2020年全国各地中考数学真题分类汇编知识点46:几何最值
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1、知识点知识点 46 几何最值几何最值 一、选择题一、选择题 12 (2020泰安)如图,点 A,B 的坐标分别为 A(2,0) ,B(0,2) ,点 C 为坐标平面内一点, BC1,点 M 为线段 AC 的中点,连接 OM,则 OM 的最大值为( ) A 2 1 B 2 1 2 C2 2 1 D2 2 1 2 答案 B 解析本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题,因为点 C 为坐标平面内一点, BC1, 所以点 C 在以点 B 为圆心、 1 长为半径的圆上, 在 x 轴上取 OA=OA=2, 当 A、B、C 三点共线时,AC 最大,则 AC=2 2 1,所以 OM
2、 的最大值为 2 1 2 ,因此本 题选 B 10 (2020无锡)如图,等边ABC 的边长为 3,点 D 在边 AC 上,AD1 2,线段 PQ 在边 BA 上运 动,PQ1 2,有下列结论: CP 与 QD 可能相等; AQD 与BCP 可能相似; 四边形 PCDQ 面积的最大值为31 3 16 ; 四边形 PCDQ 周长的最小值为 3 37 2 . 其中,正确结论的序号为( ) A B C D 答案 D 解析设 AQx,则 BP5 2x A B C O M x y M C B A/AOx y D Q P CB A (第 12 题) N M H G A BC D E FF E D Q P
3、CB A F E A BC P Q DD Q CB(P) A E 如图 1,当点 P 与 B 重合时,此时 QD 为最大,过点 Q 作 QEAC,AQ5 2,AE 5 4,QE 5 3 4 ,DE3 4,此时 QD 21 2 ,即 0QD 21 2 ;而3 3 2 CP3,两个范围没有交集,即 不可能相等;错误 若AQDBCP,则AD BP AQ BC,代入得 2x 25x+30,解得 x11,x23 2,都存在,正 确; 如图 2, 过点 D 作 DEAB, 过点 P 作 PFBC, S四边形PCDQ=SABCSAQDSBPC 3 4 321 2x 3 4 1 23 3 4 (5 2x) 3
4、 4 x 21 3 16 ,5 2x0,即 x 5 2,当 x= 5 2时面积最大为 31 3 16 ;正确; 如图, 将 D 沿 AB 方向平移1 2个单位得到 E, 连接 PE, 即四边形 PQDE 为平行四边形, QD=PE, 四边形周长为 PQ+QD+CD+CP=3+PE+PC,即求 PE+PC 的最小值,作点 E 关于 AB 的对称点 F, 连接 CF,线段 CF 的长即为 PE+PC 的最小值;过点 D 作 DGAB,AG1 4,EN=FN=HM= 3 4 , CH3 3 2 3 4 7 3 4 ,FHMN3 2 1 4 1 2 3 4,FC 39 2 ,四边形 PCDQ 周长的最
5、小值为 3 39 2 ,错误. 12(2020荆门)如图 6,在平面直角坐标系中,长为 2 的线段 CD(点 D 在点 C 右侧)在 x 轴上移 动,A(0,2),B(0,4),连接 AC、BD,则 ACBD 的最小值为( ) A25 B210 C62 D35 答案B 解析如图#,过点 B 作 BBx 轴(点 B在点 B 的左侧),且使 BB2,则 B(2,4);作 A 关于 x 轴的对称点 A,则 A(0,2);连结 AB交 x 轴于点 C;在 x 轴上向右截取 CD2,则此时 AC BD 的值最小,且最小值AB 22 26210故选 B x O y 图 6 D C B A x O y 图#
6、 D C B A B A 10 (2020南通)ABC 中,AB2,ABC60 ,ACB45 ,D 为 BC 的中点,直线 l 经过 点 D,过 B 作 BFl 于 F,过 A 作 AEl 于 E求 AEBF 的最大值为 A6 B22 C23 D32 答案A 解析过点 A 作 AHBC 于点 H,在 RtAHB 中,ABC60 ,得 BH1,AH3,在 RtAHC 中,ACB45 ,得 AC6 当直线 l 与 AB 相交时,延长 BF,过点 A 作 AMBF 于点 M,可得 AEBFAEFMBM,在 RtAMB 中,BMAB,当直线 lAB 时,最大值为 2; 当直线 l 与 AC 相交时,过
