2020年全国各地中考数学真题分类汇编知识点19:二次函数几何方面的应用
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1、 知识点知识点 19 二次函数几何方面的应用二次函数几何方面的应用 一、选择题一、选择题 (2020南充)9.如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1) , (3,1) , (3,3) , (1,3) ,若 抛物线 y=ax 2的图象与正方形有公共顶点,则实数 a 的取值范围是( ) A. 3 9 1 a B. 1 9 1 a C. 3 3 1 a D. 1 3 1 a 答案A 解析 抛物线 y=a 2 x 的图象与正方形有公共顶点, 必须满足 1x3.抛物线经过 (1,3) 时, a=3,抛物线过(1,1)时,a=1,a 最大可以取 3;抛物线过点(3,1)时,a= 1 9 ,抛物线 过(3
2、,3)时,a= 1 3 ,a 最小可以取 1 9 ,所以3 9 1 a,故选 A. 二、填空题二、填空题 17 (2020无锡)二次函数 y=ax23ax+3 的图像过点 A(6,0) ,且与 y 轴交于点 B,点 M 在该抛物线的对称轴上,若ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形,则点 M 的坐标 为 答案(3 2,9)或( 3 2,6) 解析根据题意得,点 B 坐标为(0,3) ,对称轴为直线为 x3 2,若ABM90时,tan BAOtanBM1CtanNBM11 2, 则 BN3, 则 ON6, 则 M 的坐标为 ( 3 2, 6) 若BAM 90时,可以求得点 M2的坐标为(3 2
3、,9) 三、解答题三、解答题 24 (2020 湖州)如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yx2+bx+c(c0)的顶 点为 D,与 y 轴的交点为 C过点 C 的直线 CA 与抛物线交于另一点 A(点 A 在对称轴左 侧) ,点 B 在 AC 的延长线上,连结 OA,OB,DA 和 DB (1)如图 1,当 ACx 轴时, 已知点 A 的坐标是(2,1) ,求抛物线的解析式;若四边形 AOBD 是平行四边形, 求证:b24c (2)如图 2,若 b2, = 3 5,是否存在这样的点 A,使四边形 AOBD 是平行四边 形?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】
4、 (1)先确定出点 C 的坐标,再用待定系数法即可得出结论; 先确定出抛物线的顶点坐标, 进而得出DF= b2 4 , 再判断出AFDBCO, 得出DFOC, 即可得出结论; (2)先判断出抛物线的顶点坐标 D(1,c+1) ,设点 A(m,m22m+c) (m0) , 判断出AFDBCO(AAS) ,得出 AFBC,DFOC,再判断出ANFAMC,得 出AN AM = FN CM = AF AC = BC AC = 3 5,进而求出 m 的值,得出点 A 的纵坐标为 c 5 4 c,进而判断出点 M 的坐标为(0,c 5 4) ,N(1,c 5 4) ,进而得出 CM= 5 4,DN= 9
5、4,FN= 9 4 c,进而求出 c= 3 2,即可得出结论 【解答】解: (1)ACx 轴,点 A(2,1) ,C(0,1) , 将点 A(2,1) ,C(0,1)代入抛物线解析式中,得4 2b + c = 1 c = 1 ,b = 2 c = 1 , 抛物线的解析式为 yx22x+1; 如图 1,过点 D 作 DEx 轴于 E,交 AB 于点 F,ACx 轴,EFOCc, y x D N C M1 B A O y x M2 B A O 点 D 是抛物线的顶点坐标,D(b 2,c+ b2 4 ) ,DFDEEFc+ b2 4 c= b2 4 , 四边形 AOBD 是平行四边形,ADDO,AD
6、OB,DAFOBC, AFDBCO90,AFDBCO(AAS) ,DFOC,b 2 4 =c,即 b24c; (2)如图 2,b2抛物线的解析式为 yx22x+c, 顶点坐标 D(1,c+1) ,假设存在这样的点 A 使四边形 AOBD 是平行四边形, 设点 A(m,m22m+c) (m0) ,过点 D 作 DEx 轴于点 E,交 AB 于 F, AFDEFCBCO,四边形 AOBD 是平行四边形,ADBO,ADOB, DAFOBC,AFDBCO(AAS) ,AFBC,DFOC, 过点 A 作 AMy 轴于 M, 交 DE 于 N, DECO, ANFAMC, AN AM = FN CM =
7、AF AC = BC AC = 3 5, AMm,ANAMNMm1,;m;1 ;m = 3 5,m = 5 2, 点 A 的纵坐标为( 5 2)22( 5 2)+cc 5 4 c,AMx 轴, 点 M 的坐标为(0,c 5 4) ,N(1,c 5 4) ,CMc(c 5 4)= 5 4, 点 D 的坐标为(1,c+1) ,DN(c+1)(c 5 4)= 9 4,DFOCc, FNDNDF= 9 4 c,FN CM = 3 5, 9 4;c 5 4 = 3 5,c= 3 2,c 5 4 = 1 4,点 A 纵坐标为 1 4, A( 5 2, 1 4) , 存在这样的点 A,使四边形 AOBD 是
8、平行四边形 25(2020铜仁)如图,已知抛物线yax2+bx+6经过两点A(1,0),B(3,0),C 是抛物线与y轴的交点 (1)求抛物线的解析式; (2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设PBC 的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大 值; (3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得 CMN90, 且CMN与OBC相似, 如果存在, 请求出点M和点N的坐标 解析(1)根据点A、B的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)过点P作PFy轴,交BC于点F,利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标, 根
