广东省广州市越秀区教育集团2020年中考数学二模试卷（含答案解析）

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1、2020 年广东省实验中学教育集团中考数学二模试卷年广东省实验中学教育集团中考数学二模试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分分.每小题给出的四个选项中，只有一项每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （3 分）2020 的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 2 （3 分）在下面四个图形中，不能通过平移其中一个四边形得到的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa6a2a3 Ba6a2a12 C （a6）2a12 Da6a2a4 4 （3 分）如图所示的几何体的左

2、视图为（ ） A B C D 5 （3 分）一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 9 个黄球每 次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复 摸球实验后发现， 摸到黄球的频率稳定在 30%， 那么估计盒子中小球的个数 n 为 （ ） A30 B28 C24 D20 6 （3 分）函数 y（k 为常数）的图象上有三个点（2，y1） ， （1，y2） ， （， y3） ，函数值 y1，y2，y3的大小为（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy2y1y3 7 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，DE 垂直平分 AC，若B

3、CD 的周长是 14，BC6， 则 AC 的长是（ ） A6 B8 C10 D14 8 （3 分）若 123k0，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 9 （3 分）如图，圆内接正方形 ABCD，在弧 BC 上有一点 E，则 tanAEB 的值为（ ） A1 B C D 10 （3 分）已知 a 是方程 x24x的实数根，则直线 yax+2a 的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （

4、3 分）如图，已知直线 ab，1100，则2 12 （3 分）若正比例函数 ykx 的图象经过点（4，2） ，则 k 13 （3 分）已知 a，b 满足方程组，则 a+b 的值为 14 （3 分）如图，把菱形 ABCD 沿 AH 折叠，使 B 点落在 BC 上的 E 点处，若B70， 则EDC 的大小为 15 （3 分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面 2 米高时，水面 l 为 4 米，则当水面下降 1 米时，水面宽度增加 米 16 （3 分）已知边长为 2 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，将AEF 绕点 A 逆时针旋转 （0o90o） ，射线 BE

5、 交 DF 于点 P，交 AD 于点 Q，连接 AP以下结 论正确的是 AEBAFD； AP 平分BPF； DPBQEFDQ； 若将AEF 从一开始旋转至 AEBP 时，点 P 在旋转过程中的运动轨迹长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （9 分）解方程：x24x120 18 （9 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上的中点求证：AEBE 19 （10 分）已知 P （1）化简 P； （2）若 x 是不等式组的整数解，求 P 的值 20 （1

6、0 分）2020 年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要 面对电脑等电子产品上网课某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在 校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视” “重视” “比较重视” “不重视”四类， 并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为 ，并补全条形统计图； （2）该校共有学生 1800 人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数； （3）对视力“非常重视”的 4 人有 A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽 取两人向全校作视力保护交流， 请利用树状图或列表法，

7、 求出恰好抽到一男一女的概率 21 （12 分）某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了 10 350 元，乙种电 器共用了 9 600 元，甲种电器的件数是乙种电器的 1.5 倍，甲种电器每件的进价比乙种电 器每件的进价少 90 元 （1）甲、乙两种电器各购进多少件？ （2）商场购进两种电器后，按进价提高 40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电 器商场共获利多少元？ 22 （12 分）如图，等边ABC 的顶点 A，B 分别在双曲线 y的两个分支上，且 AB 经过 原点 OBDx 轴于 D，SBOD2 （1）直接写出该双曲线的解析式为 ； （2）若 OD2，求 A、B、C 点

8、的坐标 23 （12 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，过点 C 作O 的切线与 AB 的 延长线相交于点 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于点 F，连接 BE （1）利用尺规作图，过点 A 作 ADCP 于点 D（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）求证：PCF 是等腰三角形； （3）若 tanABC，BE7，求线段 PC 的长 24 （14 分）在平面直角坐标系中，函数 yax22ax4a（x0）的图象记为 M1，函数 y ax22ax+4a（x0）的图象记为 M2，其中 a 为常数，且 a0，图象 M1，M2合起 来得到的图象记为 M （1）若图象 M1有最低点，且

9、最低点到 x 轴距离为 3，求 a 的值； （2）当 a1 时，若点（m，）在图象 M 上，求 m 的值； （3）点 P、Q 的坐标分别为（5，1） ， （4，1） ，连结 PQ直接写出线段 PQ 与图 象 M 恰有三个公共点时 a 的取值范围 25 （14 分） 如图， 在 RtABC 中， ACBC4， ACB90， 正方形 BDEF 的边长为 2， 将正方形 BDEF 绕点 B 旋转一周，连接 AE、BE、CD （1）请判断线段 AE 和 CD 的数量关系，并说明理由； （2）当 A、E、F 三点在同一直线上时，求 CD 的长； （3）设 AE 的中点为 M，连接 FM，试求线段 FM

