2020年秋北师大版九年级上《第2章 一元二次方程》单元测试卷含答案解析

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1、第第二二章章 一元二次方程测试卷（一元二次方程测试卷（2） 一选择题（本题共一选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分每小题给出分每小题给出 4 个选项，个选项， 其中只有一个是正确的）其中只有一个是正确的） 1 （3 分） 把方程 x （x+2） =5 （x2） 化成一般式， 则 a、 b、 c 的值分别是 （ ） A1，3，10 B1，7，10 C1，5，12 D1，3，2 2 （3 分）一元二次方程 x26x5=0 配方可变形为（ ） A （x3）2=14 B （x3）2=4 C （x+3）2=14 D （x+3）2=4 3 （3 分）如果关于 x 的一

2、元二次方程 k2x2（2k+1）x+1=0 有两个不相等的实 数根，那么 k 的取值范围是（ ） Ak Bk且 k0 Ck Dk且 k0 4 （3 分）用换元法解方程=3 时，设=y，则原方程可 化为（ ） Ay3=0 By3=0 Cy+3=0 Dy+3=0 5 （3 分）等腰三角形的底和腰是方程 x27x+12=0 的两个根，则这个三角形的 周长是（ ） A11 B10 C11 或 10 D不能确定 6 （3 分）若分式的值为零，则 x 的值为（ ） A3 B3 或3 C0 D3 7 （3 分）一元二次方程 x2x1=0 的根的情况为（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只

3、有一个实数根 D没有实数根 8 （3 分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，设有 x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ） Ax（x1）=10 B=10 Cx（x+1）=10 D=10 9 （3 分）某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个设 该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A50（1+x）2=182 B50+50（1+x）+50（1+x）2=182 C50（1+2x）=182 D50+50（1+x）+50（1+2x）2=182 10 （3 分）已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2+ax2b=0 的

4、两实数根，且 x1+x2=2， x1x2=1，则 ba的值是（ ） A B C4 D1 11 （3 分）定义运算：ab=a（1b） 若 a，b 是方程 x2x+m=0（m0）的 两根，则 bbaa 的值为（ ） A0 B1 C2 D与 m 有关 12 （3 分）使用墙的一边，再用 13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为 20m2 的长方形，求这个长方形的两边长设墙的对边长为 xm，可得方程（ ） Ax（13x）=20 Bx=20 Cx（13x）=20 Dx=20 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）方程 x23=0 的根是 14 （3 分）当

5、k= 时，方程 x2+（k+1）x+k=0 有一根是 0 15 （3 分）设 m，n 分别为一元二次方程 x2+2x2018=0 的两个实数根，则 m2+3m+n= 16 （3 分）写出以 4，5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是 三解答题（本题有三解答题（本题有 7 小题，共小题，共 52 分）分） 17 （10 分）解方程 （1）x24x5=0 （2）3x（x1）=22x 18 （5 分）试证明关于 x 的方程（a28a+20）x2+2ax+1=0 无论 a 取何值，该方 程都是一元二次方程 19 （6 分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1在 温室内，

6、沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道当 矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？ 20 （8 分）某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件， 并且两次降价的百分率相同 （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为 300 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次 降价销售的总利润不少于 3210 元问第一次降价后至少要售出该种商品多少 件？ 21 （6 分）阅读下面的例题， 范例：解方程 x2|x|2=0， 解： （1）当 x0 时，原方程化为 x2x2=0，解得：x1=2，x2=1（

7、不合题意， 舍去） （2） 当 x0 时， 原方程化为 x2+x2=0， 解得： x1=2， x2=1 （不合题意， 舍去） 原方程的根是 x1=2，x2=2 请参照例题解方程 x2|x1|1=0 22 （8 分）龙华天虹商场以 120 元/件的价格购进一批上衣，以 200 元/件的价格 出售，每周可售出 100 件为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存经 调查发现，这种上衣每降价 5 元/件，每周可多售出 20 件另外，每周的房租等 固定成本共 3000 元 该商场要想每周盈利 8000 元， 应将每件上衣的售价降低多 少元？ 23 （9 分）如图，在ABC 中，B=90，AB=6 厘米

8、，BC=8 厘米点 P 从 A 点 开始沿 A 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动（到达点 B 即停止运动） ，点 Q 从 C 点开始沿 CB 边向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动（到达点 C 即停止运动） （1）如果 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于是 ABC 的三分之一？ （2）如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB 移动（到达点 B 即停止运动） ，动点 Q 从 C 出发，沿 CB 移动（到达点 C 即停 止运动） ，几秒钟后，P、Q 相距 6 厘米？ （3）如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同

