四川省广元市2020年中考数学真题（解析版）

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1、四川省广元市四川省广元市 2020 年中考数学真题年中考数学真题 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的 1. 2 的绝对值是（ ） A. 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 2 【答案】A 【解析】 分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点2 到原点的距离是 2， 所以2 的绝对值是 2，故选 A 2.下列运算正确的是（ ） A. 2 242 22a ba b B. 22 ()aa C. 222 ()abab D. 3412 a aa 【答

2、案】B 【解析】 【分析】 分别利用幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，同底数幂的乘法法则计算即可. 【详解】解：A、原式=4a4b2，故选项错误； B、原式=a2，故选项正确； C、原式=a2+2ab+b2，故选项错误； D、原式=a7，故选项错误； 故选 B. 【点睛】此题考查了幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题 的关键 3.如图所示的几何体是由 5 个相同的小正方体组成，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【详解】解：从正面看第一层是一个小正方形，第二层是三个小正方形，

3、主视图为： 故选：D 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 4.在 2019年某中学举行的冬季阳径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如表所示： 成绩（m） 1.80 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 1.70m,1.65m B. 1.70m1.70m， C. 1.65m1.65m， D. 1.65m1.60m， 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这些运动员跳高成 绩的中位数即可；然后找

4、出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这些运动员跳高成绩的众数，据此解 答即可 【详解】解：15 271，第 8名的成绩处于中间位置， 男子跳高的 15名运动员的成绩处于中间位置的数是 1.65m， 这些运动员跳高成绩的中位数是 1.65m； 男子跳高的 15名运动员的成绩出现次数最多的是 1.60m， 这些运动员跳高成绩的众数是 1.60m； 综上，可得这些运动员跳高成绩的中位数是 1.65m，众数是 1.60m 故选：D 【点睛】此题主要考查了众数和中位数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确众数和中位数的含义和求 法. 5.如图，ab,M、N 分别在 a,b 上，P 为两平行线间一点，那么

5、1+2+3=（ ）. A. 180 B. 360 C. 270 D. 540 【答案】B 【解析】 【分析】 首先作出 PAa，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出1+2+3的值 【详解】解：过点 P 作 PAa， ab，PAa， abPA， 1+MPA=180 ，3+APN=180 ， 1+MPA+3+APN=180 +180 =360 ， 1+2+3=360 故选 B 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，作出 PAa 是解决问题的关键 6.按照如图所示的流程，若输出的= 6M，则输入的 m为（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题

6、目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得 m的值，从而可以解答本题 【详解】解：当 m2-2m0 时， 6 6 1m ，解得 m=0， 经检验，m=0是原方程的解，并且满足 m2-2m0， 当 m2-2m0 时， m-3=-6，解得 m=-3，不满足 m2-2m0，舍去 故输入的 m为 0 故选：C 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法 7.下列各图是截止 2020年 6 月 18日的新冠肺疫情统计数据，则以下结论错误的是（ ） A. 图 1显示印度新增确诊人数大约是伊朗的两倍每百万人口的确诊人数大约是伊朗的 1 9 B. 图 1显示俄罗斯当前的治愈

7、率高于四班牙 C. 图 2显示海外新增确诊人数随时间的推移总体呈增长趋势 D. 图 3显示在 2-3 月之间，我国现有确诊人数达到最多 【答案】A 【解析】 【详解】略 8.关于 x的不等式 0 721 xm x 的整数解只有 4个，则 m的取值范围是（ ） A. 21m B. 21m C. 21m D. 32m 【答案】C 【解析】 【分析】 不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有 4 个，确定出 m的范围即可 【详解】解：不等式组整理得： 3 xm x ， 解集为 mx3， 由不等式组的整数解只有 4 个，得到整数解为 2，1，0，-1， -2m-1， 故选：C 【点睛】本题

