湖南省娄底市2020年中考数学试题（解析版）

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1、娄底市娄底市 2020 年初中毕业学业考试数学试卷年初中毕业学业考试数学试卷 温馨提示：温馨提示： 1、本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量、本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量 120 分钟，满分分钟，满分 120 分分 2、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上 3、请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效、请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3分，满分分，满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一分，每小题给出的四个选

2、项中，只有一 个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方 框里）框里） 1.2020的倒数是（ ） A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020 【答案】D 【解析】 【分析】 由乘积为1的两个数互为倒数，可得答案 【详解】解： 1 12020, 2020 2020的倒数是： 1 2020 ， 故选 D 【点睛】本题考查的是求一个数的倒数，掌握倒数的定义是解题的关键 2.下列运算正确的是（ ） A. 236 aaa B. 222 ()abab C. 3

3、3 ( 2 )8aa D. 224 aaa 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、整式的加法：合并同类项逐项判断即可 【详解】A、 232 35 aaaa ，此项错误 B、 222 ()2abaabb，此项错误 C、 33 ( 2 )8aa ，此项正确 D、 222 2aaa，此项错误 故选：C 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、整式的加法，熟记各运算法则是解题关 键 3.如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128 ，那么2的度数为（ ） A. 62 B. 56 C. 28 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两锐角互余

4、求解,ABD 再利用平行线的性质可得答案 【详解】解：如图，标注字母， 由题意得：90 , 128 ,/ /EBDABCD ， 902862 ,ABD 262 ,ABD 故选 A 【点睛】本题考查平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握以上知识是解题的关键 4.一组数据 7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（ ） A. 7、10 B. 9、9 C. 10、10 D. 12、11 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据平均数的算法进行计算，求得这组数据的平均数，再将这组数据按从小到大排列的顺序排列，找出 最中间的数即可得出答案 【详解】解：这组数据的平均数是： 1 78 10 12 131

5、0, 5 把这些数从小到大排列为：7，8，10，12，13，最中间的数是 10，则中位数是 10； 故选：C 【点睛】本题主要考查了平均数与中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将 一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均 数就是这组数据的中位数 5.我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念求解 【详解】解：A、不是中心对称图形故错误； B、是中心对称图形故正确； C、不中心对称图形故错误； D、不是中心对

6、称图形故错误 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 6.2020 年中央财政下达义务教育补助经费 1695.9亿元，比上年增长 8.3%其中 1695.9亿元用科学记数法表 示为（ ） A. 10 16.959 10元 B. 8 1695.9 10元 C. 10 1.6959 10元 D. 11 1.6959 10元 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学记数法的定义即可得 【详解】科学记数法：将一个数表示成10na的形式，其中110a，n 为整数，这种记数的方法叫做 科学记数法 则1695.9亿 3811 1.6959

7、10101.6959 10 故选：D 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键 7.正多边形的一个外角为 60，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数 【详解】解：正多边形的一个外角等于 60 ，且外角和为 360 ， 则这个正多边形的边数是：360 60 =6， 故选：B 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于 360 度 8.如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂 1 cosLL，阻力臂 2 cosLl ，如果动力 F的用力方向

8、 始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ） A. 越来越小 B. 不变 C. 越来越大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据杠杆原理及cos的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案 【详解】解：动力 动力臂=阻力 阻力臂， 当阻力及阻力臂不变时，动力 动力臂为定值，且定值0， 动力随着动力臂的增大而减小， 杠杆向下运动时的度数越来越小，此时cos的值越来越大， 又动力臂 1 cosLL， 此时动力臂也越来越大， 此时的动力越来越小， 故选：A 【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本

9、 题的关键 9.如图， 平行于 y 轴的直线分别交 1 k y x 与 2 k y x 的图象 （部分） 于点 A、 B， 点 C 是 y轴上的动点， 则ABC 的面积为（ ） A. 12 kk B. 12 1 2 kk C. 21 kk D. 21 1 2 kk 【答案】B 【解析】 【分析】 设 A 的坐标为（x， 1 k x ） ，B的坐标为（x， 2 k x ） ，然后根据三角形的面积公式计算即可 【详解】解：设 A 的坐标为（x， 1 k x ） ，B 的坐标为（x， 2 k x ） ， SABC= 12 1 2 kk x xx = 12 1 2 kk， 故选：B 【点睛】本题考查了

10、反比例函数和几何综合，设出 A，B的坐标是解题关键 10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ） A. 135 B. 153 C. 170 D. 189 【答案】C 【解析】 【分析】 由观察发现每个正方形内有：2 24,2 36,2 48, 可求解b，从而得到a，再利用, ,a b x之间关 系求解x即可 【详解】解：由观察分析：每个正方形内有： 2 24,2 36,2 48, 218,b 9,b 由观察发现：8,a 又每个正方形内有： 2 4 19,3 6220,4 8335, 18,bax 18 9 8 170.x 故选 C 【点睛】本题考查的是数字类的规

