAB, ACBQ,CQAB, 四边形 ABQC 是平行四边形,ABCQ10, AC2+BC2AB2,5a2100, a22(负根已经舍弃) , AC2
17、5,BC45, 1 2ACBC= 1 2ABCJ, 11 CJ= 2545 10 =4, JRAFAB10, CRCJ+JR14, 故选:A 12 (2020 海南) (3 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB6,BC10,点 E、F 在 AD 边上, BF 和 CE 交于点 G,若 EFAD,则图中阴影部分的面积为( ) A25 B30 C35 D40 解:过点 G 作 GNAD 于 N,延长 NG 交 BC 于 M, 四边形 ABCD 是矩形, ADBC,ADBC, EFAD,EFBC, ADBC,NGAD, EFGCBG,GMBC, GN:GMEF:BC1:2, 又MNBC6, GN2,
18、GM4, SBCG10420, SEFG525,S矩形ABCD61060, S阴影6020535 故选:C 12 二、填空题 15 (2020 广州) 如图 7, 正方形 ABCD 中, ABC 绕点 A 逆时针旋转到AB C , AB , AC 分别交对角线 BD 于点 E,F,若4AE ,则EF ED的值为 * 【答案】16. 提示:由EAFEDA,得到:EF EA EAED ,所以: 2 EAEF ED,EF ED =16 14.(2020河南)如图,在边长为2 2的正方形ABCD中,点 ,E F分别是边,AB BC的中 点, 连接,EC FD点,G H分别是,EC FD的中点, 连接G
19、H, 则GH的长度为_ 【答案】1 【详解】 过 E作EPDC, 过 G作GQDC, 过 H 作HRBC, 垂足分别为 P, R, R, HR与GQ相交于 I,如图, 图7 F B E C D CB A 13 四边形 ABCD是正方形, 2 2ABADDCBC , 90AADC , 四边形 AEPD 是矩形, 2 2EPAD , 点 E,F分别是 AB,BC边的中点, 1 2 2 PCDC, 1 2 2 FCBC EPDC,GQ DC,GQEP/ 点 G是 EC 的中点,GQ是EPC的中位线, 1 2 2 GQEP, 同理可求: 2HR , 由作图可知四边形 HIQP 是矩形, 又 HP= 1
20、 2 FC,HI= 1 2 HR= 1 2 PC, 而 FC=PC, HI HP, 四边形 HIQP 是正方形, 2 2 IQHP, 22 2 22 GIGQIQHI HIG 是等腰直角三角形, 21GHHI 故答案为:1 16.(2020 苏州)如图,在ABC中,已知2AB ,ADBC,垂足为D,2BDCD若 E是AD的中点,则EC _ 14 【详解】2BDDC2 BD DC E为AD的中点,2ADDE, 2 AD DE ,2 BDAD DCDE , ADBC90ADBEDC ADBEDC2 ABBD ECDC 2AB 1EC 故答案为:1 17(2020 苏州).如图,在平面直角坐标系中,
21、点A、B的坐标分别为4,0、0,4,点 3,Cn在第一象限内,连接AC、BC已知2BCACAO ,则n_ 【答案】 14 5 解:如图,过点 C 作 CDy 轴,交 y 轴于点 D,则 CDAO, DCECAO, BCA2CAO, BCA2DCE, 15 DCEDCB, CDy 轴, CDECDB90 , 又CDCD, CDECDB(ASA) , DEDB, B(0,4) ,C(3,n) , CD3,ODn,OB4, DEDBOBOD4n, OEODDE n(4n) 2n4, A(4,0) , AO4, CDAO, AOECDE, AOOE CDDE , 424 34 n n , 解得: 14
22、 5 n ,故答案:14 5 15. (2020 乐山) 把两个含30角的直角三角板按如图所示拼接在一起, 点E为AD的中点, 连结BE交AC于点F则 AF AC =_ 解:连接 CE,设 CD=2x, 在 RtACD 和 RtABC 中,BAC=CAD=30 , D=60 ,AD=4x,AC= 22 2 3ADCDx , BC= 1 2 AC= 3x,AB= 22 3ACBC x, 16 点 E 为 AD 的中点, CE=AE=DE= 1 2 AD=2x, CED 为等边三角形, CED=60 , BAD=BAE+CAD=30 +30 =60 , CED=BAD, ABCE, AFBF CF
23、EF , 在 BAE 中,BAE=CAD=30 AF 平分BAE, 33 22 ABBFx AEEFx , 3 2 AFBF CFEF , 3 5 AF AC , 故答案为: 3 5 . 18.(2020 无锡)如图,在Rt ABC中,90ACB,4AB ,点D,E分别在边AB, AC上,且2DBAD,3AEEC连接BE,CD,相交于点O,则ABO面积最大值 为_ 解:如图 1,作 DGAC,交 BE 于点 G, ,BDGBAEODGOCE, 2 , 3 DGBD AEAB 1 3 CE AE , 2 2 1 DG CE ODGOCE =2 DGOD CEOC 17 2 3 ODCD AB=4
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