河北省衡水中学2020年高考数学一模试卷(文科)含答案解析
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1、河北省衡水中学河北省衡水中学 2020 年年高考数学一模试卷(文科)高考数学一模试卷(文科)(解析版解析版) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 5 分,共分,共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上)案的序号填涂在答题卡上) 1设集合 Mx|x2x,Nx|lgx0,则 MN( ) A0,1 B (0,1 C0,1) D (,1 2已知,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共轭复数为( ) A1+2i B12i C2+i D2i 3已知点 M 在角 q 终边关于 yx 对称的曲线上
2、,且|OM|1,则 M 的坐标为( ) A (cosq,sinq) B (cosq,sinq) C (sinq,cosq) D (sinq,cosq) 4在如图所示的程序框图中,若 a(),blog42,clog23log32,则输出的 x 等于( ) A0.25 B0.5 C1 D2 5某学校上午安排上四节课,每节课时间为 40 分钟,第一节课上课时间为 8:008:40, 课间休息 10 分钟某学生因故迟到,若他在 9:1010:00 之间到达教室,则他听第二 节课的时间不少于 10 分钟的概率为( ) A B C D 6设 a1,a2,anR,n3若 p:a1,a2,an成等比数列;q:
3、 (a12+a22+an12) (a22+a32+an2)(a1a2+a2a3+an1an)2,则( ) Ap 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 7在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示校情已受控制,以便向该地区居 众显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不 超过 5 人” ,根据连续 7 天的新增病例数计算,下列各项选项中,一定符合上述指标的是 ( ) 平均数 3; 标准差 s2; 平均数 3;且标准差
4、 s2; 平均数 3;且极差小于或等于 2; 众数等于 1 且极差小于或等于 4 A B C D 8如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,过轴 PO 的截面 PAB,C 为 PA 中点,PA4, PO6,则从点 C 经圆锥侧面到点 B 的最短距离为( ) A2 B2 C6 D2 9小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步,他从点 A 出发,沿箭头方向经过点 B 跑到点 C, 共用时 30s, 他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程, 设小明跑步的时间为 t(s) ,他与教练间的距离为 y(m) ,表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示,则 这个固定位置可能是图 1 中的( )
5、 A点 M B点 N C点 P D点 Q 10已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,准线 l 与 x 轴交于点 A,点 P 在抛物线上, 点 P 到准线 l 的距离为 d,点 O 关于准线 1 的对称点为点 B,BP 交 y 轴于点 M,若|BP| a|BM|,|OM|d则实数 a 的值是( ) A B2 C D 11如图所示是一款热卖的小方凳,其正、侧视图如图所示,如果凳脚是由底面为正方形的 直棱柱经过切割后得到,当正方形边长为 2cm 时,则切面的面积为( ) A B C D 12 设函数 f (x) , 若曲线 ysinx+上存在点 (x0, y0) 使得 f (f (y0) )
6、y0成立,则实数 a 的取值范围为( ) A0,e2e+1 B0,e2+e1 C0,e2e1 D0,e2+e+1 二、填空题(共二、填空题(共 20 分把答案填在答题纸的横线上)分把答案填在答题纸的横线上) 13 在平面直角坐标系中, 若 x, y 满足约束条件, 则 z3x+2y 的最大值为 14某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:)满足函数关系 yekx+b (e2.718为自然对数的底数, k、 b 为常数) 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时, 在 22的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33的保鲜时间是 小时 15在平面直角坐标系 xOy 中,以 C(1,
7、1)为圆心的圆与 x 轴和 y 轴分别相切于 A,B 两 点,点 M,N 分别在线段 OA,OB 上,若 MN 与圆 C 相切,则|MN|的最小值为 16已知 O 为ABC 的外心,且 A,+2m,则 m 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,小题,1721 题每题题每题 12 分,分,22、23 选做一题选做一题 10 分,共分,共 70 分,分, 解答应写出证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置)解答应写出证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置) 17 (12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 (1)若数列an+t是等比数列,求 t 的取值; (2)求数列an的
8、通项公式; (3)记,求数列bn的前 n 项和 Tn 18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,E,F 分别为 CD,PB 的中点 (1)求证:EF平面 PAD (2)在线段 PC 上是否存在一点 Q 使得 A,E,Q,F 四点共面?若存在,求出的值; 若不存在,请说明理由 19 (12 分)为提倡节能减排,同时减轻居民负担,广州市积极推进“一户一表”工程非 一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准:0.65 元/度 “一户一表”用户电费采用 阶梯电价收取,其 11 月到次年 4 月起执行非夏季标准如下: 第一档 第二档 第三档 每户每月用电量(单位: 度)
