安徽省蚌埠市2021届高三第一次质量监测数学理科试题（含答案）

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1、书书书 蚌埠市 届高三年级第一次教学质量监测 数学（ 理工类） 本试卷满分 分， 考试时间 分钟 注意事项： 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再涂选其它答案标号 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上 写在 本试卷上无效 一、 选择题： 本大题共 小题， 每小题 分， 共 分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符 合题目要求的 设集合 ， 槡 ， 则 （ ， ， （ ， ） 已知复数 ， 则 槡槡 若单位向量 ， 满足 ， 向量 满足（ ） ， 且向量 ， 的

2、夹角为 ， 则 槡 槡 函数 （ ） 的图象大致为 设等差数列 的前 项和为 ， ， 且 ， 则下列结论一定正确的是 平面 的一条斜线 交平面 于 点， 过定点 的直线 与 垂直， 且交平面 于 点， 则 点的轨迹是 一条直线 一个圆 两条平行直线 两个同心圆 防洪期间， 要从 位志愿者中挑选 位去值班， 每人值班一天， 第一天 个人， 第二天 个 人， 第三天 个人， 第四天 个人， 则满足要求的排法种数为 ）页共（页第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 二项式（ ） （ ） 的展开式中常数项为 干支是天干（ 甲、 乙、 、 癸） 和地支（ 子、 丑、 、 亥） 的合称， “ 干支纪年法” 是我国

3、传统的纪年法 如图是查找公历某年所对应干支的程序框图 例如 公元 年， 即输入 ， 执行该程序框图， 运行相应的程序， 输出 ， 从干支表中查出对应的干支为辛酉 我国古代杰出数学家秦九韶出 生于公元 年， 则该年所对应的干支为 六十干支表（ 部分） 戊辰己巳庚午辛未壬申 己未庚申辛酉壬戌癸亥 戊辰 辛未 已巳 庚申 设 （ ） 槡 ， ， 槡 ， 若 （ ） （ ） ， 则 （ ） 槡槡 将函数 （ ） 图象上的点 （ ， ） 向右平移 （ ） 个单位长度得到点 ， 若 位于函数 的图象上， 则 槡 ， 的最小值为 ， 的最小值为 槡 ， 的最小值为 ， 的最小值为 已知双曲线 ： （ ， ）

4、 上存在点 ， 过点 向圆 做两条切线 ， 若 ， 则双曲线 的离心率最小值为 槡 槡 二、 填空题： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分 若实数 ， 满足 ， ， ， 则 的最小值为 数列 的前 项和 ， 若 ， 则 已知椭圆 ： （ ） 的右焦点为 （ ， ） ， ， 为椭圆 的左右顶点， 且 ， 则椭圆 的方程为 ）页共（页第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 如图， ， 分别是正方形 的边 ， 的中点， 把 ， ， 折起构成一 个三棱锥 （ ， ， 重合于 点） ， 则三棱锥 的外接球与内切球的半径之 比是 三、 解答题： 共 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第 题为必考题，

5、 每个试 题考生都必须作答 第 、 题为选考题， 考生根据要求作答 （ 一） 必考题： 共 分 （ 分） 在 中， 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且（ ） （ ） （ ） （ ） 求 ； （ ） 若 ， 的面积为槡 ， 求 的周长 （ 分） 中国网络教育快速发展以来， 中学生的学习方式发生了巨大转变 近年来， 网络在线学习 已成为重要的学习方式之一 为了解某学校上个月 ， 两种网络学习方式的使用情况， 从全校学生中随机抽取了 人进行调查， 发现 ， 两种学习方式都不使用的有 人， 仅使用 和仅使用 的学生的学习时间分布情况如下： 使用时间（小时） 人 数 学习方式 （ ， （ ， 大于

6、仅使用 人 人 人 仅使用 人 人 人 （ ） 用这 人使用 ， 两种学习方式的频率来代替概率， 从全校学生中随机抽取 人， 估计该学生上个月 ， 两种学习方式都使用的概率； （ ） 以频率代替概率从全校仅使用 和仅使用 的学生中各随机抽取 人， 以 表示这 人当中上个月学习时间大于 小时的人数， 求 的分布列和数学期望 （ 分） 如图， 在棱柱 中， 底面 为平行四边形， ， ， ， 是 的中点， 且 在底面上的投影 恰为 的中点 （ ） 求证： 平面 ； （ ） 若点 满足 ， 试求 的值， 使二面角 为 ）页共（页第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 （ 分） 已知抛物线 ： （ ） ， 过抛

7、物线 的焦点 且垂直于 轴的直线交抛物线 于 ， 两点， （ ） 求抛物线 的方程， 并求其焦点 的坐标和准线 的方程； （ ） 过点 的直线与抛物线 交于不同的两点 ， ， 直线 与准线 交于点 连接 ， 过点 作 的垂线与准线 交于点 求证： ， ， 三点共线（ 为坐标原点） （ 分） 已知函数 （ ） （ ） ， ， () （ ） 当 时， 求 （ ） 的单调区间； （ ） 若 是函数 （ ） 的极大值点， 求实数 的取值范围 （ 二） 选考题（ 共 分， 请考生在第 、 题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分， 作答时请写清题号） 选修 坐标系与参数方程 （ 分） 在极坐

8、标系中， 已知 （ ， ） 在直线 ： 上， 点 （ ， ） 在圆 ： 上 （ 其中 ， ， ） ） （ ） 求 ； （ ） 求出直线 与圆 的公共点的极坐标 选修 不等式选讲 （ 分） 已知函数 （ ） （ ） 当 时， 求不等式 （ ） 的解集； （ ） 若 （ ） ， 求实数 的取值范围 ）页共（页第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 蚌埠市 届高三年级第一次教学质量监测 数学（ 理工类） 参考答案及评分标准 一、 选择题 题号 答案 二、 填空题 槡 三、 解答题 （ 分） （ ） 由正弦定理得： （ ） （ ） （ ） ， 即 分 由余弦定理可得： 分 （ ， ） ， ；分 （ ） 槡 ，

