2020年全国各地中考数学真题分类汇编知识点45:新定义型阅读理解型问题
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1、知识点知识点 45 新定义型、阅读理解型问题新定义型、阅读理解型问题 一、选择题一、选择题 10 (2020 遵义) 构建几何图形解决代数问题是“数形结合“思想的重要性, 在计算 tan15 时, 如图, 在 RtACB 中,C90 ,ABC30 ,延长 CB 使 BDAB,连接 AD,得D15 ,所以 tan15 AC CD 1 23 ()() 23 23 23 23类比这种方法,计算 tan22.5 的值为( ) A 21 B 2 1 C 2 D 1 2 答案B 解析本题考查阅读理解能力,要求能用类比的方法解决问题如图,在 RtACB 中, C90, ABC45, 延长 CB 使 BDAB
2、, 连接 AD, 得D22.5,所以 tan 22.5 AC CD 1 12 ()() 12 12 12 2 1故选 B . 7(2020 河南)定义运算:mn= 2 1mnmn-.例如: 42=4 22-4 2-1=7.则1x=0方程的根的情 况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个 实数根 答案A解析由定义新运算可得 2 10 xx-= ,= 411-14-1- 2 )()( =50,所以方程有 两个不相等的实数根,因此本题选A 9(2020 枣庄)对于实数 a、b,定义一种新运算“”为: 2 1 ab ab ,这里等式右边是实数运 算例如:
3、 2 11 13 138 则方程 2 21 4 x x 的解是( ) Ax4 Bx5 Cx6 Dx7 答案B解析根据新定义运算,把方程转化为分式方程因为 2 11 ( 2) ( 2)4 x xx ,所以 原方程可转化为 12 1 44xx ,解得 x5经检验,x5 是原方程的解 8.(2020 淮安)如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为幸福数下列数中 为幸福数的是 ( ) A.205 B.250 C.502 D.520 答案 D 解析设较小的奇数为 x,较大的为 x+2,根据题意列出方程,求出解判断即可 设较小的奇数为 x,较大的为 x+2, 根据题意得: (x+2)2x2(
4、x+2x) (x+2+x)4x+4, 30 15 D B C A 4522.5 D A C B 若 4x+4205,即 x= 201 4 ,不为整数,不符合题意; 若 4x+4250,即 x= 246 4 ,不为整数,不符合题意; 若 4x+4502,即 x= 498 4 ,不为整数,不符合题意; 若 4x+4520,即 x129,符合题意 故选:D 9 (2020随州)将关于 x 的一元二次方程0=q+px-x2变形为q-pxx2,就可以将 2 x表示为关 于 x 的一次多项式, 从而达到“降次”的目的, 又如)( 23 qpxxxxx, 我们将这种方法称为“降 次法” ,通过这种方法可以化
5、简次数较高的代数式.根据“降次法” ,已知:0=1-x-x2,且 x0,则 3x+2x-x 34 的值为( ) A.51 B.53 C.51 D.53 答案C 解析本题考查了降次法、整体代入法、整式的化简求值,一元二次方程的解法.解答过程如下: 0=1-x-x2,1xx2, 3x+2x-x 34 =3x+1)2x(x-) 1(x 2 =3x+2x-2x-12xx 22 =3x+x-1 2 =3x+1)(x-1 =3x+1-x-1=2x, 0=1-x-x2,且 x0,x= 2 51 , 原式=2 2 51 =51.因此本题选 C 12.(2020潍坊)若定义一种新运算: (2 ) 6(2 ) a
6、bab ab abab - ? +- 例如:313 12 ; 545463 则函数 (2)(1)yxx 的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案A解析本题考查了一次函数的图象,在新定义下,求出函数关系式是解题的关键.根据 (2 ) 6(2 ) abab ab abab - ? +- ,可得当 22(1)xx+? 时,4x,分两种情况当4x时和当4x时, (2)(1)(2)(1)213xxxxxx+?=+-=+-+= ,即: 3y ; 当4x时,( 2)(1)(2)(1)621625xxxxxxx+?=+-=+-=- , 即: 25yx ,20k ,当 4x时, 25yx ,函数图像y随
