2020年秋人教版A版（新教材）高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 章末检测试卷（含答案解析）

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1、章末检测试卷章末检测试卷(四四) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1化简 x3 x 的结果为( ) A x B. x C x D. x 答案 A 解析 要使式子有意义，只需x30，x0，即 x0，得 x1 或 x0. 3已知 log2m2.019，log2n1.019，则n m等于( ) A2 B.1 2 C10 D. 1 10 答案 B 解析 因为 log2m2.019，log2n1.019， 所以 m22.019，n21.019，所以n m 21.019 22.019 1 2. 4函数 y 1 1 3 x 的值域

2、是( ) A(，0) B(0,1 C1，) D(，1 答案 B 解析 由题意得 x10，x1，令 t x1，则 t0，y 1 3 t是减函数， 0bc Bbac Ccab Dbca 答案 D 解析 因为 a 1 3 log 4log221， 0c2 0.3ca. 6 在同一直角坐标系中， 函数 f(x)2ax， g(x)loga(x2)(a0， 且 a1)的图象大致为( ) 答案 A 解析 由题意，当 a0，函数 f(x)2ax 为单调递减函数，若 0a2，且函数 g(x)loga(x2)在(2，)上为减函数；若 a1 时，函数 f(x)2 ax 的零点 x02 a1， 且 f(a)3，则 f

3、(6a)等于( ) A7 4 B 5 4 C 3 4 D 1 4 答案 A 解析 若 a1，f(a)2a 123,2a11(无解)；若 a1，f(a)log 2(a1)3，解 得 a7. 所以 f(6a)f(1)2 221 42 7 4. 8已知定义在 R 上的函数 f(x)2|x m|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log 0.53)，bf(log25)， cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为( ) Aabc Bcab Cacb Dcba 答案 B 解析 由 f(x)为偶函数得 m0， 所以 af(log0.53) 0.5 log3 21 2 log 3 212. bf(log25

4、) 2 log 5 214，cf(0)2|0|10， 所以 ca0 且 a1，则下列结论正确的是( ) A函数 f(x)是奇函数 B函数 f(x)在其定义域上有零点 C函数 f(x)的图象过定点(0,1) D当 a1 时，函数 f(x)在其定义域上为增函数 答案 ABD 解析 f(x)ax 1 a xaxax，定义域为 R， f(x)a xaxf(x)，f(x)为奇函数， 且 f(0)0，故选项 A，B 正确，选项 C 错误； a1,01 a0，则其在(a，b)内没 有零点 B若 f(x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)0，则其在(a，b)内有 零点 C若

5、 f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)0，则其在(a，b)内有 零点 D若 f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线且单调，又 f(a) f(b)0，在(1,1)内有零点，故 A 不正确； 对于 B 中， 若 f(x)在区间(a， b)上的图象是一条连续不断的曲线， f(a)1， f(b)1， 且在(a， b)上 f(x)0 恒成立，此时满足 f(a) f(b)0，但是其在(a，b)内没有零点，故 B 不正确； 对于 C 中，若 f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)0，根据函数 零点存在定理，可得在(a，b)内

6、有零点，故 C 是正确的； 对于 D 中，若 f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线且单调，又 f(a) f(b)0， 1 2 1120，且 a1)的图象过定点 P，则 P 点的坐标是_ 答案 (1,4) 解析 由于函数 yax恒过(0,1)， 而 yax 13 的图象可看作是由 yax的图象向右平移 1 个 单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到的，则 P 点坐标为(1,4) 14 若指数函数f(x)ax(a1)在区间0,2上的最大值和最小值之和为10， 则a的值为_ 答案 3 解析 因为当 a1 时，指数函数 f(x)ax为增函数， 则在区间0,2上，f(x)maxa2，f(x

7、)mina01， 又指数函数 f(x)ax(a1)在区间0,2上的最大值和最小值之和为 10， 则 a2110，即 a29，又 a1，即 a3. 15已知x表示不超过 x 的最大整数，如1.22，1.51，33.若 f(x)2x，g(x) f(xx)，则 g 3 2 _，函数 g(x)的值域为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 答案 2 1,2) 解析 g 3 2 f 3 21 f 1 2 2， 令 txx0,1)，g(x)f(xx)f(t)2t， 12t1 的 x 的取值范围是 _ 答案 0，1 3 (3，) 解析 函数 f(x)ln x2 2 1 2 log1x 的定义域为x|x0，