8、主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的 整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到-2m-1 是解此题的关键 9.如图， ,AB CD是O的两条互相垂直的直径， 点 P 从点 O出发， 沿O CBO的路线匀速运动， 设APDy（单位：度） ，那么 y与点 P 运动的时间（单位：秒）的关系图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图示，分三种情况： （1）当点 P 沿 OC运动时； （2）当点 P 沿 CB运动时； （3）当点 P 沿 BO运 动时；分别判断出 y的取值情况，进而判断出 y与点 P 运动的时间 x（

9、单位：秒）的关系图是哪个即可 【详解】解： （1）当点 P沿 OC运动时， 当点 P 在点 O的位置时，y90 ， 当点 P 在点 C的位置时， OAOC， y45 ， y由 90 逐渐减小到 45 ； （2）当点 P 沿 CB 运动时， 根据圆周角定理，可得 y90245 ； （3）当点 P 沿 BO运动时， 当点 P 在点 B的位置时，y45 ， 当点 P 在点 O的位置时，y90 ， y由 45 逐渐增加到 90 故选：B 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象和圆周角定理，解答此类问题的关键是通过看图获取信息， 并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图

10、10.规定：sinsin ,cos cos ,coscos cossin sinxxxxxyxyxy给出以下四个结论：（1） 1 sin30 2 ； （2） 22 cos2cossinxxx； （3） coscos cossin sinxyxyxy ； （4） 62 cos15 4 其中正确的结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论 【详解】解： （1） 1 sin30sin30 2 ，故此结论正确； （2） 22 cos2coscos cossin sincossinxxxxxxxxx

11、，故此结论正确； （3）coscoscos cossin sincos cossin sinxyxyxyxyxyxy 故此结论正确； （4）cos15 =cos 4530 =cos45 cos30sin45 sin30 2321 2222 62 44 62 4 ， 故此结论错误. 故选：C 【点睛】 本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识， 理解题中公式. 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上分）把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上 11.近年来，四川省加快推进商业贸易转

12、型升级，2019 年，四川全省商业贸易服务业增加值达 4194 亿元，用 科学计数法表示_元 【答案】4.194 1011 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当数绝对值大于 10 时，n是正数；当原数的绝 对值小于 1 时，n是负数 【详解】解：将 4194亿元用科学记数法表示为 4.194 1011元 故答案为：4.194 1011 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整

13、数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 12.在如图所示的电路图中，当随机闭合开关 1 K, 2 K, 3 K中的两个时，能够让灯泡发光的概率为_ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 分析电路图知：要让灯泡发光， 1 K必须闭合，同时 2 K, 3 K中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率 【详解】分析电路图知：要让灯泡发光， 1 K必须闭合，同时 2 K, 3 K中任意一个关闭时，满足： 一共有： 1 K, 2 K,、 2 K, 3 K、 1 K, 3 K三种情况，满足条件的有 1 K, 2 K、 1 K, 3 K两种， 能够让灯泡发光的概率为： 2 3 故答案为： 2 3 【点睛

14、】本题考查概率运算，分析出所有可能的结果，寻找出满足条件的情况是解题关键 13.关于 x的分式方程20 21 m x 的解为正数，则 m的取值范围是_ 【答案】m2且 m0 【解析】 【分析】 首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于 m的不等式，从而求得 m的范围 【详解】解：去分母得：m+4x-2=0， 解得：x 2 4 m ， 关于 x的分式方程20 21 m x 的解是正数， 2 4 m 0， m2， 2x-10， 2 2-10 4 m ， m0， m的取值范围是 m2且 m0 故答案为：m2 且 m0 【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方

15、程是解题的关键 14.如图，ABC内接于 ,O MHBC 于点 H， 若1 0 ,8A CA H，O的半径为 7， 则AB _ 【答案】 56 5 【解析】 【分析】 作直径 AD，连接 BD，根据圆周角定理得到ABD90 ，DC，证明ABDAHC，根据相似三 角形的性质解答即可 【详解】解：作直径 AD，连接 BD， AD为直径， ABD90 ，又 AHBC， ABDAHC， 由圆周角定理得，DC， ABDAHC， ABAD AHAC ，即 14 810 AB ， 解得，AB 56 5 ， 故答案： 56 5 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的