11、律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键 11.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ） A. 2 2yxx B. 1yx C. 1 yx x D. | 1yx 【答案】D 【解析】 【分析】 把0y 代入四个函数解析式，解方程即可得到答案 【详解】解：当 2 20,yxx 1,1,2,abc 2 41 4 1 27bac 0， 原方程没有实数解， 2 2yxx没有零点，故A不符合题意， 当10,yx 1,x 显然，方程没有解， 所以1yx没有零点，故B不符合题意， 当 1 yx0, x 2 10,x 显然方程无解， 所以 1 yx x 没有零点，故

12、C不符合题意， 当| 10,yx 1,x 1,x 所以| 1yx有两个零点，故D符合题意， 故选.D 【点睛】本题考查的是函数的零点，即函数与x轴的交点的情况，掌握令0y ，再解方程是解题的关键 12.二次函数 y=（xa） （xb）2， （ab）的图象与 x轴交点的横坐标为 m，n，且 mn，则 a，b，m， n 的大小关系是（ ） A. amnb B. ambn C. mabn D. manb 【答案】C 【解析】 【分析】 依照题意画出二次函数 y=（x-a） （x-b）及 y=（x-a） （x-b）-2 的图象，观察图象即可得出结论 【详解】解：二次函数 y=（x-a） （x-b）与

13、x 轴交点的横坐标为 a、b，将其图象往下平移 2个单位长度可得 出二次函数 y=（x-a） （x-b）-2 的图象，如图所示 观察图象，可知：mabn 故选 C 【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问 题是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13.一元二次方程 2 20 xxc有两个相等的实数根，则c_ 【答案】1 【解析】 【分析】 由一元二次方程有两个相等的实数根，则0, 从而列方程可得答案 【详解】解： 方程 2 20 xxc有两个相等的实数根

14、， 2 40,bac 2 24 10,c 44,c 1,c 故答案为：1. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键 14.口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球 3 个，白色球 2个，从中任意摸出一 球，摸出白色球的概率是_ 【答案】 2 5 【解析】 【分析】 根据概率的计算公式，用白球的个数除以总个数即可得到结果 【详解】由题可知，摸出白球的概率 2 5 P 故答案为 2 5 【点睛】本题主要考查了概率求解，准确计算是关键 15.若 1 () 2 bd ac ac ，则 bd ac _ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 根据比例的基本

15、性质进行化简，代入求职即可 详解】由 1 () 2 bd ac ac 可得2ab，2cd， 代入 1 = 2222 bdbdbd acbdbd 故答案为 1 2 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键 16.如图，公路弯道标志Rm表示圆弧道路所在圆的半径为 m（米） ，某车在标有300R 处的弯道上从 点 A 行驶了100米到达点 B，则线段AB _米 【答案】300 【解析】 【分析】 根据弧长公式求出AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解 【详解】100= 300 180180 n Rn n=60 又 AO=BO AOB 是等边三角形， AB AO=BO=3

16、00(米) 故答案为：300 【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式的运用 17.如图， 四边形ABDC中，3, 2ABACBDCD， 则将它以AD为轴旋转 180后所得分别以AB、 BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为_ 【答案】32 【解析】 【分析】 根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为 l，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为： ABl，下面圆锥的侧面积为：BDl，即可得出答案 【详解】解：两个圆锥的底面圆相同， 可设底面圆的周长为 l， 上面圆锥的侧面积为：ABl， 下面圆锥的侧面积为：BDl， S上：S下=3：2， 故答案为：3：2 【点睛】本题考查了

17、圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键 18.由 4 个直角边长分别为 a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积 2 c等于 小正方形的面积 2 ()ab与 4 个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理 222 abc，还可以用来证明 结论：若0a、0b且 22 ab为定值，则当a_b时，ab取得最大值 【答案】= 【解析】 【分析】 设 22 ab为定值k，则 222 kcab，先根据“张爽弦图”得出 2 2()abkab，再利用平方数的非负 性即可得 【详解】设 22 ab为定值k，则 222 kcab 由“张爽弦图”可知， 222 2()()abcabk

18、ab 即 2 () 2 kab ab 要使ab的值最大，则 2 ()ab需最小 又 2 ()0ab 当a b时， 2 ()ab取得最小值，最小值为 0 则当ab时，ab取得最大值，最大值为 2 k 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 12 分）分） 19.计算： 1 0 1 313tan30(3.14) 2 【答案】2 【解析】 【分析】 先计算绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂，再计算实数的混合运算即可得 【详解】原式 3 31312