9、时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB 移动（到达点 B 即停止运动） ，动点 Q 从 C 出发，沿 CB 移动（到达点 B 即停 止运动） ，是否存在一个时刻，PQ 同时平分ABC 的周长与面积？若存在求出这 个时刻的 t 值，若不存在说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本题共一选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分每小题给出分每小题给出 4 个选项，个选项， 其中只有一个是正确的）其中只有一个是正确的） 1 （3 分） 把方程 x （x+2） =5 （x2） 化成一般式， 则 a、 b、 c 的值分别是 （ ） A1，3，1

10、0 B1，7，10 C1，5，12 D1，3，2 【考点】一元二次方程的一般形式 【专题】压轴题；推理填空题 【分析】a、b、c 分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系 数、常数项 【解答】解：由方程 x（x+2）=5（x2） ，得 x23x+10=0， a、b、c 的值分别是 1、3、10； 故选 A 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0 （a， b， c 是常数且 a0） ， 在一般形式中 ax2叫二次项， bx 叫一次项， c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 2 （3 分）一元二次方程 x

11、26x5=0 配方可变形为（ ） A （x3）2=14 B （x3）2=4 C （x+3）2=14 D （x+3）2=4 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上 32，这样方程左边就 为完全平方式 【解答】解：x26x5=0， x26x=5， x26x+9=5+9， （x3）2=14， 故选：A 【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0） ：先把二次 系数变为 1，即方程两边除以 a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加 上一次项系数的一半 3 （3 分）如果关于 x 的一元二次方程 k2x2（2k+1）x+1=0

12、 有两个不相等的实 数根，那么 k 的取值范围是（ ） Ak Bk且 k0 Ck Dk且 k0 【考点】根的判别式 【专题】压轴题 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式=b24ac0，建立关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围 【解答】解：由题意知，k0，方程有两个不相等的实数根， 所以0，=b24ac=（2k+1）24k2=4k+10 又方程是一元二次方程，k0， k且 k0 故选 B 【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0 方程有两个不相等的实数根； （2）=0 方程有两个相等的实数根； （3）0 方程没有实数根 注意方程若为一元二次方程，则 k0 4 （

13、3 分）用换元法解方程=3 时，设=y，则原方程可 化为（ ） Ay3=0 By3=0 Cy+3=0 Dy+3=0 【考点】换元法解分式方程 【分析】把 y=代入原方程，移项即可得到答案 【解答】解：设=y， 则原方程可化为：y=3，即 y3=0， 故选：A 【点评】 本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比 较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化 5 （3 分）等腰三角形的底和腰是方程 x27x+12=0 的两个根，则这个三角形的 周长是（ ） A11 B10 C11 或 10 D不能确定 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系

14、；等腰三角形的性质 【专题】计算题；一次方程（组）及应用 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到 x 的值，确定出底与腰，即可求出周 长 【解答】解：方程分解得： （x3） （x4）=0， 解得：x1=3，x2=4， 若 3 为底，4 为腰，三角形三边为 3，4，4，周长为 3+4+4=11； 若 3 为腰，4 为底，三角形三边为 3，3，4，周长为 3+3+4=10 故选 C 【点评】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本 题的关键 6 （3 分）若分式的值为零，则 x 的值为（ ） A3 B3 或3 C0 D3 【考点】分式的值为零的条件；解一元二次方程-直接开平方

15、法；解一元一次不 等式 【专题】计算题 【分析】分式的值为 0 的条件是： （1）分子为 0； （2）分母不为 0两个条件需 同时具备，缺一不可据此可以解答本题 【解答】解：由题意，可得 x29=0 且 2x60， 解得 x=3 故选 D 【点评】本题主要考查分式的值为 0 的条件由于该类型的题易忽略分母不为 0 这个条件，所以常以这个知识点来命题 7 （3 分）一元二次方程 x2x1=0 的根的情况为（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【考点】根的判别式 【分析】先求出的值，再判断出其符号即可 【解答】解：a=1，b=1，c=1， =b24a

16、c=（1）241（1）=50， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根 与的关系是解答此题的关键 8 （3 分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，设有 x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ） Ax（x1）=10 B=10 Cx（x+1）=10 D=10 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】其他问题；压轴题 【分析】如果有 x 人参加了聚会，则每个人需要握手（x1）次，x 人共需握手 x（x1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一 共握手：次；已知“所

