江苏省南京市2021届高三上学期期初数学试题(含答案解析)
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1、1 江苏省南京市江苏省南京市 20212021 届高三上学期期初届高三上学期期初考试数学试题考试数学试题 20209 一、单项选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分,共计 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1已知集合 A 2 20 x xx,B13xx,则 AB A13xx B11xx C12xx D23xx 2已知(34i)z1i,其中 i 为虚数单位,则在复平面内 z 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量a,b满足a1,b2,且3ab,则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 5 6 D 2
2、 3 4在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(4 3,0)到双曲线 C: 22 2 1 9 xy a 的一条渐近线的 距离为 6,则双曲线 C 的离心率为 A2 B4 C2 D3 5在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若 2bcosC2ac,则角 B 的取值范 围是 A(0, 3 B(0, 2 3 C 3 ,) D 2 3 ,) 6设 4 log 9a , 1.2 2b , 1 3 8 () 27 c ,则 Aabc Bbac Cacb Dcab 7在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 A: 22 (1)1xy,点 B(3,0),过动点 P 引圆 A 的切线,切点为 T若
3、PT2PB,则动点 P 的轨迹方程为 A 22 14180 xyx B 22 14180 xyx C 22 10180 xyx D 22 10180 xyx 8已知奇函数( )f x的定义域为 R,且(1)(1)fxfx若当 x(0,1时,( )f x 2 log (23)x,则 93 () 2 f的值是 2 A3 B2 C2 D3 二、 多项选择题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中, 至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 95G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展,进
4、而对 GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应,间接带动国民经 济各行业的发展,创造出更多的经济增加值如图,某单位结合近年数据,对今后几年 的 5G 经济产岀做出预测 由上图提供的信息可知 A运营商的经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 10将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位后,得到函数( )yg x的图象,则 A函数( )g x的图象关于直线 12 x 对称 B函数( )g x的图象关于点( 6 ,0)对称 C函数( )g x在区间(
5、5 12 , 6 )上单调递增 D函数( )g x在区间(0, 7 6 )上有两个零点 11已知 523456 0123456 (2)(1 2 )xxaa xa xa xa xa xa x,则 3 A 0 a的值为 2 B 5 a的值为 16 C 123456 aaaaaa的值为5 D 135 aaa的值为 120 12 记函数( )f x与( )g x的定义域的交集为 I 若存在 0 x I, 使得对任意xI, 不等式 ( )f x 0 ( )()0g xxx恒成立,则称( )f x,( )g x)构成“M 函数对” 下列所给的两个函 数能构成“M 函数对”的有 A( )lnf xx, 1
6、( )g x x B( )exf x ,( )eg xx C 3 ( )f xx, 2 ( )g xx D 1 ( )f xx x ,( )3g xx 三、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上) 13如图,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适 量的水若放入一个半径为 r 的实心铁球(小球 完全浸入水中) ,水面高度恰好升高 3 r ,则 R r 14被誉为“数学之神”之称的阿基米德(前 287前 212) ,是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学 第 13 题 家, 他最早利用逼近的思想证明了如下结论: 抛物线的弦与抛物线所围成的封闭
7、图形的 面积, 等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二 这 个结论就是著名的阿基米德定理, 其中的三角形被称为阿基米德三角形 在平面直角坐 标系心中,已知直线 l:y4 与抛物线 C: 2 1 4 yx交于 A,B 两点,则弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为 15已知数列 n a的各项均为正数,其前 n 项和为 n S,且 1 2 nnn Sa a ,nN,则 4 a ;若 1 a2,则 20 S (本题第一空 2 分,第二空 3 分) 16 若不等式 2 (1)e1 x axbx对一切 xR 恒成立, 其中 a, bR, e 为自然对数的底数, 则 ab 的
8、取值范围是 四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 10 分) 已知向量m(2cosx,1),n(3sinx,2cos2x),xR,设函数( )1f xm n 4 (1)求函数( )f x的最小正周期; (2)若 a 3 , 7 12 ,且 8 ( ) 5 f a ,求 cos2a 的值 18 (本小题满分 12 分) 已知数列 n a是公比为 2 的等比数列,其前 n 项和为 n S, (1)在 132 22SSS, 3 7 3 S , 234 4a aa,这三个条件中任选一个,补 充到上述题干中
9、 求数列 n a的通项公式, 并判断此时数列 n a是否满足条件 P: 任意 m, nN, mn a a均为数列 n a中的项,说明理由; (2)设数列 n b满足 1 1 ()n n n n a bn a ,nN,求数列 n b的前 n 项和 n T 注:在第(1)问中,如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 19 (本小题满分 12 分) 为调查某校学生的课外阅读情况,随机抽取了该校 100 名学生(男生 60 人,女生 40 人) , 统计了他们的课外阅读达标情况 (一个学期中课外阅读是否达到规定时间) , 结果如下: 是否达标 性别 不达标 达标 男生 36 24 女生 10 30
10、 (1)是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关? 附: 2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd P( 2 k) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)如果用这 100 名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和 5 女生课外阅读“达标”的概率,且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽 取 3 人(2 男 1 女) ,设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数” ,试求 X 的分布列和 数学期望 20 (本小题满分 12 分) 如图,