9、0,200 (200,400 (400,+) 电价(单位:元/度) 0.61 0.66 0.91 例如: 某用户 11 月用电 410 度, 采用合表电价收费标准, 应交电费 4100.65266.5 元, 若采用阶梯电价收费标准,应交电费 2000.61+(400200)0.66+(410400)0.91 263.1 元 为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果,随机调查了该市 100 户的 11 月用 电量,工作人员已经将 90 户的月用电量填在下面的频率分布表中,最后 10 户的月用电 量(单位:度)为:88、268、370、140、440、420、520、320、230、380
10、组别 月用电量 频数统计 频数 频率 0,100 (100,200 (200,300 (300,400 (400,500 (500,600 合计 (1)在答题卡中完成频率分布表,并绘制频率分布直方图; (2)根据已有信息,试估计全市住户 11 月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点 值作代表) ; (3)设某用户 11 月用电量为 x 度(xN) ,按照合表电价收费标准应交 y1元,按照阶梯 电价收费标准应交 y2元,请用 x 表示 y1和 y1,并求当 y2y1时,x 的最大值,同时根据 频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于 75%的用户带来实惠? 20 (12 分)已知椭圆 E:+
11、1(ab0)的一个焦点为 F1(,0) ,而且过点 H(,) (1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的上下顶点分别为 A1,A2,P 是椭圆上异于 A1,A2的任一点,直线 PA1, PA2分别交 x 轴于点 N,M,若直线 OT 与过点 M,N 的圆 G 相切,切点为 T证明:线 段 OT 的长为定值,并求出该定值 21 (12 分)已知函数 f(x)4xx4,xR ()求 f(x)的单调区间; () 设曲线 yf (x) 与 x 轴正半轴的交点为 P, 曲线在点 P 处的切线方程为 yg (x) , 求证:对于任意的实数 x,都有 f(x)g(x) ; ()若方程 f(x)a(a
12、为实数)有两个实数根 x1,x2,且 x1x2,求证:x2x1 + 二选一: (本小题满分二选一: (本小题满分 10 分)请考生在分)请考生在 22、23 两题中任选一题作答,并在相应题号前的方两题中任选一题作答,并在相应题号前的方 框中涂黑框中涂黑选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(10 分)分) 22 (10 分)在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1:( 为参数) ,在以平面直角 坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴,且与平面直角坐标系 xoy 取相同单位长度的 极坐标系中,曲线 C2: (1)求曲线 C1的普通方程以及曲线 C2的平面直角坐标方程; (2)若曲
13、线 C1上恰好存在三个不同的点到曲线 C2的距离相等,求这三个点的极坐标 选修选修 45:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23若 a0,b0,且 (1)求的最小值; (2)是否存在 a,b,使得的值为?并说明理由 2020 年河北省衡水中学高考数学一模试卷(文科)年河北省衡水中学高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 5 分,共分,共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上)案的序号填涂在答题卡上) 1设集合 Mx|x2x,Nx|lg
14、x0,则 MN( ) A0,1 B (0,1 C0,1) D (,1 【分析】 求解一元二次方程化简 M, 求解对数不等式化简 N, 然后利用并集运算得答案 【解答】解:由 Mx|x2x0,1, Nx|lgx0(0,1, 得 MN0,1(0,10,1 故选:A 【点评】本题考查了并集及其运算,考查了对数不等式的解法,是基础题 2已知,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共轭复数为( ) A1+2i B12i C2+i D2i 【分析】由已知得出 x(1+i) (1yi) ,由复数相等的概念求出 x,y 确定出 x+yi,再得 出共轭复数 【解答】解:由已知,x(1+i) (1
15、yi) ,计算 x1+y+(1y)i 根据复数相等的概念,解得, x+yi2+i,其共轭复数为 2i 故选:D 【点评】本题考查复数的基本运算,复数相等、共轭复数的概念属于基础题 3已知点 M 在角 q 终边关于 yx 对称的曲线上,且|OM|1,则 M 的坐标为( ) A (cosq,sinq) B (cosq,sinq) C (sinq,cosq) D (sinq,cosq) 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,两点关于直线 yx 对称的特点,得出结 论 【解答】解:由题意可得点 M 的横坐标为 sinq,纵坐标为 cosq, 故选:C 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两
16、点关于直线 yx 对称的特点,属于 基础题 4在如图所示的程序框图中,若 a(),blog42,clog23log32,则输出的 x 等于( ) A0.25 B0.5 C1 D2 【分析】由程序框图知:算法的功能是求 a,b,c 三个数中的最大数,根据对数函数的 性质比较出 a、b、c 的大小关系即可 【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求 a,b,c 三个数中的最大数, 由于:a();blog42;clog23log321, 可得:abc, 则输出 x 的值是 1 故选:C 【点评】本题考查了选择结构的程序框图,以及对数函数的性质的应用,根据框图的流 程判断算法的功能是解答此类问题的关键