10、长的最大值 2020 年广东省实验中学教育集团中考数学二模试卷年广东省实验中学教育集团中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分分.每小题给出的四个选项中，只有一项每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （3 分）2020 的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：2020 的相反数是：2020 故选：C 2 （3 分）在下面四个图形中，不能通过平移其中一个四边形得到的是（ ） A B C D 【

11、分析】根据平移变换，旋转变换的定义判断即可 【解答】解：选项 A，B，C 是可以通过平移其中一个四边形得到的，属于平移变换，选 项 D 是通过旋转其中一个四边形得到的，是旋转变换 故选：D 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa6a2a3 Ba6a2a12 C （a6）2a12 Da6a2a4 【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方和合并同类项的法则分析 【解答】解： Aa6a2a3错误；应该是 a6a2a4； Ba6a2a12错误；应该是 a6a2a8； C正确；幂的乘方，底数不变，指数相乘； Da6a2a4错误；因为 a6和 a2不是同类项，无法相减 故选：C 4 （3

12、分）如图所示的几何体的左视图为（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看易得左视图为： 故选：D 5 （3 分）一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 9 个黄球每 次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复 摸球实验后发现， 摸到黄球的频率稳定在 30%， 那么估计盒子中小球的个数 n 为 （ ） A30 B28 C24 D20 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为 30%，然后根据概率公式计算 n 的值 【解答】解：根据题意得： 100%30%

13、， 解得：n30， 经检验 n30 是原方程的解， 所以估计盒子中小球的个数 n 为 30 个 故选：A 6 （3 分）函数 y（k 为常数）的图象上有三个点（2，y1） ， （1，y2） ， （， y3） ，函数值 y1，y2，y3的大小为（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy2y1y3 【分析】先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可 【解答】解：k240， 函数图象位于二、四象限， （2，y1） ， （1，y2）位于第二象限，21， y2y10； 又（，y3）位于第四象限， y30， y2y1y3 故选：D 7 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，DE

14、 垂直平分 AC，若BCD 的周长是 14，BC6， 则 AC 的长是（ ） A6 B8 C10 D14 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出 ADCD，进而根据等腰三角形的性质可得 出结论 【解答】解：DE 垂直平分 AC， ADCD BCD 的周长是 14，BC6， ABBD+CD1468， ABAC， AC8 故选：B 8 （3 分）若 123k0，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 【分析】先计算判别式的值，再利用 k 的范围得到0，然后根据判别式的意义进行判 断 【解答】解：424

15、k 164k， 123k0， k4， 164k0，即0， 方程无实数根 故选：C 9 （3 分）如图，圆内接正方形 ABCD，在弧 BC 上有一点 E，则 tanAEB 的值为（ ） A1 B C D 【分析】 连接 AC， 根据四边形的性质得到ACB45， 根据圆周角定理即可得到结论 【解答】解：连接 AC， 四边形 ABCD 是正方形， ACB45， AEBACB45， tanAEB1， 故选：A 10 （3 分）已知 a 是方程 x24x的实数根，则直线 yax+2a 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】方程 x24x的实数根，实际就是抛物线 y1x24x，与双曲线 y2交点 的

16、横坐标，通过画两个函数的图象，确定 a 的取值范围，再根据 a 的取值范围确定直线 所经过的象限，从而确定位置，做出选择 【解答】解：设 y1x24x，y2， 抛物线 y1x24x，与双曲线 y2的图象如图所示： 方程 x24x的实数根， 实际就是抛物线 y1x24x， 与双曲线 y2交点的横坐标， 抛物线 y1x24x，与 x 轴的交点为 O（0，0） ，A（4，0） ， 由两个图象可得，交点 B 的横坐标一定要大于 4，即：a4， 当 a4 时，2a0，直线 yax+2a 的图象过一、三、四象限， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满

17、分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）如图，已知直线 ab，1100，则2 80 【分析】由1100可得其邻补角3 的度数，再由 ab 得出23，从而得出答 案 【解答】解：如图， ab， 23， 1100， 3180180， 280， 故答案为：80 12 （3 分）若正比例函数 ykx 的图象经过点（4，2） ，则 k 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可 得出 k 值 【解答】解：正比例函数 ykx 的图象经过点（4，2） ， 24k， 解得：k 故答案为： 13 （3 分）已知 a，b 满足方程组，则 a+b 的值为 4 【分析】两个方

