2020年全国各地中考数学真题分类汇编知识点49:发现拓展应用型问题
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1、知识点知识点 49 发现、拓展、应用型问题发现、拓展、应用型问题 三、解答题三、解答题 23(2020衢州) 小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究,请你一起来解 决问题 (1)小明利用“几何画板”软件进行观察,测量,得到l随m变 化的一组对应值, 并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点 (如 图2),请你在图2中连线,观察图象特征并猜想l与m可能满足的函 数类别 (2)小明结合图1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想,请 你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围, 并求出线段EF长度的最小值 (3)小明通过观察,推理,发现BEF能成为直角三角形,请你求出当 BEF为直角
2、三角形时m的值 解析 (1) 按自变量由小到大的顺序, 用平滑的曲线进行连线可得函数的图象, 从函数的形状可知它为抛物线; (2)由D、F两点的对称性,通过全等三角形以及函数的解析式可得用含m的 代数式表示出D、 F和E点的坐标, 然后利用两点间距离公式可得EF2的解析式, 再由点C的坐标可得m的取值范围; (3)分FBE、BEF和BFE是否为直角进行讨论,并利用两点间距离公式 如图1,在平面直角坐标系中,ABC的顶点A,C分别是直线 与坐标轴的交点,点B的坐标为(2,0),点D是边AC上 的一点,DEBC于点E,点F在边AB上,且D,F两点关于y轴上的某点 成中心对称,连结DF,EF设点D的
3、横坐标为m,EF2为l,请探究: 线段EF长度是否有最小值; BEF能否成为直角三角形 进行求解. 答案解: (1)画图如下:猜想函数的类别为二次函数; 图1 (2) 如图1, 过点F, D分别作FG, DH垂直于y轴, 垂足分别为G, H, 则FGK= DHK=90. 设FD交y轴于点K,D点与F点关于y轴上的K点成中心对称,KF=KD, FKG=DKH,RtFGKRtDHK,FG=DH. 由yAC=- 8 4 3 x 可知A(0,4) ,又B为(-2,0),yAB=2x+4,过点F作FRx轴于 点R, D点的横坐标为m,F(-m,-2m+4),ER=2m,FR=-2m+4, EF2=FR2
4、+ER2,l=EF2=8m2-16m+16=8(m-1)2+8. 令- 8 4 3 x =0,解得x=1.5,0 1.5m ,当m=1时,l的最小值为8.EF的最小值为 22. (3)分以下三种情形进行讨论: FBE为定角, 不可能为直角; 当BEF=90, E点与O点重合, D点与A点、F点重合,此时m=0; 当BFE=90时,如图2, 由于BF2+EF2=BE2, 由(2)得EF28m216m+16,又BRm+2,FR 2m+4, BF2BR2+FR2 (m+2) 2+ (2m+4) 25m220m+20, 又BE2 (m+2) y x 16 1.5 O y x R G K F H EB
5、A C O D y x R F EB A C O D 2, (5m220m+8)+(8m216m+16)2(m+2)2,化简得,3m210m+8 0,解得m1= 4 3,m2=2(不符题意,舍去),综上,当BEF为直角三角形时, m=0或 4 3. 24(2020衢州)【性质探究】 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分BAC,交BC于点 E作DFAE于点H,分别交AB,AC于点F,G (1)判断AFG的形状并说明理由; (2)求证:BF2OG 【迁移应用】 (3)记DGO的面积为S1,DBF的面积为S2,当 1 2 S1 S3 时,求 AD AB 的值; 【拓展延伸】