16、判定和性质 是解题的关键 15.如图所示， ,ABCECD均为等边三角形，边长分别为5cm,3cm，B、C、D三点在同一条直线上，则 下列结论正确的_ （填序号） ADBE 7cmBE CFG为等边三角形 13 cm 7 CM CM 平分BMD 【答案】 【解析】 【分析】 根据等边三角形的性质得 CACB，CDCE，ACB60 ，DCE60 ，则ACE60 ，利用“SAS” 可判断ACDBCE，则 ADBE； 过 E作ENCD,根据等边三角形求出 ED、CN 的长，即可求出 BE 的长； 由等边三角形的判定得出CMN是等边三角形； 证明DMCDBA，求出 CM长； 证明 M、 F、 C、 G

17、四点共圆， 由圆周角定理得出BMCFGC60 ， CMDCFG60 ， 得出BMC DMC，所以 CM平分BMD. 【详解】解：连接 MC，FG，过点 E作 ENBD，垂足N， ABC和CDE都是等边三角形， CACB，CDCE，ACB60 ，DCE60 ， ACE60 ， ACDBCE120 ， 在ACD和BCE 中， CACB ACDBCE CDCE ACDBCE（SAS） ， ADBE；正确； CDE 都是等边三角形，且边长为 3cm. CN= 3 2 cm，EN= 3 3 2 cm. BC=5cm. 2 2 33 3 57 22 BEcm ，正确； ACDBCE， CADCBE， 在A

18、CG和BCF中， ACGBCF ACBC GACMBC ACGBCF（ASA） ， CGCF 而GCF60 ， CMN是等边三角形，正确； EMDMBDMDBMACMDB60 FCG， M、F、C、G四点共圆， BMCFGC60 ，CMDCFG60 ， BMCDMC， CM 平分BMD，正确； DMC=ABD，MDC=BDA DMCDBA CMCD ABAD 3 57 CM CM= 15 7 cm.错误. 故答案为：. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质， 证明三角形全等是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 90 分）要求写出必要的

19、解答步骤或证明过程分）要求写出必要的解答步骤或证明过程 16.计算： 2 01 2sin45122020 2 【答案】-2 【解析】 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、 零指数幂的性质、 负整数指数幂的性质分别代入化简即可 【详解】解：原式 24 12 1 =-2 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 17.先化简，再求值： 2 11 1 aa a aaa ，其中 a是关于 x的方程 2 230 xx的根 【答案】a2+2a+1；16 【解析】 【分析】 首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可 【详解】解： 2 11 1 aa a aaa 111

20、 1 a aa a a aaa 111 1 aaa a aa 2 1a =a2+2a+1 a是关于 x的方程 2 230 xx的根， a2-2a-3=0， a=3或 a=-1， a2 +a0， a-1， a=3， 原式=9+6+1=16. 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键 18.已知ABCD，O为对角线 AC的中点，过 O 的一条直线交 AD于点 E，交 BC 于点 F （1）求证：AOECOF； （2）若2 : 1AE AD ：，AOE面积为 2，求ABCD的面积 【答案】 （1）见解析； （2）16. 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形的

21、性质得出 ADBC，得出EAOFCO，由 ASA即可得出结论； （2）由于2 : 1AEAD ：，O 为对角线 AC的中点，得出AEOADC，根据AOE的面积为 2，可 得ADC 的面积，进而得到ABCD的面积 【详解】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， EAOFCO， O 是 AC的中点， OAOC， 在AOE 和COF中， EAOFCO OAOC AOECOF ， AOECOF（ASA） ； （2） AEAD：=1：2，O为对角线 AC的中点， AO:AC=1:2， EAODAC， AEOADC， AOE的面积为 2， ADC 的面积为 8， ABCD的面积为 16.

