1.3正方形的性质与判定 教案
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1、13 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 第第 1 课时课时 正方形的性质正方形的性质 1了解正方形的有关概念,理解并掌握正方形的性质定理;(重点) 2会利用正方形的性质进行相关的计算和证明(难点) 一、情景导入 如图(1)所示, 把可以活动的矩形框架 ABCD 的 BC 边平行移动, 使矩形的邻边 AD, DC 相等, 观察这时矩形 ABCD 的形状 如图(2)所示,把可以活动的菱形框架 ABCD 的A 变为直角,观察这时菱形 ABCD 的形状 图(1)中图形的变化可判断矩形 ABCD特殊的四边形是什么四边形?图(2)中图形变化可判断 菱形 ABCD特殊的四边形是什么四边形?经过观察,你发
2、现既是矩形又是菱形的图形是什么四边 形? 引入正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 注意:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,即:有一组邻边相等的矩形是正方形或有一 个角是直角的菱形是正方形 二、合作探究 探究点一:正方形的性质 如图,四边形 ABCD 是正方形,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AO2,求正方形的周长 与面积 解:四边形 ABCD 是正方形, ACBD,OAOD2. 在 RtAOD 中,由勾股定理,得 AD OA2OD2 2222 8. 正方形的周长为 4AD4 88 2,面积为 AD2( 8)28. 方法总结:结合勾股定理,充分利用正方
3、形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂直平 分的性质,是解决与正方形有关的题目的关键 探究点二:正方形的性质的应用 【类型一】 利用正方形的性质求角度 四边形 ABCD 是正方形,ADE 是等边三角形,求BEC 的大小 解析:等边ADE 可以在正方形的内部,也可以在正方形的外部,因此本题分两种情况 解:当等边ADE 在正方形 ABCD 外部时,如图,ABAE,BAE90 60 150 . AEB15 . 同理可得DEC15 . BEC60 15 15 30 ; 当等边ADE 在正方形 ABCD 内部时,如图,ABAE,BAE90 60 30 , AEB75 . 同理可得DEC75 . BE
4、C360 75 75 60 150 . 综上所述,BEC 的大小为 30 或 150 . 易错提醒:因为等边ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边,所以边相等本题分两种情况: 等边ADE 在正方形的外部或在正方形的内部 【类型二】 利用正方形的性质求线段长 如图,正方形 ABCD 的边长为 1cm,AC 为对角线,AE 平分BAC,EFAC,求 BE 的 长 解析:线段 BE 是 RtABE 的一边,但由于 AE 未知,不能直接用勾股定理求 BE,由条件可 证ABEAFE,问题转化为求 EF 的长,结合已知条件易获解 解:四边形 ABCD 为正方形, B90 ,ACB45 ,ABBC1cm.
5、 EFAC, EFAEFC90. 又ECF45 , EFC 是等腰直角三角形, EFFC. BAEFAE,BEFA90 ,AEAE, ABEAFE, ABAF1cm,BEEF. FCBE. 在 RtABC 中, AC AB2BC2 1212 2(cm), FCACAF 21(cm), BE 21(cm) 方法总结:正方形被对角线分成 4 个等腰直角三角形,因此在正方形中解决问题时常用到等腰 三角形的性质与直角三角形的性质 【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等 如图, 已知过正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 P, 作 PEBC 于点 E, PFCD 于点 F, 求证:APEF. 解析
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