2020年中考数学试题分类汇编之十七 尺规作图

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1、 1 2020 年中考数学试题分类汇编之十七 尺规作图 一、选择题 6.（2020 河北）如图 1，已知ABC，用尺规作它的角平分线 如图 2，步骤如下， 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP射线BP即为所求 下列正确的是（ ） A. a，b均无限制 B. 0a， 1 2 bDE的长 C. a有最小限制，b无限制 D. 0a， 1 2 bDE的长 【答案】B 【详解】第一步：以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 0a； 第二步： 分别以D，E为圆

2、心， 大于 1 2 DE的长为半径画弧， 两弧在ABC内部交于点P； 1 2 bDE的长； 第三步：画射线BP射线BP即为所求 综上，答案为：0a； 1 2 bDE的长， 故选：B 10（2020河南）.如图，在ABC中，3 ,30ABBCBAC ，分别以点 ,A C为 2 圆心，AC的长为半径作弧， 两弧交于点D， 连接,DA DC则四边形ABCD的面积为 （ ） A. 6 3 B. 9 C. 6 D. 3 3 【答案】D 【解析】 【分析】 连接 BD交 AC于 O，由已知得ACD为等边三角形且 BD是 AC的垂直平分线，然后解直 角三角形解得 AC、BO、BD的值，进而代入三角形面积公式

3、即可求解 【详解】连接 BD交 AC于 O， 由作图过程知，AD=AC=CD， ACD为等边三角形， DAC=60， AB=BC,AD=CD， BD垂直平分 AC即：BDAC，AO=OC， 在 RtAOB中，3,30ABBAC BO=ABsin30= 3 2 ， AO=ABcos30= 3 2 ，AC=2AO=3， 在 RtAOD中，AD=AC=3,DAC=60， DO=ADsin60= 3 3 2 ， ABCADCABCD SSS 四边形 = 1313 3 333 3 2222 ， 3 故选：D 9.（2020 贵阳）如图，Rt ABC中，90C，利用尺规在BC，BA上分别截取BE， BD，

4、使BEBD；分别以D，E为圆心、以大于 1 2 DE为长的半径作弧，两弧在CBA 内交于点F；作射线BF交AC于点G，若1CG，P为AB上一动点，则GP的最小值 为（ ） A. 无法确定 B. 1 2 C. 1 D. 2 【答案】C 【详解】解：由题意可知，当 GPAB 时，GP 的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB 是ABC 的角平分线， C=90 ， 当 GPAB 时，GP=CG=1， 故答案为：C 7 （2020 广西南宁） （3 分）如图，在ABC 中，BABC，B80，观察图中尺规作图 的痕迹，则DCE 的度数为（ ） A60 B65 C70 D75 4 【分析】 根据等腰三角形

5、的性质可得ACB 的度数， 观察作图过程可得， 进而可得DCE 的度数 【解答】解：BABC，B80，AACB（18080）50， ACD180ACB130， 观察作图过程可知：CE 平分ACD， DCEACD65，DCE 的度数为 65故选：B 二、填空题 18(2020 天津)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A，C均落在 格点上，点B在网格线上，且 5 3 AB （I）线段AC的长等于_； （II）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点， 当BPPQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并 简要说明点P，Q的

6、位置是如何找到的（不要求证明）_ 答案:(1)13(2)） 如图， 取格点M，N， 连接MN， 连接BD并延长， 与MN相交于点 B ； 连接BC，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B P并延长，与BC相 交于点Q，则点P，Q即为所求 5 18(2020 苏州）.如图，已知MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别 交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于 1 2 AB长为半径画弧，两弧交于 点C， 画射线OC 过点A作ADON， 交射线OC于点D， 过点D作DEOC， 交ON 于点E设10OA，12DE ，则sinMON_ 【详解】连接 AB 交 OD

7、 于点 H，过点 A 作 AGON 于点 G， 由尺规作图步骤，可得：OD 是MON 的平分线，OA=OB， OHAB，AH=BH， DEOC， DEAB， ADON， 四边形 ABED 是平行四边形， AB=DE=12， AH=6， OH= 2222 1068AOAH ， OBAG=ABOH， AG= AB OH OB = 12 8 10 = 48 5 ， sinMON AG OA = 24 25 故答案是： 24 25 6 13 （2020 新疆生产建设兵团） （5 分）如图，在 x 轴，y 轴上分别截取 OA，OB，使 OA OB，再分别以点 A，B 为圆心，以大于1 2AB 长为半径画

8、弧，两弧交于点 P若点 P 的坐 标为（a，2a3） ，则 a 的值为 3 【分析】根据作图方法可知点 P 在BOA 的角平分线上，由角平分线的性质可知点 P 到 x 轴和 y 轴的距离相等，结合点 P 在第一象限，可得关于 a 的方程，求解即可 【解答】解：OAOB，分别以点 A，B 为圆心，以大于1 2AB 长为半径画弧，两弧交于 点 P， 点 P 在BOA 的角平分线上， 点 P 到 x 轴和 y 轴的距离相等， 又点 P 在第一象限，点 P 的坐标为（a，2a3） ， a2a3， a3 故答案为：3 16 （2020 辽宁抚顺） （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC2B