7、x的增大而增大,A 选项符 合题意,故选:A 7(2020 恩施)在实数范围内定义运算“”:1abab ,例如:2323 14 如果 21x ,则x的值是( ) A. 1 B. 1 C. 0 D. 2 答案C 解析根据题目中给出的新定义运算规则进行运算:221 1 xxx, 又21x , 11x, 0 x故选:C 二、填空题二、填空题 12(2020 衢州) 定义(1)aba b, 例如2 32 (3 1)2 48, 则(1 )xx 的结果为 答案 2 1x 解析解析:根据题中的新定义得:( 1)xx ( 1) (1+1)xx 2 1x 18(2020 枣庄)各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线
8、的交错点)上的多边形称为格点多边形, 它的面积 S 可用公式 Sa 2 1 b1(a 是多边形内的格点数,b 是多边形边界上的格点数)计算, 这个公式称为“皮克(Pick)定理”如图给出了一个格点五边形,则该五边形的面积 S_ 答案6解析直接利用所给的公式计算即可由图可知,五边形内部格点有 4 个,故 a4;五边形 边上格点有 6 个,故 b6Sa2 1 b142 1 616 16(2020乐山)我们用符号x表示不大于 x 的最大整数例如:1.51,1.52,那么: (1)当1x2 时,x 的取值范围是_; (2)当1x2 时,函数 yx 22ax3 的图象始终在函数 yx3 的图象下方,则实
9、数 a 的 范围是_ 答案(1)0 x3;(2)a1 或 a3 2 解析(1)根据符号x表示不大于 x 的最大整数,得到1x2 时x0,1,2;当x0 时, 0 x1;当x1 时,1x2;当x2 时,2x3;从而 x 的取值范围是 0 x3; (2)本题可根据题意构造新函数,采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负,继而根据函数性 质反求参数令 y1x 22ax3,y 2x3,y3y2y1, 由题意可知:y3x 2(2a1)x0 时,函数 yx22ax3 的图象始终在函数 yx3 的图象 下方 当1x0 时,x1,y3x 2(2a1),此时 y 3随 x 的增大而增大,故当 x1 时,y3有
10、最小值2a20,得 a1; 当 0 x1 时,x0,y3x 2,此时 y 30; 1x2 时,x1,y3x 2+(2a1),此时 y 3随 x 的增大而减小,故当 x2 时,y3有最小值 2a 30,得 a3 2; 综上所述,a1 或 a3 2 11(2020青海)对于任意两个不相等的数 a,b,定义一种新运算“”如下: ab ab ab ,如:32 32 32 5,那么 124_ 答案2 解析依题意可知 124 124 124 4 8 2 17(2020 宜宾)定义:分数 n m (m,n 为正整数且互为质数)的连分数 1 2 3 1 1 1 a a a (其中 a1,a2,a3,为整数,且
11、等式右边的每个分数的分子都为 1) ,记作 n m 1 1 a + 2 1 a + 3 1 a +, 例如: 7 19 1 19 7 1 5 2 7 1 1 2 7 5 1 1 2 2 1 5 1 1 2 1 1 5 2 1 1 2 1 1 1 2 2 , 7 19 的连分数为 1 1 2 1 1 1 2 2 ,记作 7 19 1 2 + 1 1 + 1 2 + 1 2 ,则 1 1 + 1 2 + 1 3 答案 7 10 解析根据连分数的定义列式计算即可解答 1 1+ 1 2 + 1 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 7 3 1 3 1 7 1 10 7 7 10 三、解答题三、解答题
12、 24.(2020 宁波)(本题14分)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的 外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角. (1)如图1,E是ABC中A的遥望角,若Aa,请用含a的代数式表示 E. (2)如图2,四边形ABCD内接于O,ADBD,四边形ABCD的外角平分线 DF交O于点F,连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证:BEC是ABC中 BAC的遥望角. (3)如图3,在(2)的条件下,连结AE,AF,若AC是O的直径. 求AED的度数; 若AB8,CD5,求DEF的面积. 解析(1)根据外角的性质及角平分线的概念求解; (2)根据圆内按四边形的性质,同弧或等