6、(4)若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变,连结EF,当 BEF的面积为矩形ABCD面积的 1 10 时,请直接写出tanBAE的值 解析(1)如图1中,AFG是等腰三角形利用全等三角形的性质来进行证 明 (2)如图2中,过点O作OLAB交DF于L,则AFGOLG首先证明OG OL,再证明BF2OL,即BF2OG (3)如图3中,过点D作DKAC于K,则DKACDA90,利用相似 三角形的性质解决问题即可 (4)设OGa,AGk分两种情形:如图4中,连接EF,当点F 在线段AB上时, 点G在OA上 如图5中, 当点F在AB的延长线上时, 点G在线段OC上,连接EF分别求解即可解
7、决问题 答案解:如图1中,AFG是等腰三角形 理由: AE平分BAC, 12, DFAE, AHFAHG90, AHAH,AHFAHG,AFAG,AFG是等腰三角形 (2)证明:如图2中,过点O作OLAB交DF于L,则AFGOLG AFAG,AFGAGF,AGFOGL, OGLOLG,OGOL, OLAB,DLODFB, OLDO BFBD , 四边形ABCD是矩形,BD2OD,BF2OL,BF2OG (3)解:如图3中,过点D作DKAC于K,则DKACDA90, DAKCAD,ADKACD, DKCD ADAC . S1 1 2 OGDK,S2 1 2 BFAD,又BF2OG, 1 2 1
8、3 S S , 2 3 DKCD ADAC , 设CD2x, AC3x, 则AD5x, 5 2 A D A D A B C D (4)解:设OGa,AGk 如图4中,连接EF,当点F在线段AB上时,点G在OA上 AFAG,BF2OG,AFAGk,BF2a,ABk+2a,AC2AO=2 (k+a), AD2AC2CD22(k+a)2(k+2a)23k2+4ka, ABEDAF90,BAEADF,ABEDAF, BEAF ABAD , 2 BEk kaAD ,BE 2k ka AD ,由题意:10 1 2 2a 2k ka AD AD(k+2a), AD210ka,即10ka3k2+4ka,k2a
9、,AD2 5a, BE 24 5 5 k ka AD a,AB4a,tanBAE 5 5 BE AB 如图5中, 当点F在AB的延长线上时, 点G在线段OC上, 连接EF AFAG,BF2OG,AFAGk,BF2a,ABk2a,AC2(k a), AD2AC2CD22(ka)2(k2a)23k24ka, ABEDAF90,BAEADF,ABEDAF, BEAF ABAD , 2 BEk kaAD ,BE 2k ka AD , 由题意:10 1 2 2a 2k ka AD AD(k2a),AD210ka,即10ka3k24ka, k 14 3 a,AD 2 105 3 a, BE 28 105
10、45 k ka AD a,AB 8 3 a,tanBAE 105 15 BE AB , 综上所述,tanBAE 的值为 5 5 或 105 15 23.(2020 宁波) 【基础巩固】 (1)如图1,在ABC中,D为AB上一点,ACDB求证:AC2 AD AB 【尝试应用】 (2)如图2,在ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点, BFEA若BF4,BE3,求AD的长. 【拓展提高】 (3)如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是ABC内一点,EF AC,AC2EF, EDF 1 2 BAD,AE2,DF5,求菱形ABCD的边长. 解析本题考查了相似三角形的判定和性质,平行四边
11、形的判定和性质及菱形的性质 (1)由两角相等证明ADCACB,再由相似三角形的性质证明结论; (2)解决这类发现、探究类问题要将后面求解内容转化为前面已经解决的问题进行求解, 所以要求 AD,首先根据平行四边形的性质将 AD 转化为 BC,再由已知及图形性质证明 BFEBCF,最后由相似三角形的性质求得 AD 的长; (3)把图形(3)通过辅助线转化为(2)中的图形,为此分别延长 EF,DC 相交于点 G, 构造平行四边形 AEGC,由相似三角形的性质及已知条件求得 DG,进而求 得菱形边长答案23.解: (1)ACDB,AA,ADC ACB,AD:ACAC:AB,AC2AD AB (2)四边