17、5某学校上午安排上四节课,每节课时间为 40 分钟,第一节课上课时间为 8:008:40, 课间休息 10 分钟某学生因故迟到,若他在 9:1010:00 之间到达教室,则他听第二 节课的时间不少于 10 分钟的概率为( ) A B C D 【分析】由题意,此学生在 9:1010:00 之间随机到达教室,区间长度为 50,他听第 二节课的时间不少于 10 分钟, 则他在 9: 109: 20 之间随机到达教室, 区间长度为 10, 即可求出概率 【解答】解:他在 9:1010:00 之间随机到达教室,区间长度为 50,他听第二节课的 时间不少于 10 分钟,则他在 9:109:20 之间随机到
18、达教室,区间长度为 10, 他在 9:1010:00 之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于 10 分钟的概率 是, 故选:A 【点评】本题主要考查几何概型中的长度类型,解决的关键是找到问题的分界点,分清 是长度,面积,还是体积类型,再应用概率公式求解 6设 a1,a2,anR,n3若 p:a1,a2,an成等比数列;q: (a12+a22+an12) (a22+a32+an2)(a1a2+a2a3+an1an)2,则( ) Ap 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件,也不
19、是 q 的必要条件 【分析】 运用柯西不等式, 可得: (a12+a22+an12) (a22+a32+an2) (a1a2+a2a3+ +an1an)2,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得 到 【解答】解:由 a1,a2,anR,n3 运用柯西不等式,可得: (a12+a22+an12) (a22+a32+an2)(a1a2+a2a3+an1an)2, 若 a1,a2,an成等比数列,即有, 则(a12+a22+an12) (a22+a32+an2)(a1a2+a2a3+an1an)2, 即由 p 推得 q, 但由 q 推不到 p,比如 a1a2a3an0,则
20、 a1,a2,an不成等比数列 故 p 是 q 的充分不必要条件 故选:A 【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查等比数列的定义,注意运用定义法和 柯西不等式解题是关键 7在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示校情已受控制,以便向该地区居 众显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不 超过 5 人” ,根据连续 7 天的新增病例数计算,下列各项选项中,一定符合上述指标的是 ( ) 平均数 3; 标准差 s2; 平均数 3;且标准差 s2; 平均数 3;且极差小于或等于 2; 众数等于 1 且极差小于或等于 4 A B C D 【分析】对举反例
21、判断,对于分情况讨论,对于结合题意判断即可 【解答】解:错,举反例:0,0,0,0,2,6,6,其平均数 23,但不符合题意, 错,举反例:6,6,6,6,6,6,6,其标准差 s02,但不符合题意, 错,举反例:0,0,0,0,0,1,6,平均数 13,且标准差 s2;但不符合题意, 对,若极差小于 2,显然符合条件, 若极差小于等于 2,有可能(1)0,1,2; (2)1,2,3; (3)2,3,4; (4)3,4,5; (5)4,5,6 在平均数 3 的条件下,只有(1) (2) (3)成立,符合条件 对,在众数等于 1 且极差小于等于 4 时,最大数不超过 5,符合条件 故选:D 【点
22、评】本题考查了平均数,极差,方差等基本知识,考查分类讨论思想,是一道常规 题 8如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,过轴 PO 的截面 PAB,C 为 PA 中点,PA4, PO6,则从点 C 经圆锥侧面到点 B 的最短距离为( ) A2 B2 C6 D2 【分析】由题意画出图形,得到圆锥沿母线剪开再展开的图形,由勾股定理求解 【解答】解:如图, 沿圆锥母线 PA 剪开再展开, PA4,PO6,OA, 则圆锥底面周长为,展开后所得扇形为半圆, B 到 B处,则从点 C 经圆锥侧面到点 B 的最短距离为 故选:A 【点评】本题考查旋转体表面上的最短距离问题,考查弧长公式的应用,是基础题 9小明
23、在如图 1 所示的跑道上匀速跑步,他从点 A 出发,沿箭头方向经过点 B 跑到点 C, 共用时 30s, 他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程, 设小明跑步的时间为 t(s) ,他与教练间的距离为 y(m) ,表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示,则 这个固定位置可能是图 1 中的( ) A点 M B点 N C点 P D点 Q 【分析】分别假设这个位置在点 M、N、P、Q,然后结合函数图象进行判断利用排除 法即可得出答案 【解答】解:A、假设这个位置在点 M,则从 A 至 B 这段时间,y 不随时间的变化改变, 与函数图象不符,故本选项错误; B、假设这个位置在点 N
24、,则从 A 至 C 这段时间,A 点与 C 点对应 y 的大小应该相同, 与函数图象不符,故本选项错误; C、假设这个位置在点 P,则由函数图象可得,从 A 到 C 的过程中,会有一个时刻,教 练到小明的距离等于经过 30 秒时教练到小明的距离,而点 P 不符合这个条件,故本选项 错误; D、经判断点 Q 符合函数图象,故本选项正确; 故选:D 【点评】 此题考查了动点问题的函数图象, 解答本题要注意依次判断各点位置的可能性, 点 P 的位置不好排除,同学们要注意仔细观察 10已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,准线 l 与 x 轴交于点 A,点 P 在抛物线上, 点 P 到准线 l
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