19、 3 3 131 2 2 【点睛】本题考查了绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂，熟记各运算法则是解 题关键 20.先化简 2 2 339 mmm mmm ，然后从3，0，1，3中选一个合适的数代入求值 【答案】9m，10 【解析】 【分析】 先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后选一个使得分式有意义的 x的值代入求值即可 【详解】原式 (3)2 (3) (3)(3)(3)(3)(3)(3) m mm mm mmmmmm 22 26(3)(3) (3)( 3 3) mmmm m mm mm 2 9m m m (9)m m m 9m 分式的分母不能为 0 0,30,30

20、mmm 解得：m不能为3，0，3 则选1m代入得：原式91 910m 【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的运算法则是解题关键 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 21.我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了 解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间 t h：A00.5t ，B0.51t ， C11.5t ，D 1.5t ， 将所得数据绘制成了如下不完整的统计图： （1）本次调查参加义务劳动的学生共_人，a_ （2）补全条形统计

21、图 （3）扇形图中“00.5t ”部分的圆心角是_度 【答案】 （1）100，40； （2）详见解析； （3）18 【解析】 【分析】 （1）利用 C组的人数除以百分比，即可得到总人数，然后求出 a的值即可； （2）求出 D组人数，然后补全条形图即可； （3）求出 A组的百分比，乘以 360，即可得到答案 【详解】解： （1）35 35% 100，40 100 100%40%， 本次调查参加义务劳动的学生共 100人，40a； 故答案为：100；40； （2）补全条形统计图如图所示 （3）5 100 36018， 扇形图中“00.5t ”部分的圆心角为 18 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形

22、统计图，以及求扇形图中的圆心角，弄清题中的数据是解本题的关 键 22.如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于 2019 年 12月 18 日动工，2020年 2 月 28日竣工， 彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”该桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成， 如示意图所示： 引桥一侧的桥墩顶端 E 点距地面5m， 从 E 点处测得 D 点俯角为 30， 斜面ED长为4m， 水平面DC长为2m， 斜面BC的坡度为 14， 求处于同一水平面上引桥底部AB的长（结果精确到0.1m， 21.41, 31.73） 【答案】引桥桥墩底端 A点到起点 B之间的距离为17.5m 【解析

23、】 【分析】 延长CD，与AE相交于 F，过点 D、C 两点分别作AB的垂线交AB于点 G、H，计算 AG，GH，BH的长 度，再求和即可 【详解】解：如图，延长CD，与AE相交于 F，过点 D、C 两点分别作AB的垂线交AB于点 G、H，则 在RtDEF中，4,30 ,2DEEDFEF， 3 cos3042 3 2 DFDEAG 2,523GHDCCHAF， 在Rt BCH中，:1:4,12CH BHBH 2 321217.4617.5(m)ABAGGHBH 答：引桥桥墩底端 A点到起点 B之间的距离为17.5m 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，熟练的构造直角三角形，并计算各边

24、的计算是解题的 关键 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 23.为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品某校花 7200 元购进洗手液与 84消毒液 共 400 瓶，已知洗手液的价格是 25 元瓶，84 消毒液的价格是 15元瓶 求： （1）该校购进洗手液和 84 消毒液各多少瓶？ （2）若购买洗手液和 84消毒液共 150瓶，总费用不超过 2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？ 【答案】 （1）该校购进洗手液 120瓶，购进 84消毒液 280 瓶； （2）最多能买洗手液 25 瓶 【解析】 【分析】 （1

25、）设购进洗手液 x 瓶，则购进 84 消毒液为400 x瓶，根据题意得到一元一次方程，故可求解； （2）设最多能购买洗手液 a瓶，根据题意得到不等式，故可求解 【详解】解： （1）设购进洗手液 x瓶，则购进 84 消毒液为400 x瓶 依题意得：2515(400)7200 xx 解得120 x 400280 x 答：该校购进洗手液 120瓶，购进 84消毒液 280 瓶 （2）设最多能购买洗手液 a瓶 2515(150) 2500aa 解得25a 答：最多能买洗手液 25 瓶 【点睛】此题主要考查一元一次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系或不等关系列 式求解 24.如图，AB

26、CD中，2BCAB，ABAC ，分别在边BC、AD上的点 E与点 F关于AC对称，连 接EF、AE、CF、DE （1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由； （2）求证：AEDE 【答案】 （1）四边形AECF为菱形，理由详见解析； （2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意可证明AOFCOE，再由,OEOF EFAC可得到四边形AECF是菱形； （2）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解 【详解】解： （1）四边形AECF为菱形，理由如下 由ABCD可得/AD BC，从而CAFACE 设AC与EF相交于点 O 点 E与点 F关于AC对称 OEOF且EFAC 在AOF和COE中