9、 由余弦定理 ， 分 得 ， 即（ ） 分 的周长为 分 （ 分） （ ） 记： 该学生上个月 ， 两种学习方式都使用为事件 由题意可知， 两种学习方式都使用的人数为： 人，分 该学生上个月 ， 两种学习方式都使用的概率 （ ） 分 （ ） 由题意可知， 仅使用 学习方式的学生中， 学习时间不大于 小时的人数占 ， 时间大于 小时 的人数占 ， 仅使用 学习方式的学生中， 学习时间不大于 小时的人数占 ， 时间 大于 小时的人数占 ，分 可能的取值为 ， ， ， ， （ ）( ) ( ) ， （ ） ( ) ( ) ( ) ， （ ）( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ， （ ）( ) (

10、 ) ( ) ， （ ）( ) ( ) 分 的分布列： ）页共（页第案答考参）理（学数级年三高市埠蚌 数学期望 （ ） 分 （ 分） （ ） 分别连结 ， 在 中， 槡 槡 ， 因此 ， 即 ， 分 在底面上的投影 恰为 的中点， 平面 ， 又 平面 ， ， 分 又 ， ， ， 平面 ， 平面 分 （ ） 连结 ， ， 在平行四边形 中， ， ， ， ， ， 故 ， 即 ，分 分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向建立空 间直角坐标系 ， （ ， ， ） ， （ ， ，槡 ） ， （ ， 槡 ， ） ， （ ， 槡 ， ） ， （ ，槡 ，槡 ） ， （ ， 槡 ， ） ， （ ， 槡

11、， ） ， 分 （ ， 槡 ， ） （ ， 槡 ， ） ， （ ， 槡 ，槡 ） ， 易得平面 的一个法向量为 （ ， ， ） 设 （ ， ， ） 为平面 的一个法向量， 则： ， 即 槡 槡 槡 ， 令 槡 ， 得 （ 槡 ， ， ） ， 分 二面角 为 ， ， ， 即 槡 ， 槡 槡 ， 即 ， 又二面角 的大小为钝角， 槡 分 （ 分） （ ） ， 则 ，分 故抛物线 的方程为 ， 分 其焦点 坐标为（ ， ） ， 分 准线 方程为 分 （ ） 设直线 ： ， 联立 ， 得 设 （ ， ） ， （ ， ） ， 则 ， 分 直线 ： ， 由 得 ， 故 ， () ）页共（页第案答考参）理（

12、学数级年三高市埠蚌 直线 的斜率 ， 直线 的斜率 直线 ： （ ） ， 则 （ ， ） 分 直线 的斜率 ， 直线 的斜率 ， 由 得 则 （ ） ， ， 三点共线 分 （ 分） （ ） （ 方法一） 当 时， （ ） ， （ ） () （ ） ，分 令 （ ） ， 则 （ ） ， （ ） 在 ， () 上单调递减， （ ） ， ， () 时， （ ） ， ， () 时， （ ） 分 当 ， () 时， () ， ， （ ） ， （ ） 单调递增， 当 ， () 时， () ， ， （ ） ， （ ） 单调递减， 综上， （ ）的单调递增区间为 ， () ， 单调递减区间为 ， () 分 （

13、 方法二） 当 时， （ ） ， （ ） ，分 记 （ ） ， ， () ， 则 （ ） （ 当且仅当 时取等号） ， （ ） 单调递减，分 又 （ ） ， 当 ， () 时， （ ） 即 （ ） ， （ ） 单调递增， 当 ， () 时， （ ） ， 即 （ ） ， （ ） 单调递减 故 （ ） 的单调递减区间为 ， () ， 单调递增区间为 ， () 分 （ ） 令 （ ） ， 则 （ ） （ ） ， （ ） ， （ ） （ ） （ ） ， 当 ， ， () 时， （ ） ， （ ） 单调递减，分 ， () 时， （ ） （ ） ， （ ） ， ）页共（页第案答考参）理（学数级年三高市埠蚌

14、 （ ） ， 即 （ ） 在 ， () 上单调递增， ， () 时， （ ） （ ） ， （ ） ， （ ） ， 即 （ ） 在 ， () 上单调递减， 故 是函数 （ ） 的极大值点， 满足题意； 分 当 时， 存在 ， () 使得 槡 ， 即 （ ） ， 又 （ ） 在 ， () 上单调递减， （ ， ） 时， （ ） （ ） ， （ ） （ ） ， 这与 是函数 （ ） 的极大值点矛盾 综上， 分 （ 分） （ ） ， () 在直线 ： 上， ， 解得 点 ， () 在圆 ： 上， ， 解得 分 ， ， 槡 槡 分 （ ） 由直线 与圆 的方程联立得， 得 ， 故 ，分 ， ， ） ， ， ，分 槡 分 公共点的极坐标为 槡 ， () 分 （ 分） （ ） 当 时， （ ） ， ， ， 分 当 时， 不等式 （ ） 化为 ， 即 ， 当 时， 不等式 （ ） 化为 ， 此时无解， 当 时， 不等式 （ ） 化为 ， 即 ，分 综上， 当 时， 不等式 （ ） 的解集为 或 分 （ ） （ ） （ ） （ ） 当 时， （ ） 分 又 （ ） ， ， 即 解得 或 分 综上， 若 （ ） ， 则 的取值范围是 或 分 （ 以上答案仅供参考， 其它解法请参考以上评分标准酌情赋分） ）页共（页第案答考参）理（学数级年三高市埠蚌