2020年全国各地中考数学真题分类汇编知识点47：开放型问题

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1、知识点知识点 47 开放型问题开放型问题 二、填空题二、填空题 14 （2020 北京）在ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上（不与点 B，C 重合）.只需添加一个条件 即可证明ABDACD，这个条件可以是 （写出一个即可） 答案答案不唯一，BAD=CAD 或者 BD=CD 或 ADBC 解析根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使ABDACD，则可以填BAD=CAD 或者 BD=CD 或 ADBC 均可 16 （2020 北京）下图是某剧场第一排座位分布图 甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为 2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票， 同时使自己所选的座位之和最小.

2、如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买 1,2 号座 位的票，乙购买 3,5,7 号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票， 要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 . 答案答案不唯一，丙，丁，甲，乙 解析要使自己选的座位之和最小，丙先选择：1，2，3，4；丁选：5，7，9，11，13；甲选 6，8； 乙选 10，12，14，所以顺序为丙，丁，甲，乙 三、解答题三、解答题 20（2020 温州）如图，在6 4的方格纸ABCD中，请按要求画格点 线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点A,B,C,D重合. (1)在图1中画

3、格点线段EF,GH各一条,使点E,F,G,H分别落在边AB, BC,CD,DA上，且EFGH,EF不平行GH. (2)在图2中画格点线段MN,PQ各一条，使点M,N,P,Q分别落在边AB ,BC,CD,DA上,且 PQ5MN. 注:图1,图2在答题纸上. 解析本题考查了勾股定理 答案解：画法不唯一，如图1或图2等 画法不唯一，如图3或图4等 A B C D E H D C B A G F G H F E 图1图2 D C B A 23 （2020青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金 额，每次抽奖时可以从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、10

4、0 元的奖券中(面值为整数)一次 任意抽取 2 张、3 张、4 张、等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了次 抽取 5 张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模：从 1，2，3，n(n 为整数，且 n3)这 n 个整数中任取 a(1an)个整数，这 a 个整 数之和共有多少种不同的结果？ 横型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决 问题的方法. 探究一：(1)从 1，2，3 这 3 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有多少种不同的结果？ 如表，所取的 2 个整数之和可以为 3，4，5，也就是从

5、 3 到 5 的连续整数，其中最小是 3， 最大是 5，所以共有 3 种不同的结果. (2)从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有多少种不同的结果？ 如表，所取的 2 个整数之和可以为 3，4，5，6，7，也就是从 3 到 7 的连续整数，其中最小 是 3，最大是 7，所以共有 5 种不同的结果. (3)从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有 种不同的结果. D C B A D C B A Q P N M P Q M N 图3 图4 (4)从 1，2，3，n(n 为整数，且 n=3)这 n 个整数中任取 2 个整数

6、，这 2 个整数之和共有 种 不同的结果. 探究二：(1)从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有 种不同的结果. (2)从 1，2，3，n(n 为整数，且 n4)这 n 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有 种 不同的结果. 探究三：从 1，2，3，n(n 为整数，且 n5)这 n 个整数中任取 4 个整数，这 4 个整数之和共有 种不同的结果. 归纳结论：从 1，2，3，n(n 为整数，且 n3)这 n 个整数中任取 a(1an)个整数，这 a 个整 数之和共有 种不同的结果. 问题解决：从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、10

7、0 元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽 取 5 张奖券，共有 种不同的优惠金额. 拓展延伸：(1)从 1，2，3，36 这 36 个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果？(写出解答过程) (2)从 3，4，5，n+3(n 为整数，且 n2)这(n+1)个整数中任取 a(1an+1)个整数，这 a 个整数 之和共有 种不同的结果. 答案解：探究一： （3）从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 2 个整数，所取的 2 个整数之和可以 为 3，4，5，6，7，8，9，也就是从 3 到 9 的连续整数，其中最小是 3，最大是 9，所以共有 7 种 不同的结果

8、. 答案：7 （4）从 1，2，3，n(n 为整数，且 n=3)这 n 个整数中任取 2 个整数，所取的 2 个整数之和可 以为 3，4，5，6，7，8，n+n-1=2n-1，也就是从 3 到 2n-1 的连续整数，其中最小是 3，最大是 2n-1，所以共有 2n-1-2=2n-3（种）不同的结果. 答案：2n-3 探究二：(1)从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，所取的 3 个整数之和可以为 6，7，8，9， 也就是从 6 到 9 的连续整数，其中最小是 6，最大是 9，所以共有 4 种不同的结果. 答案：4 (2)从 1，2，3，n(n 为整数，且 n=3)这 n 个整数