12、形 ABCD 是平行四边形, ADBC,AC,又BFEA,BFEC,又FBE CBF, BFEBCF,BF2BE BC, BC 2 BF BE 16 3 ,AD 16 3 (3) 如图, 分别延长 EF, DC 相交于点 G.四边形 ABCD 是菱形, AB/DC,BAC 1 2BAD,四边形 AEGC 为平行四边形, ACEG,CGAE,EACG,EDF 1 2BAC, EDFG,又DEFGED,EDFEGD, DE2EF EG,又EGAC2EF,DE22EF2, DE 2EF,又DG:DFDE:EF,DG2DF52,DCDGCG522. 23 (2020 嘉兴)在一次数学研究性学习中,小兵
13、将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF 拼在一起,使点A与点F重合,点C与点D重合(如图1),其中ACBDFE90, BCEF3cm,ACDF4cm,并进行如下研究活动 活动一:将图1中的纸片DEF沿AC方向平移,连结AE,BD(如图2),当点F与点C重合 时停止平移 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗?请说明理由 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时,小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3)求AF 的长 活动二:在图3中,取AD的中点O,再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转度(090) ,连结OB,OE(如图4) 【探究】当EF平分AEO时,探究OF与BD的数量关系,并说明理由 解析
14、本题考查了平行四边形的判定,矩形的性质,勾股定理,全等三 角形的判定及性质、图形的变换等知识【思考】由 ABCDEF可 知,ABDE,BACADE,ABDE,所以四边形ABDE是平 行四边形;【发现】连接BE交AD于点O,由矩形可知OAOBOE OD,又AFDC,得到OFOC,在Rt OEF中,设AFx,则ADx4,OA 4 2 x ,所以OFOAAF 4 2 x ,所以 222 44 ()3() 22 xx ,解得AF 9 4。 【探究】BD2OF.由FE平分OEA以及OFEF可知延长OF交AE于点 H,从而得到OEH是等腰三角形,OFFH,只需证明OBDOEH 即可。 答案解:【思考】四边
15、形ABDE是平行四边形 证明:如图,ABCDEF,ABDE,BACEDF, ABDE,四边形ABDE是平行四边形. 【发现】如图,连接BE交AD于点O,四边形ABDE为矩形,OAODOBOE,设AF x(cm),则OAOE(x+4),OFOAAF2x, 在RtOFE中,OF2+EF2OE2, 222 44 ()3() 22 xx , 解得:x 9 4 ,AF 9 4 cm 【探究】BD2OF, 证明:如图,延长OF交AE于点H,纸片DEF绕点O旋转前,四边形ABDE为矩 形,OAOBOEOD.纸片DEF绕点O旋转后,由旋转的性质可知,OA OBOEOD, OBDODB,OAEOEA.ABD+B
16、DE+DEA+EAB360 , ABD+BAE180,AEBD,OHEODB, EF平分OEH,OEFHEF. EFOEFH90,EFEF, EFOEFH (ASA) , EOEH,FOFH,EHOEOHOBDODB, EOHOBD(AAS),BDOH2OF 23 (2020 湖州)已知在ABC 中,ACBCm,D 是 AB 边上的一点,将B 沿着过点 D 的直线折叠,使点 B 落在 AC 边的点 P 处(不与点 A,C 重合) ,折痕交 BC 边于点 E (1)特例感知 如图 1,若C60,D 是 AB 的中点,求证:AP= 1 2AC; (2)变式求异 如图 2,若C90,m62,AD7,
17、过点 D 作 DHAC 于点 H, 求 DH 和 AP 的长; (3)化归探究 如图 3,若 m10,AB12,且当 ADa 时,存在两次不同的折叠,使 点 B 落在 AC 边上两个不同的位置,请直接写出 a 的取 值范围 【分析】 (1)证明ADP 是等边三角形即可解决问题 (2)分两种情形:情形一:当点 B 落在线段 CH 上的点 P1 处时,如图 21 中情形二:当点 B 落在线段 AH 上 的点 P2 处时,如图 22 中,分别求解即可 (3)如图 3 中,过点 C 作 CHAB 于 H,过点 D 作 DPAC 于 P求出 DPDB 时 AD 的值,结合图形即可判断 【解答】 (1)证