9、C，分别以点 A 和 B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN，交 AC 于点 E，连接 BE，若 CE3，则 BE 的长为 5 7 14 （2020 宁夏） （3 分）如图，在ABC 中，C84，分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 M、N，作直线 MN 交 AC 点 D；以点 B 为圆心， 适当长为半径画弧，分别交 BA、BC 于点 E、F，再分别以点 E、F 为圆心，大于EF 的 长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP，此时射线 BP 恰好经过点 D，则A 32 度 三、解答题 20.（2020 北京）已知：如图

10、， ABC 为锐角三角形，AB=BC，CDAB. 求作：线段 BP，使得点 P 在直线 CD 上，且ABP= 1 2 BAC. 作法：以点 A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C，P 两点；连接 BP.线段 BP 就是所求作线段. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：CDAB， ABP= . AB=AC， 点 B 在A 上. 8 又BPC= 1 2 BAC（ ） （填推理依据） ABP= 1 2 BAC 【解析】 （1）如图所示 （2）BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 23 （2020 广州） （本小题

11、满分 12 分） 如图 10，ABD 中，ABD =ADB （1）作点 A 关于 BD 的对称点 C； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC， 交 BD 于点 O 求证：四边形 ABCD 是菱形； 取 BC 的中点 E，连接 OE，若 13 2 OE ，10BD ，求点 E 到 AD 的距离 【详解过程】解：(1)作图如下：点 C 为所求的点 A 关于 BD 的对称点。 （2）证明：点 A 与点 C 关于 BD 对称 图10 D B A 9 BC=BA, DC=DA ABD 中，ABD =ADB AB=AD AB=BC=CD=DA

12、四边形 ABCD 是菱形。 过 B 作 BFAD 于点 F。 根据平行线上的距离处处相等 可知 BF 的长度就是点 E 到 AD 的距离。 四边形 ABCD 是菱形 ACBD 于点 O,即BOC90。 在 RTBOC 中，E 为 BC 中点， 13 2 OE , BC=2OE=13. AB=BC=CD=DA=13. BD=10. BO=DO=5 在 RTBCO 中，CO=12. AC2CO=24. 1 = 2 SAC BD 菱形 = 1 24 10 2 =120. =SAD BF 菱形 13BD=120,即 BD=120 13 . 所以点 E 到 AD 的距离120 13 。 23.（2020

13、 福建）如图，C为线段AB外一点 （1）求作四边形ABCD，使得/CDAB，且2CDAB； （要求：尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹） （2） 在 （1） 的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为,M N， 求证：, ,M P N三点在同一条直线上 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析 【详解】解： （1） 10 则四边形ABCD就是所求作的四边形 （2）ABCD， ABPCDP，BAPDCP， ABPCDP， ABAP CDCP = ,M N分别为AB，CD的中点， 2ABAM，2CDCN， AMAP CNCP 连接MP，NP，又BAPDCP， APMCPN，

14、APMCPN， 点P在AC 上 180APMCPM，180CPNCPM， , ,M P N三点在同一条直线上 【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识， 考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想 17 （2020 陕西）如图，已知ABC，ACAB，C45请用尺规作图法，在 AC 边上 求作一点 P，使PBC45 （保留作图痕迹不写作法） 【分析】 根据尺规作图法， 作一个角等于已知角， 在 AC 边上求作一点 P， 使PBC45 即可 11 【解答】解：如图，点 P 即为所求 22 （2020 哈尔滨） （7 分）如图，方格纸中每个小正方形的边

15、长均为 1，线段AB和线段CD 的端点均在小正方形的顶点上 （1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG，点G在小正方形的顶点上，且CDG的周 长为1010连接EG，请直接写出线段EG的长 【解答】解： （1）如图，正方形ABEF即为所求 （2）如图，CDG即为所求 22 125EG 16（2020 江西）.如图，在正方形网格中，ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成 以下作图（保留作图痕迹）. （1）在图 1 中，作ABC关于点O对称的A B C； （2）在图 2 中，作ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍

16、在格点上的A B C. 12 【解析】作图如下： 27 （2020 南京） （9 分）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短 （1）如图，作出点A关于l的对称点 A ，线段A B与直线l的交点C的位置即为所求， 即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的 为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线 1 上另外任取一点 C ，连接 AC 、 BC ，证明 ACCBAC C B 请完成这个证明 （2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别 给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说

17、明理由） 生态保护区是正方形区域，位置如图所示； 生态保护区是圆形区域，位置如图所示 13 【解答】证明： （1）如图，连接A C ， 点A，点 A 关于l对称，点C在l上， CA CA ， ACBCA CBCA B， 同理可得ACC BA CBC ， A BA CC B ， ACBCACC B； （2）如图， 在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB， （其中点D是正方形的顶点） ； 如图， 在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDDEEB， （其中CD，BE都与圆相切） 14 16.（2020 贵阳）如图，在4 4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点 分别按下列要