22、 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形面积比，要熟练掌 握全等三角形的判定和相似三角形的判定. 19.广元市某中学举行了“禁毒知识竞赛”，王老师将九年级（1）班学生成绩划分为 A、B、C、D、E五个 等级，并绘制了图 1、图 2 两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）求九年级（1）班共有多少名同学？ （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C”所对应的圆心角度数； （3） 成绩为 A类的 5 名同学中， 有 2名男生和 3名女生； 王老师想从这 5名同学中任选 2名同学进行交流， 请用列表法或画树状图的方法求选取的 2 名同学都是

23、女生的概率 【答案】 （1）50； （2）见解析，108 ； （3） 3 10 【解析】 【分析】 （1）由 B 的人数和其所占的百分比即可求出总人数； （2）C人数可知，而总人数已求出，进而可求出其所对应扇形的圆心角的度数；根据求出的数据即可补 全条形统计图； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到 2 名同学都是女生的情况数，即可求出所求的概率 【详解】解： （1）由题意可知总人数10 20%50名； （2）补全条形统计图如图所示： 扇形统计图中 C等级所对应扇形的圆心角15 50 100% 360 108 ； （3）列表如下： 得到所有等可能的情况有 20 种，其中恰好抽中 2

24、名同学都是女生的情况有 6种， 所以恰好选到 2 名同学都是女生的概率 6 20 3 10 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 20.某网店正在热销一款电子产品，其成本为 10 元/件，销售中发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单 价 x（元/件）之间存在如图所示的关系： （1）请求出 y与 x 之间的函数关系式； （2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元； （3） 由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情， 该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 300元捐赠给武汉， 为了保证捐款后每天剩余利润不低于 450 元，如

25、何确定该款电子产品的销售单价？ 【答案】 （1） y10 x300； （2）20 元时，最大利润为 1000 元； （3）单价每件不低于 15元，且不高于 25 元. 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）设该款电子产品每天的销售利润为 w元，根据“总利润每件的利润 销售量”可得函数解析式，配方 成顶点式后利用二次函数的性质求解可得； （3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，根据题意得出 z10 x2400 x300030010 x2400 x3300，求出 z 450 时的 x 的值，求解可得 【详解】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykxb， 将（20，100

26、） ， （25，50）代入 ykxb， 得 20100 2550 kb kb ， 解得 10 300 k b ， y与 x 的函数关系式为 y10 x300； （2）设该款电子产品每天的销售利润为 w元， 由题意得 w（x10）y （x10） （10 x300） 10 x2400 x3000 10（x20）21000， 100， 当 x20 时，w有最大值，w最大值为 1000 答：该款电子产品销售单价定为 20 元时，每天销售利润最大，最大销售利润为 1000元； （3）设捐款后每天剩余利润 z 元， 由题意可得 z10 x2400 x300030010 x2400 x3300， 令 z45

27、0，即10 x2400 x3300450， x240 x3750， 解得 x115，x225， 100， 当该款电子产品的销售单价每件不低于15元， 且不高于25元时， 可保证捐款后每天剩余利润不低于450 元 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意找到题目 蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式 21.如图，公路 MN为东西走向，在点 M北偏东 36.5 方向上，距离 5 千米处是学校 A；在点 M北偏东 45 方向上距离6 2千米处是学校 B （参考数据：sin36.50.6 ，cos36.50.8 ，tan36.50.75 ） （1）求学校 A

28、，B 两点之间的距离 （2）要在公路 MN旁修建一个体育馆 C，使得 A，B两所学校到体育馆 C的距离之和最短，求这个最短距 离 【答案】 （1）13km;（2）109km. 【解析】 【分析】 （1）过点 A 作 CD/MN，BEMN，在 Rt ACM 中求出 CM，AC，在 Rt MBE 中求出 BE，ME，继而得 出 AD，BD的长度，在 Rt ABD 中利用勾股定理可得出 AB的长度 （2）作点 B关于 MN 的对称点 G，连接 AG交 MN于点 P，点 P 即为站点，求出 AG 的长度即可 【详解】 （1）过点 A作 CD/MN，BEMN，如图： 在 Rt ACM 中，CMA36.5