13、弧所对圆周角的性质分别证明 BE、CE 为ABC 的内角 及外角平分线即可; (3) 连结 CF,根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明BECFAD,再由FDEFDA 证明 ADDE,最后由等腰直角三角形的性质求得AED 的度数; 作 AGBE 于点 G,FMCE 于点 M,根据相似三角形的判定证明EGAADC,由相似三角 形的性质及勾股定理求得ACD 边长,进而求得DEF 的面积 答案24.解: (1)BE 平分ABC,CE 平分ACD EECDEBD 1 2 (ACDABC) 1 2 A 1 2 a (2)如图,延长 BC 到点 T.四边形 FBCD 内接于O, FDCFBC180 ,
14、 又FDEFDC180 , FDEFBC, DF 平分ADE, ADFFDE, ADFABF, ABFFBC, BE 是ABC 的平分线, ADBD,ACDBFD,BFDBCD180 ,DCT BCD180 ,DCTBFD,ACDDCT, CE 是ABC 的外角平分线,BEC 是ABC 中BAC 的遥望角. (3)如图,连结 CF. BEC 是ABC 中BAC 的遥望角,BAC2BEC, BFCBAC,BFC2BEC, BFCBECFCE,BECFCE,FCEFAD,BEC FAD,又FDEFDA,FDFD,FDEFDA(AAS), DEAD,AEDDAE,AC 是O 的直径 ADC90 ,A
15、EDDAE90 ,AEDDAE45 . 如图,过点 A 作 AGBE 于点 G,过点 F 作 FMCE 于点 M. AC 是O 的直径,ABC90 ,BE 平分ABC,FACEBC 1 2 ABC45 , AED45 ,AEDFAC,FEDFAD,AEDFEDFACFAD, AEGCAD,EGAADC90 ,EGAADC, AE:ACAG:CD在 RtABG 中,AG 2 2 AB4 2, 在 RtADE 中,AE 2AD,AD:AC 4 5 ,在 RtADC 中,AD2 DC2AC2,设 AD4x,AC5x,则有(4x)252(5x)2, x 5 3,EDAD 20 3 ,CECDDE 35
16、 3 ,BECFCE,FCFE,FMCE, EM 1 2 CE 35 6 , DMDEEM 5 6, FDM45 ,FMDM 5 6, SDEF 1 2 DE FM 25 9 . 22 (2020 黔西南州)规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 (0 180)后 能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度称为这个图形的一个旋转 角例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转 90或 180后,能与自身重合(如图 1) ,所以正方 形是旋转对称图形,且有两个旋转角 根据以上规定,回答问题: (1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是_; A矩形 B正五边形
17、C菱形 D正六边形 (2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是 60 度的有:_(填序号) ; (3)下列三个命题:中心对称图形是旋转对称图形;等腰三角形是旋转对称图形;圆是旋转 对称图形,其中真命题的个数有( )个; A0 B1 C2 D3 (4)如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有 45,90,135,180,将 图形补充完整 解析本题考查了新定义“旋转对称图形” (1)根据旋转对称图形的定义进行判断; (2)先分别求每一个图形中的旋转角,然后再进行判断; (3)根据旋转对称图形的 定义进行判断; (4)利用旋转对称图形的定义进行设计 答案解:(1)B (2)
