2020年秋人教版A版（新教材）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末检测试卷（含答案解析）

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1、章末检测试卷章末检测试卷(二二) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1设集合 Ax|x2x20，集合 Bx|1x3，则 AB 等于( ) Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 答案 A 解析 Ax|1x2，Bx|1x3， ABx|1xba2b2；a2b2ab；abb ab 1 ab，但 a2b2，故错误； 对于，当 abb2也成立，故错误； 对于，只有当 a0 且 ab 时，b a0，b10， x27x120 的解集为( ) Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|3x2 D 答案 A 解析 2x310，

2、x27x120 x35， x3x40 xB CA2 b a a b2，即 A2， Bx24x2(x24x4)2 (x2)222，即 B2，AB. 5若关于 x 的不等式 x24xm0 对任意 0x1 恒成立，则 m 的最大值为( ) A1 B1 C3 D3 答案 C 解析 令 yx24xm，则只需满足在 x1 处的函数值非负即可，解得 m3. 6已知1 2x2 时，y1x 2bxc(b，cR)与 y 2x 2x1 x 在同一点处取得相同的最小值， 那么当1 2x2 时，y1x 2bxc 的最大值是( ) A.13 4 B4 C8 D.5 4 答案 B 解析 y2x 2x1 x x11 x12

3、x 1 x3.当 x1 时， y2取得最小值 3， 所以 y1(x1) 2 3. 所以当 x2 时，(y1)max4. 7已知一元二次方程 x2(m1)x10(mZ)有两个实数根 x1，x2，且 0x11x23，则 m 的值为( ) A4 B5 C6 D7 答案 A 解析 一元二次方程 x2(m1)x10(mZ)有两个实数根 x1，x2，且 0x11x20， 3m0， 解得13 3 m3，又 mZ，可得 m4. 8若m 2x1 mx1 0(m0)对一切 x4 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) Am|m3 B. m m2 Dm|2m3 答案 B 解析 依题意，对任意的 x4， 有 y(mx

4、1) (m2x1)0 恒成立， 结合图象(图略)分析可知 m0， 1 m4， 1 m24， 由此解得 m1 2， 即实数 m 的取值范围是 m m0 的解集相同的不等式有( ) Ax2x20 Bx2x20 Cx2x20 答案 CD 解析 因为 (1)24270 的解集为 R， 逐一验证可知，选项 CD 中的不等式解集为 R. 10对于任意实数 a，b，c，d，下列四个命题中的真命题有( ) A若 ab，则1 ab，则 ac2bc2 C若 ac2bc2，则 ab D若 ab0，cd0，则 acbd 答案 CD 解析 若 a0，b 1 b，A 错； B 中，若 c0，则有 ac2bc2，B 错；C

5、 正确； 由不等式的性质可知 D 正确 11若正数 a，b 满足 ab1，则 1 3a2 1 3b2的可能取值为( ) A.4 7 B. 2 7 C. 1 4 D. 6 7 答案 AD 解析 由 ab1，知 1 3a2 1 3b2 3b23a2 3a23b2 7 9ab10，又因为 ab ab 2 21 4(当 且仅当 ab1 2时等号成立)，所以 9ab10 49 4 ，所以 7 9ab10 4 7. 12已知关于 x 的不等式 x24ax3a20(a0)的解集为x|x1xx2，则( ) Ax1x2x1x20 的解集为 a 4 3a0 Bx1x2x1x2的最小值为4 3 Cx1x2 a x1

6、x2的最大值为 4 3 3 Dx1x2 a x1x2的最小值为 4 3 3 答案 ABC 解析 不等式 x24ax3a20(a0)的解集为 x|x1xx2， 根据根与系数的关系，可得 x1x23a2，x1x24a， x1x2x1x20 可化为 3a24a0， 解得4 3a0，A 正确； x1x2x1x23a24a3 a2 3 24 3 4 3， B 正确； x1x2 a x1x24a 1 3a， ab 和1 ab0(或 0ab) 解析 1 a 1 b ba ab b，即 ba0，所以 ab0 或 0ab. 14一元二次不等式 x2axb0 的解集为x|x1，则一元一次不等式 axb0 的 解集

7、为_ 答案 x x3 2 解析 由题意知，3 和 1 是方程 x2axb0 的两根， 所以 31a， 31b， 解得 a2， b3， 不等式 axb0 即为 2x30，所以 x3 2. 15.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润 y(单位： 10 万元)与营运年数 x(xN*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示，总利润 y 为正数)， 则营运年数的取值范围是_；每辆客车营运_年时，年平均利润最大(本题第 一空 3 分，第二空 2 分) 答案 3,4,5,6,7,8,9(或xN*|6 11x0， 解得 6 11x6 11，又 xN*， 营运年数的取值范围是