27、CAFACE OEOF AOFCOE AOFCOE OAOC，又,OEOF EFAC 四边形AECF为菱形， （2）ABAC，据（1）EFAC /EF AB 又OAOCBECE AFDF 11 22 EFABBCADAFDF AEDE 【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、菱形的判定定理 及直角三角形的性质 六、综合题（本大题共六、综合题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 25.如图，点 C 在以AB为直径的O上，BD平分ABC交O于点 D，过 D 作BC的垂线，垂足为 E （1）求证：DE与O相切； （2）若5

28、,4ABBE，求BD的长； （3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由 【答案】 （1）详见解析； （2）2 5 ； （3）CEABBE，理由详见解析 【解析】 【分析】 （1）连OD，据题意得OBOD，根据平分线的性质，得CBDOBD，证明/OD BC，再根据 DEBC可得结果； （2）根据AB为O的直径可得90ADB，证出DBEABD，得到 2 BDAB BE ，代入数值 求解即可； （3） 由E B DA B D得CDAD， 根据90 ,90ADBCED ， 得到 2222 CDADABBD， 222 DEBDBE ，联立即可得到结果； 【详解】解： （1）连OD，据题意得OBOD

29、， ODBOBD， BD平分ABC， CBDOBD， CBDODB， /OD BC， 又DEBC， DEOD， DE与O相切 （2）AB为O的直径可得：90ADB， 据（1）CBDOBD且90DEB， 在DBE和ABD中， EBDABDDEBADB， DBEABD， 2 BDAB BE ， 又5,4ABBE， 202 5BD （3）CEABBE 由EBDABD 得CDAD， 90 ,90ADBCED ， 2222 CDADABBD， 222 DEBDBE ， 2222222 2()CECDDEABBEBDABBE， 由,Rt DBE Rt ABD得ABBDBE， CEAB BE- 【点睛】本题

30、主要考查了圆的综合应用，结合三角形相似的知识点进行求解是解题的关键 26.如图，抛物线经过点( 3,0)A 、 (1,0)B 、(0,3)C （1）求抛物线的解析式； （2）点,P m n是抛物线上的动点，当30m 时，试确定 m 的值，使得PAC的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点 B 的点 D，满足 22 6DADC，若存在，请求出点 D的坐标；若不存 在，请说明理由 【答案】 （1） 2 23yxx ； （2） 3 2 m ； （3）2,3D 【解析】 【分析】 （1）据题意可设抛物线的解析式为31ya xx()()，将点代入0,3C解出 a，即可求出抛物线的解析 式； （2）先

31、求出直线 AC的解析式，然后根据当30m 时，点,P m n在直线AC上方，过点 P 作 x轴的 垂线与线段AC相交于点 Q，可将x m 分别代入 2 23yxx 和 3yx=+ 得 2 ,23P mmm， ( ,3)Q m m ，从而得出 PQ的代数式，从而可求出 m的值； （3）由题意可得4,1,3ABOBCO，根据 2 10BC ，45CAO ，可求出 22 6BABC，连接 BC， 过B作AC的垂线交抛物线于点D， 交AC于点H， 可得 222222 6DADCHAHCBABC， 根据CAODBA，可得BD与AC关于AB的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴1x对称， 即点 D与点 C

32、关于抛物线的对称轴1x对称，从而可求出点 D的坐标 【详解】解： （1）据题意可设抛物线的解析式为31ya xx()()， 将点0,3C代入，可得1a 抛物线的解析式为 2 23yxx ； （2）设直线 AC 的解析式为：y kxb ， 将( 3,0)A 、(0,3)C代入得 03 3 kb b ， 解得 1 3 k b ， 直线AC的解析式：3yx=+， 当30m 时，点,P m n在直线AC上方， 过点 P作 x轴的垂线与线段AC相交于点 Q， 将x m 分别代入 2 23yxx 和 3yx=+ 得 2 ,23P mmm，( ,3)Q m m， 2 23(3)PQmmm 2 3mm 2 3

33、9 24 m 30m ， 当且仅当 3 2 m 时，PQ取得最大值， 此时 13 22 PAC SPQAOPQ最大， 3 2 m ； （3）由( 3,0)A 、 (1,0)B 、(0,3)C得4,1,3ABOBCO， 2 10BC ，45CAO ， 22 6BABC， 连接BC，过 B作AC的垂线交抛物线于点 D，交AC于点 H， 则90 ,45AHBDBACAO ， 222222 6DADCHAHCBABC， CAODBA， BD与AC关于AB的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴1x对称， 点 D与点 C关于抛物线的对称轴1x对称， 又0,3C， 点 D的坐标为（-2，3） 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的性质，求一次函数解析式，结合题意，正确添加辅助 线，灵活运用知识点是解题关键