18、 (1) (3) (5) (3)C (4)如答图: 22 (2020重庆 B 卷)在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,如学 习自然数 时,我们发现一种特殊的自然数“好数” 定义:对于三位自然数 n,各位数字都不为 0,且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整 除,则称这个自然数 n 为“好数” 例如:426 是“好数” ,因为 4,2,6 都不为 0,且 4+2=6,6 能被 6 整除; 643 不是“好数” ,因为 6+4=10,10 不能被 3 整除 (1)判断 312,675 是否是“好数”?并说明理由; (2)求出百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”的个
19、数,并说明理由 解析本题是一道新定义问题,正确理解“好数”是解题的关键 (1)根据“好数”的定义进行判断即可; (2) 设n=100a+10b+c,根据“好数”的定义可知6a9,1b4,1c9.由题意, 得a=b+5, a+b=mc ,将代入,得 2b+5=mc.所以 2b+5,m,c 都为奇数,进而分类讨论求解即可. 答案解: (1)312 是“好数” ,675 不是“好数”. 理由如下:312 是“好数” ,因为 3,1,2 都不为 0,且 3+1=4,4 能被 2 整除; 675 不是“好数” ,因为 6+7=13,13 不能被 5 整除. (2)设 n=100a+10b+c(a,b,c
20、 为整数且 6a9,1b4,1c9). 由题意,得 a+b=mc(m 为正整数) ,a=b+5,2b+5=mc. 又2b+5 为奇数,m,c 同时为奇数. 当 b=1 时,a=6,mc=7,则 m=7,c=1 或 m=1,c=7,此时“好数”有 2 个:611,617; 当 b=2 时,a=7,mc=9,则 m=9,c=1 或 m=1,c=9 或 m=3,c=3,此时“好数”,3 个:721,729,723; 当 b=3 时,a=8,mc=11,则 m=11,c=1,此时“好数”有 1 个:831; 当 b=4 时,a=9,mc=13,则 m=13,c=1,此时“好数”有 1 个:941; 所
21、以共有“好数”2+3+1+1=7(个). 综上所述,百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”共有 7 个. 28 (2020 北京)在平面直角坐标系 xOy 中,O的半径为 1,A,B为O外两点,AB=1给出如 下定义:平移线段 AB,得到O的弦 A B (A ,B 分别为点 A,B的对应点) ,线段 AA长度的最小 值称为线段 AB到O的“平移距离” (1)如图,平移线段 AB 到O 的长度为 1 的弦 12 PP和 34 P P,则这两条弦的位置关系是 ; 在点 1234 ,P P P P中,连接点 A与点 的线段的长度等于线段 AB到O的“平移距离”; (2)若点 A,B都在直线32 3
22、yx上,记线段 AB到O的“平移距离”为 1 d,求 1 d的最小值; (3)若点 A的坐标为 3 2, 2 ,记线段 AB到O的“平移距离”为 2 d,直接写出 2 d的取值范围 解析(1)根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可; (2)过点 O作 OEAB于点 E,交弦 CD于点 F,分别求出 OE、OF的长,由 1 dOEOF得到 1 d的 最小值; (3)线段 AB 的位置变换,可以看作是以点 A 3 2, 2 为圆心,半径为 1 的圆,只需在O 上都存在 两条对应线段 A B 和 A B ,满足它们平行且相等,由平移距离可知,AA的长度的最小值即为平移 距离,因此当且仅当 AAAA
23、 时,平移距离最大(否则谁小取谁) 答案解: (1)平行;P3; (2)如图,线段 AB在直线32 3yx上,平移之后与圆相交,得到的弦为 CD,CDAB,过点 O作 OEAB于点 E,交弦 CD于点 F,OFCD,令0y ,直线与 x轴交点为(-2,0) ,直线与 x 轴夹角为 60 ,2sin603OE 由垂径定理得: 2 2 13 22 OFOCCD , 1 3 2 dOEOF; x y P2 P1 P3 P4 1 B O A (3)线段 AB 的位置变换,可以看作是以点 A 3 2, 2 为圆心,半径为 1 的圆,只需在O 内找到与 之平行,且长度为 1的弦即可; 点 A到 O的距离为
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