8、3,4,5,6,7,8,9(或xN*|6 11x0，若对于任意的正数 m，n，都有 mn8，则满足1 a 1 m 4 n1的 a 的取值范围是 _ 答案 a|a1 解析 由 mn8 可得 mn19， 故1 m 4 n1 1 9(mn1) 1 m 4 n1 1 9 14n1 m 4m n1 1 9(52 4) 9 91， 当且仅当 n12m，即 m3，n5 时，等号成立， 只需1 a1，即 a1. 故 a 的取值范围为a|a1 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)解下列不等式(组)： (1) xx20， x21； (2)62xx23x18. 解 (1)原不等式组可化为

9、 x0， 1x1， 即 0x1，所以原不等式组的解集为x|0x1 (2)原不等式等价于 62xx23x， x23x18， 即 x2x60， x23x180， 因式分解，得 x3x20， x6x30， 所以 x2或x3， 3x6， 所以3x2 或 3x6. 所以原不等式的解集为x|3x2 或 3x0(a0 可得(ax1)(x1)0， 即 x1 a (x1)0. 当1 a1 时，即 a1 时，不等式的解为 1 ax1 时，即1a0，不等式的解为 1x 1 a， 当1 a1 时，即 a1 时，不等式的解集为. 综上所述， 当 a1 时，不等式的解集为 x 1 ax1 ； 当1a0 时，不等式的解集为

10、 x 1x0，b0， ab(ab) 8 a 2 b 108b a 2a b 102 8b a 2a b 18， 当且仅当8b a 2a b ，即 a2b 时，等号成立 由 a2b， 8 a 2 b1， 得 a12， b6. 当 a12，b6 时，ab 取得最小值 18. (2)证明 a1 a b1 b c1 c aabc a babc b cabc c 4 b a a b c a a c c b b c 422210， 当且仅当 abc1 3时取等号 a1 a b1 b c1 c 10. 20(12 分)已知“xx|1x1，使等式 x2xm0 成立”是真命题 (1)求实数 m 的取值集合 M；

11、 (2)设不等式(xa)(xa2)0 的解集为 N，若 xN 是 xM 的必要条件，求实数 a 的取值 范围 解 (1)由题意，知 mx2x x1 2 21 4. 由1x1，得1 4m2， 故 M m 1 4m2a，即 a1 时，Nx|2ax1， 2a9 4. 当 a2a，即 a1 时，Nx|ax2a， 则 a1， a1 4， 2a2， 解得 a1 4. 当 a2a，即 a1 时，N，不满足 MN. 综上可得，实数 a 的取值范围为 a a 9 4 . 21(12 分)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中 pq0， 方案 第一次(提价) 第二次(提价) 甲 p% q% 乙 q%

12、p% 丙 1 2(pq)% 1 2(pq)% 经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？ 解 设商品原价为 a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为 N甲，N乙，N丙， 则 N甲a(1p%)(1q%)， N乙a(1q%)(1p%)， N丙a 11 2pq% 11 2pq% a 1pq 200 2. 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的， 因此，只需比较 a 1pq 200 2与 a(1p%)(1q%)的大小 N甲N丙a 1 p 100 q 100 pq 10021 pq 100 pq 2 2002 a 2002(2pqp 2q2) a 2002(pq) 2N甲， 丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大

13、 22(12 分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1 个单位的净 化剂，空气中释放的浓度 y(单位：毫克/立方米)随着时间 x(单位：天)变化的关系如下：当 0 x4 时，y 16 8x1；当 4x10 时，y5 1 2x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化 剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓 度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用 (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a(1a4)个单位的净化剂，要使接下来 的 4 天中能够持

14、续有效净化，试求 a 的最小值(精确到 0.1，参考数据： 2取 1.4) 解 (1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂， 所以浓度 y1可表示为：当 0 x4 时，y1 64 8x4； 当 4x10 时，y1202x. 则当 0 x4 时，由 64 8x44，解得 0 x8， 所以此时 0 x4. 当 4x10 时，由 202x4，解得 x8， 所以此时 4x8. 综合得 0 x8.故若一次喷洒 4 个单位的净化剂， 则有效净化时间可达 8 天 (2)设从第一次喷洒起，经 x(6x10)天， 浓度 y22 51 2x a 16 8x61 10 x 16a 14xa(14x) 16a 14xa4. 因为 414x8，而 1a4， 所以 44 a8，故 y28 aa4. 当且仅当 14x4 a时，y2有最小值为 8 aa4. 令 8 aa44，解得 2416 2a4， 所以 a 的最小值为 2416 21.6.