9、据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,设点P的坐标为(m, 2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,2m+6),进而可得出PF的长度,利用三角形的面积 公式可得出SPBC3m2+9m, 配方后利用二次函数的性质即可求出PBC面积的最大值; (3)分两种不同情况,当点M位于点C上方或下方时,画出图形,由相似三角形的性质得出 方程,求出点M,点N的坐标即可 答案解:(1)将A(1,0)、B(3,0)代入yax2+bx+6, 得:,解得:,抛物线的解析式为y2x2+4x+6 (2)过点P作PFy轴,交BC于点F,如图1所示当x0时,y2x2+4x+6 6, 点C的坐标为(0,6)设
10、直线BC的解析式为ykx+c, 将B(3,0)、C(0,6)代入ykx+c,得: ,解得:,直线BC的解析式为y2x+6 设点P的坐标为(m,2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,2m+6), PF2m2+4m+6(2m+6)2m2+6m, SPBCPFOB3m2+9m3(m)2+, 当m时,PBC的面积取得最大值,最大值为 点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,0m3 (3)存在点M、点N使得CMN90,且CMN与OBC相似 如图2,CMN90,当点M位于点C上方,过点M作MDy轴于点D, CDMCMN90,DCMNCM,MCDNCM, 若CMN与OBC相似,则MCD与B
11、CO相似, 设M(a,2a2+4a+6),C(0,6),DC2a2+4a,DMa, 当时,COBCDMCMN, 解得a1.M(1,8),此时NDDM,N(0,),当 时, COBMDCNMC, , 解得a, M (,) , 此时N (0,) 如图3,当点M位于点C的下方, 过点M作MEy轴于点E,设M(a,2a2+4a+6),C(0,6), EC2a24a,EMa,同理可得:或2,CMN 与OBC相似,解得a或a3,M(,)或M(3,0), 此时N点坐标为(0,)或(0,) 综上所述,M(1,8),N(0,)或M(,),N(0,)或M (,),N(0, )或M(3,0),N(0,),使得CMN
12、90, 且CMN与OBC相似 25(2020重庆A卷)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x 2+bx+c与直线AB相交于 A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1) (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求PAB面积的最大值; (3) 将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 2 1111 0ya xb xc a,平移后的抛物 线与原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是 否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点E的 坐标;若不存在,请说明理由 解析(1)将A,B两
13、点的坐标分别代入y=x2+bx+c,得到方程组,通过解方程组求出b,c; (2)由A,B两点的坐标求出直线AB的函数表达式y=x-1. 过点P作PQx轴交AB于点Q,设P (t,t2+4t-1) , Q (t,t-1) , 则PQ= (t-1) -(t2+4t-1)=-t2-3t.根据 “SPAB= 1 2 PQ |xA-xB|” 求出SPAB与t的函数表达式,进而求出该函数的最大值;(3)抛物线y=x2+4x-1向右平移 后的抛物线的表达式为y=x2-5,它们的交点为点C(-1,-4),以点B,C,D,E为顶点的 四边形为菱形可分为BC为对角线,BD为对角线,BE为对角线三种情况,其中BE为
14、对角线又分 为点E在直线AB上方和下方两种情况. 答案解: (1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4),点B(0,-1), 934, 1 bc c ,解得 4, 1 b c .该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1. (2)设直线AB的函数表达式为y=kx+m(k0). 将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式,得 34, 1 km m ,解得 1, 1 k m ,直线 AB的函数表达式为y=x-1. 过点P作PQx轴交AB于点Q.设P(t,t2+4t-1)(-3t0),则Q(t,t-1). PQ=(t-1)-(t2+4t-1)=-t2-3t.SPAB= 1 2PQ|x
15、A-xB|= 1 2(-t2-3t)3=- 3 2t2- 9 2 t. t=- 9 3 2 32 2 2 ,-3- 3 20,当t=- 3 2时,SPAB有最大值.最大值为SPAB= 27 8 . PAB面积的最大值为 27 8 . (3)满足条件的点E的坐标为(1,-3),(-3,-4+ 6 ),(-3,-4- 6 ),(-1,,2). 28(2020江苏徐州)如图,在平面直角坐标系中,函数 2 23 (0)yaxaxa a 的图像交x轴 于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点E.过点C作CDx轴交抛物线于点D,连接DE 并延长交y轴于点F,交抛物线于点G.直线AF交CD于点H,交抛