18、程相加即可得出 4a+4b 的值，再得出 a+b 的值即可 【解答】解：， +得 4a+4b16， 则 a+b4 故答案为：4 14 （3 分）如图，把菱形 ABCD 沿 AH 折叠，使 B 点落在 BC 上的 E 点处，若B70， 则EDC 的大小为 15 【分析】根据菱形的性质，可得ADCB70，从而得出AEDADE又因为 ADBC，故DAEAEB70，ADEAED55，即可求解 【解答】解：根据菱形的对角相等得ADCB70 ADABAE， AEDADE 根据折叠得AEBB70 ADBC， DAEAEB70， ADEAED（180DAE）255 EDC705515 故答案为：15 15 （

19、3 分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面 2 米高时，水面 l 为 4 米，则当水面下降 1 米时，水面宽度增加 （24） 米 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析 式，根据题意计算即可 【解答】解：建立平面直角坐标系如图： 则抛物线顶点 C 坐标为（0，2） ， 设抛物线解析式 yax2+2， 将 A 点坐标（2，0）代入，可得：04a+2， 解得：a， 故抛物线解析式为 yx2+2， 当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y1 时，对应的抛物线上两点之间的距离， 也就是直线 y1 与抛物线相交的两点之间的距离， 将

20、 y1 代入抛物线解析式得出：10.5x2+2， 解得：x， 所以水面宽度为 2米， 故水面宽度增加了（24）米， 故答案为： （24） 16 （3 分）已知边长为 2 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，将AEF 绕点 A 逆时针旋转 （0o90o） ，射线 BE 交 DF 于点 P，交 AD 于点 Q，连接 AP以下结 论正确的是 AEBAFD； AP 平分BPF； DPBQEFDQ； 若将AEF 从一开始旋转至 AEBP 时，点 P 在旋转过程中的运动轨迹长为 【分析】正确，根据 SAS 证明即可 正确，证明 A，E，P，F 四点共圆，利用圆周角定理解决问题即可

21、正确，证明ABQPDQ 即可判断 错误，利用弧长公式计算判断即可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABAD，BAD90， EAFBAD90， BAEDAF， AEAF， BAEDAF（SAS） ，故正确， ABEADF， AQBDQP， DPQBAQ90， EPF+EAF180， A，E，P，F 四点共圆， EPAEFA45， EPAAPF45，即 PA 平分EPF，故正确， BAQDPQ90，AQBDQP， ABQPDQ， ， AB2AEEF， ， DPBQEFDQ，故正确， 连接 BD，取 BD 中点 O，连接 OP，OA，如图 3， RtABD 中，由勾股定理得：BD2， AE

22、BAFD， ABEADP， BADBPD90， OPOABD， P 在以 O 圆心，以 OA 为半径的圆上， 当 AEBE 时，AFDF，如图 4， AFAD， ADF30， ODOP， ODPOPD45+3075， DOP30， AOD90， AOP60， 点 P 在旋转过程中的运动路线长为：故错误 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （9 分）解方程：x24x120 【分析】利用因式分解法解方程 【解答】解： （x6） （x+2）0， x60 或 x

23、+20， 所以 x16，x22 18 （9 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上的中点求证：AEBE 【分析】利用矩形的性质证得ADEBCE 后即可证得结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，DC90， E 为 CD 边上的中点， DECE， ADEBCE（SAS） ， AEBE 19 （10 分）已知 P （1）化简 P； （2）若 x 是不等式组的整数解，求 P 的值 【分析】 （1）根据分式的减法和除法可以化简 P； （2）先求出不等式组的解集，然后写出符合要求的整数解，再将使得原分式有意义的整 数代入化简后的式子，即可解答本题 【解答】解： （1）P

24、 ； （2）由不等式组，得 3x6， x 是不等式组的整数解， x3，4，5， 当 x3 或 x4 时原分式无意义， x5， 当 x5 时，原式 20 （10 分）2020 年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要 面对电脑等电子产品上网课某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在 校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视” “重视” “比较重视” “不重视”四类， 并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为 80 ，并补全条形统计图； （2）该校共有学生 1800 人，请你估计该校对视力保护“非常重

25、视”的学生人数； （3）对视力“非常重视”的 4 人有 A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽 取两人向全校作视力保护交流， 请利用树状图或列表法， 求出恰好抽到一男一女的概率 【分析】 （1） 先求出调查的总人数， 再根据各项目人数之和等于总人数可得重视的人数， 据此可补全条形图； （2）用该校学生总人数乘以“非常重视”人数所占的百分比即可得出答案； （3）先画树状图展示所有 12 个等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数， 然后根据概率公式求解即可得出结果 【解答】解： （1）本次调查的学生总人数有：1620%80（人） ； 重视的人数有：804361624（人） ，