18、明:ACBC,C60,ABC 是等边三角形,ACAB,A 60,由题意,得 DBDP,DADB,DADP,ADP 使得等边三角形, APAD= 1 2AB= 1 2AC (2)解:ACBC62,C90,AB= AC2+ BC2= (62)2+ (62)2=12, DHAC,DHBC,ADHABC,DH BC = AD AB, AD7, DH 62 = 7 12,DH= 72 2 ,将B 沿过点 D 的直线折叠, 情形一:当点 B 落在线段 CH 上的点 P1 处时,如图 21 中, AB 12 , DP1 DB AB AD 5 , HP1 = DP12 DH2= 52 (72 2 )2= 2
19、2 , A1AH+HP142, 情形二:当点 B 落在线段 AH 上的点 P2 处时,如图 22 中, 同法可证 HP2= 2 2 ,AP2AHHP232, 综上所述,满足条件的 AP 的值为 42或 32 (3)如图 3 中,过点 C 作 CHAB 于 H,过点 D 作 DPAC 于 P CACB,CHAB,AHHB6, CH= AC2 AH2= 102 62=8,当 DBDP 时,设 BDPDx,则 AD12x, tanA= CH AC = PD AD, 8 10 = x 12x,x= 16 3 , ADABBD= 20 3 ,观察图形可知当 6a 20 3 时,存在两次不同的折叠,使点
20、B 落在 AC 边上两个不同的位置 27(2020 宿迁)【感知】如图,在四边形 ABCD 中,CD90 ,点 E 在边 CD 上,AEB90 求证: AEDE EBCB 【探究】如图,在四边形 ABCD 中,CD90 ,点 E 在边 CD 上,当点 F 在 AD 延长线上,FEGAEB90 ,且 FEAE EGEB ,连接 BG 交 CD 于点 H求证:BHGH 【拓展】如图,点 E 在四边形 ABCD 内,AEBDEC180 ,且 AEDE EBEC ,过 E 作 EF 交 AD 于点 F,使EFAAEB,延长 FE 交 BC 于点 G,求证:BGCG 解析(1)根据“两角对应相等的两个三
21、角形相似”来证明;(2)过点 G 作 GMCD 于点 M,由相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定进行证明;(3)仿照(2),在 EG 上取点 M,使BMEAEB,过点 C 作 CNBM,交 EG 的延长线于点 N,则N BMG,再根据相似与全等的知识锁定答案 答案证明: (1) CDAEB90 , BECAEDAEDEAD90 BECEADRt AEDRt EBC AEDE EBCB (2)如答图 1,过点 G 作 GMCD 于点 M,由(1)可知 EFDE EGGM FEAE EGEB , AEDE EBCB , DEDE GMCB BCGM 又CGMH90 ,CHBMHG,BCHGMH
22、BHGH (3)如答图 2,在 EG 上取点 M,使BMEAEB,过点 C 作 CNBM,交 EG 的延长 线于点 N,则NBMG EAFAFEAEFAEFAEBBEM180 ,EFAAEB, EAFBEMAEFEBM AEEF BEBM AEBDEC180 , FEADFE180 , 而EFAAEB, CEDEFD BMGBME180 ,NEFD EFDEDFFEDFEDDECCEN180 ,EDFCEN 第 27 题图 第 27 题图 第 27 题图 A B C D E A BC D E F G HG F E D CB A M A BC D E F G H 第 27 题答图 1 第 27
23、题答图 2 N M F G E D C B A DEFECN DEEF ECCN 又 AEDE EBEC , EFEF BMCN , BMCN又NBMG,BGMCGN,BGMCGNBGCG 25 (2020 陕西)问题提出:问题提出: (1)在 Rt ABC 中,ACB90 ,ACBC,ACB 的平分线交 AB 于点 D,过点 D 分别作 DEAC,DFBC,垂足分别 E、F,在图 1 中与线段 CE 相等的线段是 ; 问题探究:问题探究: (2)如图 2,AB 是半圆 O 的直径,AB8,P 是AB上一点,且PB2PA,连接 PA, PB,APB 的平分线交 AB 于点 C,过点 C 分别作
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