16、物线于点K,连接HE、GK. (1)点E的坐标为: ; (2)当HEF是直角三角形时,求a的值; (3)HE与GK有怎么的位置关系?请说明理由. (第28题) 备用图 解析 (1)利用二次函数对称轴的方程来进行计算; (2)先分别求出A、B、C三点的坐标, 根据对称性求出点D的坐标,利用待定系数法求出直线DE的解析式,通过解由直线DE和二次 函数的解析式组成的方程组可得G点的坐标,由直线DE的解析式求出点F的坐标,同样求出点 K的坐标和H点的坐标,然后由H、F、E三点的坐标,利用两点间距离公式分三种情形来进行 计算可得a的值;(3)在(2)的条件下,分别求出直线HE和直线GK的解析式,然后由解
17、析 式来判别直线HE和直线GK的位置关系. 答案解: (1)(1,0),理由如下: 对于抛物线 2 23yaxaxa ,它的对称轴x= 2 2 () a a =1,E点的坐标为(1,0); (2)对于抛物线 2 23yaxaxa , 令y=0,有 2 23axaxa =0,解得x1=1,x2=3,A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(3, 0),令x=0,则y=3a,点C的坐标为(0,3a), 由于CDx轴,点D和C关于抛物线的对称轴对称,点D的坐标为(2,3a), 设直线DE的解析式为:y=kx+b,代入(1,0)和(2,3a), 有 0 23 kb kba ,解得k=3a,b=3a,直线E
18、D的解析式为:y=3ax3a, 令x=0,则y=3a,点F的坐标为(0,3a), 解方程组 2 33 23 yaxa yaxaxa ,解得G的坐标为(3,12a), 同理可求得直线HK的解析式为:y=3ax3a,点K的坐标为(6,21a), 对于直线y=3ax3a,令y=3a,解得H的坐标为(2,3a),H(2,3a),E(1,0), F(0,3a),根据两点间距离公式可得:HE2=9a2+9,HF2=36a2+4,EF2=9a2+1, 当HE2= HF2+ EF2时,有9a2+9=36a2+4+9a2+1,解得a= 1 3(舍负); 当HF2= HE 2+ EF2时,有36a2+4=9a2+
19、9+9a2+1,解得a= 3 3 , 当HE2+ HF2= EF2时,有9a2+9+36a2+4=9a2+1,无解,a的值为: 1 3或 3 3 . (3)由于点G(3,12a),K(6,21a),直线GK的解析式为:y=ax15a, 由于点H的坐标为(2,3a),点E的坐标为(1,0),直线HE的解析式为:y=ax+a, 直线GK直线HE. 25 (2020 聊城) 如图, 二次函数yax 2bx4 的图象与 x轴交于点A(1 0),B(4 0), 与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E垂直于x轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线l在抛物线的对称轴的
20、右侧(不含对称轴) 沿x轴正方向移动到B点 (1)求出二次函数yax 2bx4 和 BC所在直线的表达式; (2)在动直线l移动的过程中,试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标; y x K H F G E D B C A O y x K H F G E D B C A O (3)连接CP,CD,在移动直线l移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C, F为顶点的三角形与DCE相似,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由 解析(1)运用待定系数法,利用 A,B 两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表 达式,利用 B,C 两点的坐标确定直线 BC 的表达式; (2)
21、DE 长可求,由于直线 l 与抛物线的对称轴互相平行,故只需具备 PFDE,即得四边形 DEFP 为平行四边形点 P 与点 F 的横坐标相同,故利用抛物线与直线的解析式表示它们 的纵坐标,根据其差等于 DE 长构建一元二次方程求解; (3) 结合图形与已知条件, 易于发现若两三角形相似, 只可能存在PCFCDE一种情况 CDE 的三边均可求,(2)中已表示 PF 的长,再构建直角三角形或借助两点间距离公式, 利用勾股定理表示出 CF 的长,这样根据比例式列方程求解,从而可判断点 P 是否存在, 以及求解点 P 的值 答案解:(1)由题意,将 A(10),B(40)代入 yax2bx4,得 .
22、04416 , 04 ba ba 解得 . 3 , 1 b a 二次函数的表达式为 yx23x4 当 x0 时,y4,得点 C(0,4),又点 B(4,0),设线段 BC 所在直线的表达式为 ymxn, . 04 , 4 nm n 解得 . 4 , 1 n m BC 所在直线的表达式为 yx4 (2)DEx 轴,PFx 轴,DEPF, 只要 DEPF,此时四边形 DEFP 即为平行四边形由二次函数 yx23x4(x 2 3 ) 2 4 25 ,得 D( 2 3 , 4 25 )将 x 2 3 代入 yx4,即 y 2 3 4 2 5 ,得点 E( 2 3 ,2 5 ) DE 4 25 2 5
23、4 15 设点 P 的横坐标为 t,则 P(t,t23t4),F(t,t4), PFt23t4(t4)t24t,由 DEPF,得t24t 4 15 , 解之,得 t1 2 3 (不合题意,舍去),t2 2 5 当 t 2 5 时,t23t4( 2 5 )23 2 5 4 4 21 P( 2 5 , 4 21 ) C A O E F B P D l x y (3)由(2)知,PFDE,CEDCFP 又PCF 与DCE 有共同的顶点 C,且PCF 在DCE 的内部,PCFDCE, 只有当PCFCDE 时,PCFCDE 由 D( 2 3 , 4 25 ),C(0,4),E( 2 3 , 2 5 ),
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