11、在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,ADBC,ABBCPA1, AD2,PADDAB90 ,点 E 在棱 PC 上,设 CECP (1)求证:CDAE; (2)记二面角 CAED 的平面角为,且 10 cos 5 ,求实数的值 21 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2 2 1 4 x y (1)设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1,F2,T 是椭圆 C 上的一个动点,求 12 TF TF的 取值范围; (2)设 A(0,1),与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 B,D 两点,若ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,求直线
12、l 的方程 22 (本小题满分 12 分) 已知函数( )lnf xkxxx,kR (1)当 k2 时,求函数( )f x的单调区间; (2)当 0 x1 时,( )f xk恒成立,求 k 的取值范围; 6 (3)设 nN,求证: ln1ln2ln(1) 2314 nn n n 江苏省南京市江苏省南京市 20212021 届高三上学期期初届高三上学期期初考试数学试题考试数学试题 20209 7 一、单项选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分,共计 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1已知集合 A 2 20 x xx,B13xx
13、,则 AB A13xx B11xx C12xx D23xx 答案:C 解析:集合 A 2 20 x xx,集合 A12xx , 又B13xx,AB12xx,故选 C 2已知(34i)z1i,其中 i 为虚数单位,则在复平面内 z 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案:B 解析: 1 i1 7i 34i25 z ,故在复平面内 z 对应的点为( 1 25 , 7 25 ),在第二象限,故选 B 3已知向量a,b满足a1,b2,且3ab,则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 答案:D 解析: 22 3+2=31ababa ba b , 11 cos
14、, 1 22 a b a b a b ,故a与b的夹角为 2 3 ,故选 D 4在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(4 3,0)到双曲线 C: 22 2 1 9 xy a 的一条渐近线的 距离为 6,则双曲线 C 的离心率为 A2 B4 C2 D3 答案:A 解析:双曲线 C: 22 2 1 9 xy a 的一条渐近线为30 xay, 则 2 12 3 6 9a ,解得3a , 2 3 2 3 c e a ,故选 A 5在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若 2bcosC2ac,则角 B 的取值范 围是 8 A(0, 3 B(0, 2 3 C 3 ,) D 2 3 ,)
15、答案:A 解析:2bcosC2ac,2sinBcosC2sinAsinC,故 cosB 1 2 , 0B 3 ,故选 A 6设 4 log 9a , 1.2 2b , 1 3 8 () 27 c ,则 Aabc Bbac Cacb Dcab 答案:C 解析:98,3 3 2 2,故 3 2 22 3 log 3log 2 2 , 从而有 1.2 42 3 log 9log 312 2 acb ,故选 C 7在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 A: 22 (1)1xy,点 B(3,0),过动点 P 引圆 A 的切线,切点为 T若 PT2PB,则动点 P 的轨迹方程为 A 22 14180 xy
16、x B 22 14180 xyx C 22 10180 xyx D 22 10180 xyx 答案:C 解析:设 P(x,y),PT2PB,PT22PB2, 2222 (1)12(3)xyxy ,整理得: 22 10180 xyx,故选 C 8已知奇函数( )f x的定义域为 R,且(1)(1)fxfx若当 x(0,1时,( )f x 2 log (23)x,则 93 () 2 f的值是 A3 B2 C2 D3 答案:B 解析:根据奇函数( )f x,满足(1)(1)fxfx,可知函数的周期为 4, 2 933331 ()(48)()( )( )log 42 22222 fffff ,故选 B
17、 9 二、 多项选择题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中, 至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 95G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展,进而对 GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应,间接带动国民经 济各行业的发展,创造出更多的经济增加值如图,某单位结合近年数据,对今后几年 的 5G 经济产岀做出预测 由上图提供的信息可知 A运营商的经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服
18、务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 答案:ABD 解析:从图表中可以看出 2029 年、2030 年信息服务商在总经济产出中处于领先地位,C 错 误,故选 ABD 10将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位后,得到函数( )yg x的图象,则 A函数( )g x的图象关于直线 12 x 对称 B函数( )g x的图象关于点( 6 ,0)对称 C函数( )g x在区间( 5 12 , 6 )上单调递增 10 D函数( )g x在区间(0, 7 6 )上有两个零点 答案:ACD 解析:可得( )sin(2) 3 g xx ,当 12 x ,2 32 x ,故 A 正确;
19、当 6 x , 2 2 33 x ,故 B 错误; 当x( 5 12 , 6 ),2 3 x ( 2 ,0),故 C 正确; 当x(0, 7 6 ),2 3 x ( 3 , 8 3 ),故 D 正确 故选 ACD 11已知 523456 0123456 (2)(1 2 )xxaa xa xa xa xa xa x,则 A 0 a的值为 2 B 5 a的值为 16 C 123456 aaaaaa的值为5 D 135 aaa的值为 120 答案:ABC 解析:令 x0,得 0 2a ,故 A 正确; 5544 55 2 ( 2)( 2)16CC ,故 5 16a ,B 正确; 令 x1,得 012
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