17、有人共握手 10 次”，据此可列出关于 x 的方程 【解答】解：设 x 人参加这次聚会，则每个人需握手：x1（次） ； 依题意，可列方程为：=10； 故选 B 【点评】 理清题意， 找对等量关系是解答此类题目的关键； 需注意的是本题中“每 两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制 9 （3 分）某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个设 该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A50（1+x）2=182 B50+50（1+x）+50（1+x）2=182 C50（1+2x）=182 D50+50（1+x）+50（1+2x）2=1

18、82 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题；压轴题 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，如 果该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么可以用 x 分别表示五、六月份的 产量，然后根据题意可得出方程 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为 50（1+x） 、50（1+x）2， 50+50（1+x）+50（1+x）2=182 故选 B 【点评】增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量 10 （3 分）已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2+ax2b=0 的两实数根，且 x1+x2=2，

19、 x1x2=1，则 ba的值是（ ） A B C4 D1 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系和已知 x1+x2和 x1x2的值，可求 a、b 的值，再代 入求值即可 【解答】解：x1，x2是关于 x 的方程 x2+ax2b=0 的两实数根， x1+x2=a=2，x1x2=2b=1， 解得 a=2，b=， ba=（）2= 故选：A 【点评】 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结 合解题是一种经常使用的解题方法 11 （3 分）定义运算：ab=a（1b） 若 a，b 是方程 x2x+m=0（m0）的 两根，则 bbaa 的值为（ ） A0 B1 C2 D与

20、 m 有关 【考点】根与系数的关系 【专题】新定义 【分析】（方法一） 由根与系数的关系可找出 a+b=1， 根据新运算找出 bbaa=b （1b）a（1a） ，将其中的 1 替换成 a+b，即可得出结论 （方法二）由根与系数的关系可找出 a+b=1，根据新运算找出 bbaa=（ab） （a+b1） ，代入 a+b=1 即可得出结论 【解答】解： （方法一）a，b 是方程 x2x+m=0（m0）的两根， a+b=1， bbaa=b（1b）a（1a）=b（a+bb）a（a+ba）=abab=0 （方法二）a，b 是方程 x2x+m=0（m0）的两根， a+b=1 bbaa=b（1b）a（1a）=

21、bb2a+a2=（a2b2）+（ba）=（a+b） （ab）（ab）=（ab） （a+b1） ，a+b=1， bbaa=（ab） （a+b1）=0 故选 A 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出 a+b=1本题属于基础 题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之 和是关键 12 （3 分）使用墙的一边，再用 13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为 20m2 的长方形，求这个长方形的两边长设墙的对边长为 xm，可得方程（ ） Ax（13x）=20 Bx=20 Cx（13x）=20 Dx=20 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题

22、【分析】根据铁丝网的总长度为 13m，长方形的面积为 20m2，来列出关于 x 的 方程，由题意可知，墙的对边为 xm，则长方形的另一对边为m，则可利 用面积公式求出即可 【解答】解：设墙的对边长为 x m，可得方程：x=20 故选：B 【点评】 本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式，得出矩形两边长是解 题关键 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）方程 x23=0 的根是 x= 【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【专题】计算题；一次方程（组）及应用 【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出 x 的值 【解答】解：方程整理得：x2=

23、3， 开方得：x=， 故答案为：x= 【点评】 此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解 本题的关键 14 （3 分）当 k= 0 时，方程 x2+（k+1）x+k=0 有一根是 0 【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】将 x=0 代入已知的方程中，得到关于 k 的方程，求出方程的解即可得到 满足题意 k 的值 【解答】解：将 x=0 代入方程 x2+（k+1）x+k=0 得：k=0， 则 k=0 时，方程 x2+（k+1）x+k=0 有一根是 0 故答案为：0 【点评】 此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的 未知数的值 15 （3

24、分）设 m，n 分别为一元二次方程 x2+2x2018=0 的两个实数根，则 m2+3m+n= 2016 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 m2=2m+2018，则 m2+3m+n 可化 简为 2018+m+n，再根据根与系数的关系得到 m+n=2，然后利用整体代入的方 法计算 【解答】解：m 为一元二次方程 x2+2x2018=0 的实数根， m2+2m2018=0，即 m2=2m+2018， m2+3m+n=2m+2018+3m+n=2018+m+n， m，n 分别为一元二次方程 x2+2x2018=0 的两个实数根， m+n=2， m2+3m