7、点 C 作 CHl 于点 H,由点 D 为 BC 中点可证明BFDCHD,BF CH, 延长 AE,过点 C 作 CNAE 于点 N, 可得 AEBFAECK AEENAN,在 RtACN 中,ANAC, 当直线 lAC 时最大值为6;所以 AEBF 的最大值为6 11(2020 恩施)如图,正方形ABCD的边长为 4,点E在AB上且1BE ,F为对角线AC上一 动点,则BFE周长的最小值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 答案B 解析连接 ED 交 AC 于一点 F,连接 BF, 四边形 ABCD 是正方形, 点 B 与点 D 关于 AC 对称, BF=DF, BFE的周长=B
8、F+EF+BE=DE+BE,此时周长最小, 正方形ABCD的边长为 4, AD=AB=4,DAB=90 , 点E在AB上且 1BE , M F E DBC A H l K N E F D A CBH AE=3, DE= 22 5ADAE , BFE的周长=5+1=6, 故选:B. 10.(2020永州)已知点 00 ,P x y和直线ykxb,求点 P到直线ykxb的距离 d可用公式 00 2 1 kxyb d k 计算 根据以上材料解决下面问题: 如图,C的圆心 C 的坐标为1,1, 半径为 1, 直线 l 的表达式为 26yx ,P是直线 l 上的动点,Q是C上的动点,则PQ的最小值是(
9、) A. 3 5 5 B. 3 5 1 5 C. 6 5 1 5 D. 2 【答案】B 【详解】过点 C 作直线 l 的垂线,交C于点 Q,交直线 l 于点 P,此时 PQ的值最小,如图, 点 C 到直线 l 的距离 00 22 2 1 1 63 5 5 1 12 kxyb d k ,C半径为 1, PQ的最小值是 3 5 1 5 ,故选:B. 二、填空题二、填空题 17(2020 绵阳)如图,四边形 ABCD 中,ABCD,ABC60 ,ADBCCD4,点 M 是 四边形ABCD内的一个动点, 满足AMD90 , 则点M到直线BC的距离的最小值为 答案332 解析延长 AD、BC 交于点 P
10、, 作 MHPB 于 H. ABCD, PD AD PC BC ,ABCDCP60 .ADBCCD4,PDPC,PDC 为等 边三角形,PDPCCD4,P60 . 由AMD90 ,可知点 M 在以 AD 为直径的E 上,且在四边形 ABCD 内的一个动点,根据垂线段最短可知 E、M、H 三点共线时 MH 最小.在 RtPEH 中,EP6,P60 ,EHEPsin60 33, MH 的最小值EHEM332. 18 (2020扬州)如图,在 ABCD 中,B=60 ,AB=10,BC=8,点 E 为边 AB 上的一个动点, 连接 ED 并延长至点 F ,使得 DF= 1 4 DE,以 EC、EF
11、为邻边构造 EFGC,连接 EG,则 EG 的最 小值为 . M D C BA H P M DC BA E (第 18 题图) 答案9 3 解析本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公 式、垂线段最短等知识,解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决过 A 作 AM BC 于 M, 设 EG、DC 交于 H 在 RtAMB 中, B=60 , AB=10, sinB= 3 2 AM AB , AM=5 3, EFGC 中,DF= 1 4 DE,ED= 4 5 DF,又 EF=GC, 4 5 ED GC ,EFCG,EHDGHC, 4 5 DHEDEH HCCGHG
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