8、 f(x)ln(x)2 2 1 2 log1x ln x2 2 1 2 log1x f(x)，该函数为偶函数， 因为函数 y1ln x2在区间(0，)上单调递增， 函数 y 2 1 2 log1x 在区间(0，)上单调递减， 所以，函数 f(x)ln x2 2 1 2 log1x 在区间(0，)上单调递增，且 f(1)1， 若 1 3 logfx 1，即 1 3 logfx f(1)， 即 1 3 logfx f(1)，可得 1 3 log x1， 可得 1 3 log x1 或 1 3 log x1， 解得 0x3. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)计算： (

9、1) 1 21 3 5 0 9 4 0.54 2e4； (2)lg 500lg8 5 1 2lg 6450(lg 2lg 5) 2. 解 (1)原式 2112 3e 2 2 3e. (2)原式lg 5lg 102lg 23lg 51 2lg 2 650(lg 10)2 lg 523lg 2lg 53lg 25052. 18(12 分)已知函数 f(x)x2(m2)x5m 有两个零点，且都大于 2，求实数 m 的取值范 围 解 函数 f(x)x2(m2)x5m 有两个大于 2 的零点，即方程 x2(m2)x5m0 有 两个不相等的实数解，且都大于 2. 结合图象可知 m2245m0， 2m 2

10、2， 42m25m0， 解得5m0， x10， 3x1x1， 解得 x0， 故 x 的取值范围为0，) 20(12 分)已知函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a1)的反函数，且 g(x)的图象过点 2 2，3 2 . (1)求 f(x)与 g(x)的解析式； (2)比较 f(0.3)，g(0.2)与 g(1.5)的大小 解 (1)因为函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a1)的反函数，所以 g(x)logax(a0 且 a1) 因为 g(x)的图象过点 2 2，3 2 ， 所以 loga2 23 2，所以 3 2 a2 2，解得 a2. 所以 f(x)2x，g(x)log2x.

11、(2)因为 f(0.3)20.3201，g(0.2)log20.20， 又 g(1.5)log21.5log210， 所以 0g(1.5)g(1.5)g(0.2) 21(12 分)攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种 76 种，探明储量 39 种，其中钒、钛资源储量分别占全国的 63%和 93%，占全球的 11%和 35%，因此其素有 “钒钛之都”的美称攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材 料，由大数据测得该产品的性能指标值 y(y 值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量 x(单位：克)的关系为：当 0 x7 时，y 是 x 的二次函数；当 x

12、7 时，y 1 3 xm.测得部分数 据如表： x(单位：克) 0 2 6 10 y 4 8 8 1 9 (1)求 y 关于 x 的函数关系式 yf(x)； (2)求该新合金材料的含量 x 为何值时产品的性能达到最佳 解 (1)当 0 x7 时，y 是 x 的二次函数， 可设 yax2bxc(a0)， 由 x0，y4 可得 c4，由 x2，y8， 得 4a2b12， 由 x6，y8，可得 36a6b12， 联立解得 a1，b8，即有 yx28x4； 当 x7 时，y 1 3 xm， 由 x10，y1 9，可得 m8，即有 y 1 3 x8. 综上可得 y x28x4，0 x7， 1 3 x8，

13、x7. (2)当 0 x7 时，yx28x4(x4)212， 即有 x4 时，取得最大值 12； 当 x7 时，y 1 3 x8递减，可得 y3， 当 x7 时，取得最大值 3. 综上可得当 x4 时产品的性能达到最佳 22(12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)b2 x 2xa是奇函数 (1)求 a，b 的值； (2)证明：f(x)在 R 上为减函数； (3)若对于任意 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围 (1)解 因为 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(0)0，得 b1. 又 f(1)f(1)，得 a1. 经检验 a1，b1 符合题意 (2

14、)证明 任取 x1，x2R，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) 1 1 1 2 21 x x 2 2 1 2 21 x x 1221 12 1 2211 221 21 21 xxxx xx 21 12 2 22 21 21 xx xx . 因为 x10. 又因为( 1 2x1)( 2 2x1)0， 所以 f(x1)f(x2)，所以 f(x)为 R 上的减函数 (3)解 因为 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立， 所以 f(t22t)f(2t2k) 因为 f(x)为奇函数，所以 f(t22t)k2t2，即 k3t22t 恒成立， 而 3t22t3 t1 3 21 3 1 3. 所以 k1 3.