29、 ，AM5km， sin36.5 5 CA 0.6， CA3，MC4km， 在 Rt MBE中，NMB45 ，MB6 2km， sin45 6 2 BE 2 2 ， BE6，ME6km， ADCDCAMECA3km，BDBEDEBECM2km， 在 Rt ABD中，AB13km （2）作点 B关于 MN 的对称点 G，连接 AG交 MN于点 P，连接 PB，点 P 即为站点， 此时 PAPBPAPGAG，即 A，B两所学校到体育馆 C 的距离之和最短为 AG长 在 Rt ADG中，AD=3，DG=DE+EG=DE+BE=4+6=10，ADG=90 ， AG 2222 310ADDG 109km

30、 答：最短距离为109km 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关 线段的长度，难度较大 22.如图所示，一次函数y kxb 的图象与反比例函数 m y x 的图象交于(3,4), ( ,-1)AB n （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在 x 轴上存在一点 C，使AOC为等腰三角形，求此时点 C的坐标； （3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x的取值范围 【答案】 （1） 12 y x ， 1 3 3 yx； （2）6 0，5 0， 25 0 6 ，5 0 ，； （3）-12x3 【解析】 【分析】 （1）

31、因为反比例函数过 A、B 两点，所以可求其解析式和 n的值，从而知 B点坐标，进而求一次函数解析 式； （2）分三种情况：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分别求解即可； （3）根据图像得出一次函数图像在反比例函数图像上方时 x的取值范围即可. 【详解】解： （1）把 A（3，4）代入 m y x ， m12， 反比例函数是 12 y x ； 把 B（n，-1）代入 12 y x 得 n12 把 A（3，4） 、B（-12，1）分别代入 ykxb中： 得 34 121 kb kb ， 解得 1 3 3 k b ， 一次函数的解析式为 1 3 3 yx； （2）A（3，4） ，AOC为等腰三角

32、形，OA= 22 345 ， 分三种情况： 当 OA=OC时，OC=5， 此时点 C 的坐标为5 0，5 0 ，； 当 AO=AC时，A（3，4） ，点 C和点 O关于过 A点且垂直于 x 轴的直线对称， 此时点 C 的坐标为6 0，； 当 CA=CO时，点 C 在线段 OA的垂直平分线上， 过 A 作 ADx轴，垂足为 D， 由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设 OC=x，则 AC=x， 在ACD中， 2 22 43xx， 解得：x= 25 6 ， 此时点 C 的坐标为 25 0 6 ，； 综上：点 C的坐标为：6 0，5 0， 25 0 6 ，5 0 ，； （3）由图得： 当一次函

33、数图像在反比例函数图像上方时， -12x3， 即使一次函数的值大于反比例函数的值的 x的取值范围是：-12x3. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，利用 了数形结合及分类讨论的思想. 23.在Rt ABC中，90ACB ，OA平分 BAC交 BC于点 O，以 O为圆心，OC长为半径作圆交 BC于 点 D （1）如图 1，求证：AB为O的切线； （2）如图 2，AB 与O相切于点 E，连接 CE交 OA 于点 F 试判断线段 OA 与 CE的关系，并说明理由 若:1:2,3OF FCOC，求tanB的值 【答案】 （1）见解析； （2）OA垂

34、直平分 CE，理由见解析； 3 4 【解析】 【分析】 （1）过点 O作 OGAB，垂足为 G，利用角平分线的性质定理可得 OG=OC，即可证明； （2）利用切线长定理，证明 OE=OC，结合 OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论； 根据:1:2,3OF FCOC求出 OF和 CF， 再证明OCFOAC， 求出 AC， 再证明BEOBCA， 得到 BEOEBO BCACAB ，设 BO=x，BE=y，可得关于 x 和 y的二元一次方程组，求解可得 BO和 BE，从而 可得结果. 【详解】解： （1）如图，过点 O作 OGAB，垂足为 G， OA平分BAC交 BC于点 O， OG=OC