25、+n=20182=2016 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根时，x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程根的定义 16 （3 分）写出以 4，5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是 x2+x 20=0 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】先简单 4 与5 的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方 程 【解答】解：4+（5）=1，4（5）=20， 以 4，5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程为 x2+x20=0 故答案为 x2+x20=0 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=

26、0（a0）的根与系数的关系：若方 程两个为 x1，x2，则 x1+x2=，x1x2= 三解答题（本题有三解答题（本题有 7 小题，共小题，共 52 分）分） 17 （10 分）解方程 （1）x24x5=0 （2）3x（x1）=22x 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】 （1）根据因式分解法可以解答本题； （2）先移项，然后提公因式可以解答此方程 【解答】解： （1）x24x5=0 （x5） （x+1）=0 x5=0 或 x+1=0， 解得，x1=5，x2=1； （2）3x（x1）=22x 3x（x1）+2（x1）=0 （3x+2） （x1）=0 3x+2=0 或 x1=0， 解得，

27、【点评】 本题考查解一元二次方程因式分解法， 解题的关键是根据方程的特点， 选取合适的因式分解法解答方程 18 （5 分）试证明关于 x 的方程（a28a+20）x2+2ax+1=0 无论 a 取何值，该方 程都是一元二次方程 【考点】一元二次方程的定义 【专题】证明题 【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数 a28a+20 不 等于 0 即可 【解答】证明：a28a+20=（a4）2+44， 无论 a 取何值，a28a+204，即无论 a 取何值，原方程的二次项系数都不会 等于 0， 关于 x 的方程（a28a+20）x2+2ax+1=0，无论 a 取何值，该方程都是一元

28、二次 方程 【点评】一元二次方程有四个特点： （1）只含有一个未知数； （2）含未知数的项 的最高次数是 2； （3）是整式方程； （4）将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0 时，应 满足 a0要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若 是，再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c=0（a0）的形式，则这个方程就 为一元二次方程 19 （6 分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1在 温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道当 矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？ 【考点】一元二次方程的

29、应用 【专题】几何图形问题 【分析】本题有多种解法设的对象不同则列的一元二次方程不同设矩形温室 的宽为 xm，则长为 2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解 【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为 xm，则长为 2xm， 根据题意，得（x2）（2x4）=288， 2（x2）2=288， （x2）2=144， x2=12， 解得：x1=10（不合题意，舍去） ，x2=14， 所以 x=14，2x=214=28 答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2 解法二：设矩形温室的长为 xm，则宽为xm根据题意，得（x2）（x4） =288 解这个方程，得 x

30、1=20（不合题意，舍去） ，x2=28 所以 x=28，x=28=14 答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2 【点评】解答此题，要运用含 x 的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关 系列方程 20 （8 分）某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件， 并且两次降价的百分率相同 （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为 300 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次 降价销售的总利润不少于 3210 元问第一次降价后至少要售出该种商品多少 件？ 【考点】一元二次方程的应用；一元一次不

31、等式的应用 【分析】 （1）设该种商品每次降价的百分率为 x%，根据“两次降价后的售价=原 价（1降价百分比）的平方”，即可得出关于 x 的一元二次方程，解方程即可 得出结论； （2）设第一次降价后售出该种商品 m 件，则第二次降价后售出该种商品（100 m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润销售数量+第二次降价后的 单件利润销售数量”，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出 结论 【解答】解： （1）设该种商品每次降价的百分率为 x%， 依题意得：400（1x%）2=324， 解得：x=10，或 x=190（舍去） 答：该种商品每次降价的百分率为 10% （2）设第一次降

32、价后售出该种商品 m 件，则第二次降价后售出该种商品（100 m）件， 第一次降价后的单件利润为：400（110%）300=60（元/件） ； 第二次降价后的单件利润为：324300=24（元/件） 依题意得：60m+24（100m）=36m+24003210， 解得：m22.5 m23 答：为使两次降价销售的总利润不少于 3210 元第一次降价后至少要售出该种 商品 23 件 【点评】 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关 键是： （1）根据数量关系得出关于 x 的一元二次方程； （2）根据数量关系得出关 于 m 的一元一次不等式本题属于基础题，难度不大，解决该题型

33、题目时，根 据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键 21 （6 分）阅读下面的例题， 范例：解方程 x2|x|2=0， 解： （1）当 x0 时，原方程化为 x2x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意， 舍去） （2） 当 x0 时， 原方程化为 x2+x2=0， 解得： x1=2， x2=1 （不合题意， 舍去） 原方程的根是 x1=2，x2=2 请参照例题解方程 x2|x1|1=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】阅读型 【分析】分为两种情况： （1）当 x1 时，原方程化为 x2x=0， （2）当 x1 时， 原方程化为 x2+x2=0，求出方程的解即可 【解答】解