9、中任取 3 个整数，所取的 3 个整数之和可以为 6，7，8，n+n-1+n-2=3n-3，也就是从 6 到 3n-3 的连续整数，其中最小是 6，最大是 3n-3， 所以共有 3n-3-8=3n-8（种）不同的结果. 答案：3n-8 探究三：从 1，2，3，n(n 为整数，且 n5)这 n 个整数中任取 4 个整数，这 4 个整数之和共有 种不同的结果. 从 1， 2， 3， ， n(n 为整数， 且 n=3)这 n 个整数中任取 4 个整数， 所取的 4 个整数之和可以为 10， 11，12，n+n-1+n-2+n-3=4n-6，也就是从 10 到 4n-6 的连续整数，其中最小是 10，

10、最大是 4n-6，所以共有 4n-6-9=4n-15（种）不同的结果. 答案：4n-15 归纳结论：从 1，2，3，n(n 为整数，且 n3)这 n 个整数中任取 a(1an)个整数，所取的 a 个整数之和最小是 1+2+3+a= 2 ) 1( aa ，最大是 n+n-1+n-2+n-（a-1)= 2 ) 1( aa an，所以共 有不同的结果数为： 2 ) 1( aa an 1 2 ) 1( aa = 2 2 aa an 1 2 2 aa =1 2 22 aaaa an= 1 2 aan. 答案：1 2 aan 问题解决：从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中(

11、面值为整数)，一次任意抽 取 5 张奖券，共有不同优惠金额的种类为：151005 2 =476（种）. 答案：476 拓展延伸：(1)设从 1，2，3，36 这 36 个整数中任取 a 个整数，使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果，则204136 2 aa，即020336 2 aa，a=7 或 29. 答：从 1，2，3，36 这 36 个整数中任取 7 个或 29 个整数，可以使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果. (2)从 3，4，5，n+3(n 为整数，且 n2)这(n+1)个整数中任取 a(1a0)秒，连接 MN，再将线段 MN 绕点 M 顺时针旋转 90，设点

12、 N 落在点 D 的位置，若点 D 恰好落在抛物线上，求 t 的值及此时点 D 的坐标； (3)在(2)的条件下，设 P 为抛物线上一动点，Q 为 y 轴上一动点，当以点 C，P，Q 为顶点的三角形 与MDB 相似时，请直接写出点 P 及其对应的点 Q 的坐标.(每写出一组正确的结果得 1 分，至多 得 4 分) 解析本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的 关系、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、两点间的 距离公式、相似三角形的性质 （1）首先利用抛物线 y=a 2 x+bx+1 的对称轴 x= 2 3 ，与 x

13、轴的交点 B(4，0)，列方程组求出 ab 的 值，进而得到抛物线的解析式，然后利用解析式求出线段 OA=OC=1，进而利用等腰直角三角形的 性质得到CAO=45. （2）过点 N 作 NEAB 于 E，过点 D 作 DFAB 于 F，通过证明NEMMFD，得到 NE=MF， EM=DF.然后由题意得：CAO=45，AN=t 2，AM=3t， ，AE=NE=t， EM=AM-AE=2t， DF=2t，MF=t，OF=4t-1，D(4t-1，2t） ， 将点 D 的坐标代入抛物线的解析式可得ttt21) 14( 4 3 ) 14( 4 1 2 ，进而求得：t= 4 3 ，再代回计 算可得点 D

14、的坐标（2， 2 3 ）. （3）由（2）知：C（0，1） ，M( 4 5 ，0)，D（2， 2 3 ） ，B（4，0） ， 进而得到 BD= 2 5 ，DM=5 4 3 ，MB= 4 11 . 设 P（a，1 4 3 4 1 2 aa） ，Q（0，b） ，则 CQ=|1-b|， PC= 222 ) 11 4 3 4 1 (aaa= 222 ) 4 3 4 1 (aaa，PQ= 222 )1 4 3 4 1 (baaa， 以点 C，P，Q 为顶点的三角形与MDB 相似，分以下几种情况进行求解： 如图所示， 当点 P 在 y 轴左侧， 点 Q 在点 C 上方时， 利用PCQ 与BDM 相似的所有

15、可能情况， 分别得到对应边成比例，通过计算可知：符合要求的点 P 和点 Q 不存在； 如图所示， 当点 P 在 y 轴左侧， 点 Q 在点 C 下方时， 利用PCQ 与BDM 相似的所有可能情况， 分 别 得 到 对 应 边 成 比 例 ， 进 而 求 出 点 P 和 点 Q 的 坐 标：) 18 59 0() 9 19 3 7 ( 77 ，QP； ) 99 251 0() 9 19 3 7 ( 88 ，QP； 如图所示， 当点 P 在 y 轴右侧， 点 Q 在点 C 上方时， 利用PCQ 与BDM 相似的所有可能情况， 分别得到对应边成比例，进而求出点 P 和点 Q 的坐标：) 6 17 0