35、， 点 G在O上， 即 AB与O相切； （2）OA 垂直平分 CE，理由是： 连接 OE， AB 与O相切于点 E，AC与O相切于点 C， AE=AC， OE=OC， OA垂直平分 CE； :1:2,3OF FCOC， 则 FC=2OF，在OCF中， 2 22 23OFOF， 解得：OF= 3 5 5 ，则 CF= 6 5 5 ， 由得：OACE， 则OCF+COF=90 ，又OCF+ACF=90 ， COF=ACF，而CFO=ACO=90 ， OCFOAC， OCOFCF OAOCAC ，即 3 56 5 3 55 3OAAC ， 解得：AC=6， AB与圆 O 切于点 E， BEO=90

36、，AC=AE=6，而B=B， BEOBCA， BEOEBO BCACAB ，设 BO=x，BE=y， 则 3 366 yx xy ， 可得： 693 6318 yx xy ， 解得： 5 4 x y ，即 BO=5，BE=4， tanB= OE BE = 3 4 . 【点睛】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用， 有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论. 24.如图，直线 210yx 分别与 x轴，y轴交于点 A，B 两点，点 C 为 OB的中点，抛物线 2 yxbxc 经过 A，C两点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D是直线 AB

37、 下方的抛物线上的一点，且ABD的面积为 45 2 ，求点 D的坐标； （3）点 P 为抛物线上一点，若APB是以 AB 为直角边的直角三角形，求点 P 到抛物线的对称轴的距离 【答案】 （1） 2 65yxx； （2） （2，-3） ； （3） 3 2 或 2491 4 或 2491 4 . 【解析】 【分析】 （1）由直线解析式求出 A、B 坐标，然后得出 C点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）过点 D作 DEx轴，交直线 AB于点 E，设 D（m， 2 65mm） ，利用 SABD= 1 2 OA DE= 45 2 得 出方程，解出 m值即可； （3）分点 A是直角顶点和点

38、B 是直角顶点，结合图像，表示出ABP 三边长度，利用勾股定理得出方程， 求解即可. 【详解】解： （1）直线210yx 中， 令 x=0，则 y=10，令 y=0，则 x=5， A（5，0） ，B（0，10） ， 点 C是 OB 中点， C（0，5） ，将 A和 C 代入抛物线 2 yxbxc中， 0255 5 bc c ，解得： 6 5 b c ， 抛物线表达式为： 2 65yxx； （2）联立： 2 210 65 yx yxx ， 解得： 1 12 x y 或 5 0 x y ， 直线 AB与抛物线交于点（-1，12）和（5，0） ， 点 D是直线 AB 下方抛物线上的一点， 设 D（m

39、， 2 65mm） ， -1m5， 过点 D作 DEx 轴，交直线 AB于点 E， E（m，-2m+10） ， DE= 2 21065mmm = 2 45mm， SABD= 1 2 OA DE= 2 1 545 2 mm = 45 2 ， 解得：m=2， 点 D的坐标为（2，-3） ； （3）抛物线表达式为： 2 65yxx， APB是以 AB为直角边的直角三角形， 设点 P（n， 2 65nn ） ，A（5，0） ，B（0，10） ， AP2= 2 2 2 565nnn，BP2= 2 22 65 10nnn ，AB2=125， 当点 A为直角顶点时， BP2= AB2+ AP2， 解得：n= 3 2 或 5（舍） ， 当点 B为直角顶点时， AP2= AB2+ BP2， 解得：n=13 249 4 或13 249 4 ， 而抛物线对称轴为直线 x=3， 则 3- 3 2 = 3 2 ，13 249 4 -3= 2491 4 ，3-13 249 4 = 2491 4 ， 综上：点 P 到抛物线对称轴的距离为： 3 2 或 2491 4 或 2491 4 . 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数图象上坐标点的特征，待定系数法求二次函数解析 式，三角形面积的铅垂高表示法，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的判定与性质等重要知识点， 综合性强，难度较大