18、求画三角形 （1）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数 【分析】 （1）画一个边长为 3,4,5 的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为2 2、2 2和 4 的线段，画三角形即可； （3）利用勾股定理，找长为 2、2 2和10的线段，画三角形即可； 【详解】解： （答案不唯一） 图 （2）图 （3）图 24.（2020 无锡）如图，已知ABC是锐角三角形ACAB 15 （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线l，使l上的各点到B、C两

19、点的距 离相等； 设直线l与AB、BC分别交于点M、N， 作一个圆， 使得圆心O在线段MN上， 且与边AB、BC相切； （不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 5 3 BM ，2BC ，则O的半径为_ 解： （1）先作BC的垂直平分线：分别以 B，C 为圆心，大于 1 2 BC的长为半径画弧，连 接两个交点即为直线 l，分别交AB、BC于M、N； 再作ABC的角平分线：以点 B 为圆心，任意长为半径作圆弧，与 ABC的两条边分别 有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点 B， 即为ABC的角平分线，这条角平分线与线段 MN 的交点即为O； 以

20、O为圆心，ON为半径画圆，圆O即为所求； （2）过点O作OEAB，垂足为E，设ONOEr 5 3 BM ，2BC ，1BN ， 4 3 MN 根据面积法， BMNBNOBMO SSS 14115 11 23223 rr ，解得 1 2 r ， 故答案为： 1 2 r 19. （2020 长沙） 人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已知角的平分线 16 的方法： 已知：AOB 求作：AOB的平分线 做法： （1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N， （2）分别以点 M，N 为圆心，大于 1 2 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于

21、 点 C （3）画射线 OC，射线 OC 即为所求 请你根据提供的材料完成下面问题： （1）这种作已知角平分线的方法的依据是_(填序号) SSS SAS AAS ASA （2）请你证明 OC 为AOB的平分线 解： （1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定 理 SSS 可以证得 EOCDOC，从而得到 OC 为AOB的平分线； 故答案为：； （2）如图， 连接 MC、NC 根据作图的过程知， 在 MOC 与 NOC 中， 17 OMON OCOC CMCN ， MOCNOC（SSS） ， AOC=BOC， OC 为AOB的平分线 15（2020 山

22、东青岛）.已知：ABC 求作：O，使它经过点B和点C，并且圆心O在A的平分线上， 解：根据题意可知，先作A 的角平分线， 再作线段 BC 的垂直平分线相交于 O， 即以 O 点为圆心，OB 为半径，作圆 O， 如下图所示： 21.(2020 甘肃定西）如图，在ABC中，D是BC边上一点，且BDBA. （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ： 作ABC的角平分线交AD于点E； 作线段DC的垂直平分线交DC于点F. （2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系. .解： （1）作出ABC的角平分线； 作出线段DC的垂直平分线. 18 （2）数量关系： 1 2 EFAC； 位置关系

23、：/EF AC. 19 （2020 吉林） （7 分）图、图、图都是 33 的正方形网格，每个小正方形的顶 点称为格点A，B，C 均为格点在给定的网格中，按下列要求画图： （1）在图中，画一条不与 AB 重合的线段 MN，使 MN 与 AB 关于某条直线对称，且 M，N 为格点 （2） 在图中， 画一条不与 AC 重合的线段 PQ， 使 PQ 与 AC 关于某条直线对称， 且 P， Q 为格点 （3）在图中，画一个DEF，使DEF 与ABC 关于某条直线对称，且 D，E，F 为 格点 解： （1）如图，MN 即为所求； （2）如图，PQ 即为所求； （3）如图，DEF 即为所求 17 （202

24、0 宁夏） （6 分）在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（1，3） ， B（4，1） ，C（1，1） 19 （1）画出ABC 关于 x 轴成轴对称的A1B1C1； （2）画出ABC 以点 O 为位似中心，位似比为 1：2 的A2B2C2 解： （1）由题意知：ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（1，3） ，B（4，1） ，C（1，1） ， 则ABC 关于 x 轴成轴对称的A1B1C1的坐标为 A1（1，3） ，B1（4，1） ，C1（1， 1） ， 连接 A1C1，A1B1，B1C1 得到A1B1C1 如图所示A1B1C1为所求； （2）由题意知：位似中心是原点， 则分两种

25、情况： 第一种，A2B2C2和ABC 在同一侧 则 A2（2，6） ，B2（8，2） ，C2（2，2） ， 连接各点，得A2B2C2 第二种，A2B2C2在ABC 的对侧 A2（2，6） ，B2（8，2） ，C2（2，2） ， 连接各点，得A2B2C2 综上所述：如图所示A2B2C2为所求； 20 21 （2020 江苏泰州） （10 分）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内 （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距 离等于a （保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若2 5a ，A点的坐标为(3,1)，求P点的坐标 【解答】解： （1）如图，点P即为所求； （2）由（1）可得OP是角平分线，设点( , )P x x， 过点P作PEx轴于点E，过点A作AFx轴于点F，ADPE于点D， 2 5PAa，A点的坐标为(3,1)， 1PDx，3ADx， 根据勾股定理，得 222 PAPDAD， 222 (2 5)(1)(3)xx， 21 解得5x ，1x （舍去） 所以P点的坐标为(5,5)