26、 故答案为：80； 补图如图： （2）根据题意得：180090（人） ， 答：该校对视力保护“非常重视”的学生人有 90 人； （3）画树状图如下： 共有 12 种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有 8 个，则 P（恰好抽到一男一女） 21 （12 分）某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了 10 350 元，乙种电 器共用了 9 600 元，甲种电器的件数是乙种电器的 1.5 倍，甲种电器每件的进价比乙种电 器每件的进价少 90 元 （1）甲、乙两种电器各购进多少件？ （2）商场购进两种电器后，按进价提高 40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电 器商场共获利多少元？ 【

27、分析】 （1）设乙种电器购进 x 件，则甲种电器购进 1.5x 件，根据单价总价数量结 合甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少 90 元，即可得出关于 x 的分式方程，解 之经检验后即可得出结论； （2）根据利润进价利润率，即可求出结论 【解答】解： （1）设乙种电器购进 x 件，则甲种电器购进 1.5x 件， 根据题意得：， 解得：x30， 经检验，x30 是原方程的解，且符合题意， 1.5x45 答：甲种电器购进 45 件，乙种电器购进 30 件 （2） （10350+9600）40%7980（元） 答：售完这批电器商场共获利 7980 元 22 （12 分）如图，等边ABC 的顶点

28、A，B 分别在双曲线 y的两个分支上，且 AB 经过 原点 OBDx 轴于 D，SBOD2 （1）直接写出该双曲线的解析式为 y ； （2）若 OD2，求 A、B、C 点的坐标 【分析】 （1）根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得 k 的值，从而求得解析式； （2）把 B 的横坐标代入解析式即可求得 B 的坐标，根据反比例函数图象的对称性可得 OAOB，即可求得 A 坐标，根据等边三角形三线合一可证明COEOBD，根据相 似三角形的性质可得 C 的坐标 【解答】解： （1）点 B 在双曲线 y的图象上，且 BDx 轴于 D， SBOD|k|， SBOD2， |k|4， 图象在二四象限，

29、k4， 反比例函数的解析式为 y， 故答案为 y； （2）作 CEx 轴于 E，连接 OC， OD2， B 的横坐标为 2， 把 x2 代入 y，求得 y2， B（2，2） ， A、B 关于原点对称， A（2，2） ， 反比例函数的图象关于原点对称， OAOB， ABC 是等边三角形， OCAB， BOC90，BCO30， tanBCO， COE+BOD90， CEx 轴，BDx 轴， CEOODBCOE+OCE90， BODOCE， COEOBD， ，即， OECE2， C（2，2） 23 （12 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，过点 C 作O 的切线与 AB 的 延长线

30、相交于点 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于点 F，连接 BE （1）利用尺规作图，过点 A 作 ADCP 于点 D（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）求证：PCF 是等腰三角形； （3）若 tanABC，BE7，求线段 PC 的长 【分析】 （1）按题意画出图形即可； （2） 由条件可得BCPCAB，BCFACF， 结合外角性质可得PCFPFC， 即可证得 PCPF，则可得出结论； （3）求出 AB14，易证PACPCB，由相似三角形的性质可得到，又因为 tanABC，所以可得，进而可得到，设 PC4k，PB3k，则在 Rt POC 中，利用勾股定理可得 PC2+OC2OP2，进而可建

31、立关于 k 的方程，解方程求出 k 的值即可求出 PC 的长 【解答】 （1）解：如图， （2）证明：ADPD， DAC+ACD90 又AB 为O 的直径， ACB90 PCB+ACD90， DACPCB 又PD 切O 于点 C， OCPD， OCAD， ACODAC OCOA， ACOCAO， DACCAO， CAOPCB CE 平分ACB， ACFBCF， CAO+ACFPCB+BCF， PFCPCF， PCPF， 即PCF 是等腰三角形； （3）解：连接 AE， CE 平分ACB， ， AEBE， AB 是O 的直径， AEB90， ABE 是等腰直角三角形， BE7， ABBE14，

32、PACPCB，CPBAPC， PACPCB， 又tanABC， ， ， 设 PC4k，PB3k，则在 RtPOC 中，PO3k+7，OC7， PC2+OC2OP2， （4k）2+72（3k+7）2， k6 （k0 不合题意，舍去） PC4k4624 24 （14 分）在平面直角坐标系中，函数 yax22ax4a（x0）的图象记为 M1，函数 y ax22ax+4a（x0）的图象记为 M2，其中 a 为常数，且 a0，图象 M1，M2合起 来得到的图象记为 M （1）若图象 M1有最低点，且最低点到 x 轴距离为 3，求 a 的值； （2）当 a1 时，若点（m，）在图象 M 上，求 m 的值；