34、：x2|x1|1=0， （1）当 x1 时，原方程化为 x2x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去） （2） 当 x1 时， 原方程化为 x2+x2=0， 解得： x1=2， x2=1 （不合题意， 舍去） 故原方程的根是 x1=1，x2=2 【点评】 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值 符号 22 （8 分）龙华天虹商场以 120 元/件的价格购进一批上衣，以 200 元/件的价格 出售，每周可售出 100 件为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存经 调查发现，这种上衣每降价 5 元/件，每周可多售出 20 件另外，每周的房租等 固定成本共 3000

35、 元 该商场要想每周盈利 8000 元， 应将每件上衣的售价降低多 少元？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】设每件上衣应降价 x 元，则每件利润为（80 x）元，本题的等量关系 为：每件上衣的利润每天售出数量固定成本=8000 【解答】解：设每件上衣应降价 x 元，则每件利润为（80 x）元， 列方程得： （80 x） （100+x）3000=8000， 解得：x1=30，x2=25 因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存， 所以 x=30 答：应将每件上衣的售价降低 30 元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据 题目给出的条件，找出合适的等量关

36、系，列出方程，再求解 23 （9 分）如图，在ABC 中，B=90，AB=6 厘米，BC=8 厘米点 P 从 A 点 开始沿 A 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动（到达点 B 即停止运动） ，点 Q 从 C 点开始沿 CB 边向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动（到达点 C 即停止运动） （1）如果 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于是 ABC 的三分之一？ （2）如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB 移动（到达点 B 即停止运动） ，动点 Q 从 C 出发，沿 CB 移动（到达点 C 即停 止运动） ，

37、几秒钟后，P、Q 相距 6 厘米？ （3）如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB 移动（到达点 B 即停止运动） ，动点 Q 从 C 出发，沿 CB 移动（到达点 B 即停 止运动） ，是否存在一个时刻，PQ 同时平分ABC 的周长与面积？若存在求出这 个时刻的 t 值，若不存在说明理由 【考点】三角形综合题 【分析】 （1）设经过 t 秒钟，PBQ 的面积等于是ABC 的三分之一，根据题意 得：AP=t，BP=6t，BQ=2t，由，PBQ 的面积等于是ABC 的三分之一列式可 得求出 t 的值； （2）在 RtPQB 中，根据勾股定理列方程即可

38、； （3）分两种情况：当 PQ 平分ABC 面积时，计算出这时的 t=5，同时 计算这时 PQ 所截ABC 的周长是否平分；当 PQ 平分ABC 周长时，计算出 这时的 t=，此时PBQ 的面积是否为，计算即可 【解答】解： （1）设经过 t 秒钟，PBQ 的面积等于是ABC 的三分之一， 由题意得：AP=t，BP=6t，BQ=2t， 2t（6t）=68， 解得：t=2 或 4， 0t4， t=2 或 4 符合题意， 答：经过 2 或 4 秒钟，PBQ 的面积等于是ABC 的三分之一； （2）在 RtPQB 中，PQ2=BQ2+PB2， 62=（2t）2+（6t）2， 解得：t1=0（舍） ，

39、t2=， 答：秒钟后，P、Q 相距 6 厘米； （3）由题意得：PB=6t，BQ=82t， 分两种情况： 当 PQ 平分ABC 面积时， SPBQ=SABC， （6t） （82t）=86， 解得：t1=5+，t2=5， Q 从 C 到 B，一共需要 82=4 秒，5+4， t1=5+不符合题意，舍去， 当 t2=5时，AP=5，BP=6（5）=1+，BQ=82（5） =22，CQ=2（5）=102， PQ 将ABC 的周长分为两部分： 一部分为：AC+AP+CQ=10+5+102=253， 另一部分：PB+BQ=1+22=31， 25331， 当 PQ 平分ABC 周长时， AP+AC+CQ=PB+BQ， 10+2t+t=6t+82t， t=， 当 t=时，PB=6=， BQ=82=， SPBQ=12， 综上所述，不存在这样一个时刻，PQ 同时平分ABC 的周长与面积 【点评】 本题是动点运动问题， 在三角形中的动点问题， 首先要确定两个动点的： 路线、路程、速度、时间，表示出时间为 t 时的路程是哪一条线段的长，根据已 知条件列等式或方程，解出即可