16、() 2 3 1 ( 33 ，QP；) 22 37 0() 2 3 1 ( 44 ，QP； ) 242 617 0() 121 171 11 25 ( 1111 ，QP；) 363 1613 0() 121 171 11 25 ( 1212 ，QP. 如图所示， 当点 P 在 y 轴右侧， 点 Q 在点 C 下方时， 利用PCQ 与BDM 相似的所有可能情况， 分别得到对应边成比例， 进而求出点P和点Q的坐标：) 6 49 0() 2 3 5( 11 ，QP；) 22 53 0() 2 3 5( 22 ，QP； ) 18 257 0() 9 91 3 25 ( 55 ，QP；) 99 1151

17、 0() 9 91 3 25 ( 66 ，QP；) 242 373 0() 121 39 11 41 ( 99 ，QP； ) 363 1687 0() 121 39 11 41 ( 1010 ，QP； 综上所述：符合要求的点 P 和点 Q 的坐标为： ) 6 49 0() 2 3 5( 11 ，QP；) 22 53 0() 2 3 5( 22 ，QP；) 6 17 0() 2 3 1 ( 33 ，QP；) 22 37 0() 2 3 1 ( 44 ，QP； ) 18 257 0() 9 91 3 25 ( 55 ，QP；) 99 1151 0() 9 91 3 25 ( 66 ，QP；) 18

18、 59 0() 9 19 3 7 ( 77 ，QP； ) 99 251 0() 9 19 3 7 ( 88 ，QP；) 242 373 0() 121 39 11 41 ( 99 ，QP；) 363 1687 0() 121 39 11 41 ( 1010 ，QP； ) 242 617 0() 121 171 11 25 ( 1111 ，QP；) 363 1613 0() 121 171 11 25 ( 1212 ，QP. 答案解：(1)抛物线 y=a 2 x+bx+1 的对称轴为直线 x= 2 3 ，其图象与 x 轴交于点 A 和点 B(4，0)， 01416 2 3 2 ba a b ，解

19、得 4 3 4 1 b a ，抛物线的解析式为1 4 3 4 1 2 xxy. 当 y=0 时，01 4 3 4 1 2 xx，x=-1 或 4，A(-1,0)，OA=1. 当 x=0 时，y=1，C(0，1)，OC=1，OA=OC. 又AOC=90，CAO=45. 答案：抛物线的解析式为1 4 3 4 1 2 xxy，2 分 CAO=45.3 分 (2)由(1)知 A(1，0)，过点 N 作 NEAB 于 E，过点 D 作 DFAB 于 F， NM=DM，DMN=90，NEMMFD，NE=MF，EM=DF. 由题意得：CAO=45，AN=t 2，AM=3t， AE=NE=t， EM=AM-A

20、E=2t， DF=2t，MF=t，OF=4t-1，D(4t-1，2t）5 分 ttt21) 14( 4 3 ) 14( 4 1 2 ，又 t0，故可解得：t= 4 3 ，7 分 经检验，当 t= 4 3 时，点 M，N 均未到达终点，符合题意. 此时 D 点坐标为（2， 2 3 ）.8 分 (3)答案不唯一， 从下面 12 组点中任意选择四组即可.) 6 49 0() 2 3 5( 11 ，QP；) 22 53 0() 2 3 5( 22 ，QP； ) 6 17 0() 2 3 1 ( 33 ，QP；) 22 37 0() 2 3 1 ( 44 ，QP；) 18 257 0() 9 91 3

21、25 ( 55 ，QP；) 99 1151 0() 9 91 3 25 ( 66 ，QP； ) 18 59 0() 9 19 3 7 ( 77 ，QP；) 99 251 0() 9 19 3 7 ( 88 ，QP；) 242 373 0() 121 39 11 41 ( 99 ，QP； ) 363 1687 0() 121 39 11 41 ( 1010 ，QP；) 242 617 0() 121 171 11 25 ( 1111 ，QP；) 363 1613 0() 121 171 11 25 ( 1212 ，QP. 12 分 说明：(1)问不需写解答过程，解析式写成 y= 4 1 (x+1)(x-4)也得分：(2)问用其他合理方法也可根据 步骤给分，t 值未检验不扣分：(3)问为结论开放题型，共有 12 组正确答案，考生每写出一组正确 的点 P，Q 的坐标给 1 分，至多得 4 分.