33、 （3）点 P、Q 的坐标分别为（5，1） ， （4，1） ，连结 PQ直接写出线段 PQ 与图 象 M 恰有三个公共点时 a 的取值范围 【分析】 （1）因为提到“最低点” ，所以函数图象 M1对应的抛物线开口向上，a0，令 顶点纵坐标3 即求出 a 的值； （2）把点在图象 M1或图象 M2进行分类讨论，把 a1 和 y代入解析式即求出 m 的值； （3） 把 a0 和 a0 时图象 M 的大致草图画出， 根据图象观察和计算说明线段 PQ 所在 位置对交点个数的影响，得到 a 的范围 【解答】解： （1）yax22ax4aa（x1）25a，且图象 M1的最低点到 x 轴距离 为 3， a0

34、， |5a|3，即5a3 a； （2）当 a1 时，点（m，）在图象 M 上， 若点在图象 M1上，即 m0，m22m+4， 解得：m11+，m21（舍去） ， 若点在图象 M2上，即 m0，m22m+4， 解得：m31+（舍去） ，m41， 综上所述，m 的值为 1+或1； （3）若 a0，则图象 M 的大致形状如图 1， 若线段 PQ 经过图象 M1的顶点（1，5a） ， 则5a1，得 a， 对于图象 M2，x2x+1 时，解得：x11+（舍去） ，x21， 15， 直线 PQ 与图象 M2的交点在点 P 的右侧， 线段 PQ 与图象 M 恰有三个公共点时，则， 解得a； 若 a0，则图象

35、 M 的大致形状如图 2， 函数 yax22ax+4a（x0）图象 M2的顶点（1，5a） ， 若线段 PQ 经过图象 M2的顶点（1，5a） ， 则 5a1，得 a， 对于图象 M1，x2+x+1 时，解得：x11+，x21（舍去） ， 1+4， 直线 PQ 与图象 M1的交点在点 Q 的左侧， 此时线段 PQ 与图形 M 只有一个交点，不符合题意， 若线段 PQ 与 y 轴的交点等于图象 M2与 y 轴交点高时，如图 2， 则 4a1，解得：a， 对于图象 M1，x2+x+11 时，解得：x14，x22（舍去） ， Q 的坐标为（4，1） ， 此时线段 PQ 与图形 M 有三个交点，符合题

36、意， 综上所述，线段 PQ 与图象 M 有三个个交点时，a或 a 25 （14 分） 如图， 在 RtABC 中， ACBC4， ACB90， 正方形 BDEF 的边长为 2， 将正方形 BDEF 绕点 B 旋转一周，连接 AE、BE、CD （1）请判断线段 AE 和 CD 的数量关系，并说明理由； （2）当 A、E、F 三点在同一直线上时，求 CD 的长； （3）设 AE 的中点为 M，连接 FM，试求线段 FM 长的最大值 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论； （2） 根据相似三角形的性质得到 ABBC4， 根据勾股定理得到 AF 2，接下来分两种情形：

37、如图 1，当 AE 在 AB 左上方时，如图 2，当 AE 在 AB 右下方时，即可得到结论； （3）如图 3，延长 EF 到 G 使 FGEF，连接 AG，BG，求得BFG 是等腰直角三角形， 得到 BGBF2，设 M 为 AE 的中点，连接 MF，根据三角形中位线的定理得到 AG2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论 【解答】解： （1）结论：AECD 理由：在 RtABC 中，ACBC4，ACB90， ABCEBD45， ABECBD， 四边形 BDEF 是正方形，ABC 是等腰直角三角形， ， ， ABECBD， ， AECD； （2ACBC4，ACB90， ABBC4， 当 A、E、F 三点在一直线上时， AFB90， AF2， 如图 1，当 AE 在 AB 左上方时， AEAFEF22， AECD， CDAE， 如图 2，当 AE 在 AB 右下方时， 同理，AEAF+EF2+2， CD+， 综上所述，当 A、E、F 三点在一直线上时，CD 的长为或+； （3）如图 3，延长 EF 到 G 使 FGEF，连接 AG，BG， 则BFG 是等腰直角三角形， BGBF2， 设 M 为 AE 的中点， 连接 MF， MF 是AGE 的中位线， AG2FM， 在ABG 中，ABBGAGAB+BG， 2AG6， FM3， FM 的最大值为 3