2020年秋人教版A版（新教材）高中数学必修第一册期末检测试卷（一）含答案解析

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1、期末检测试卷期末检测试卷(一一) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1.命题“xR，x3x210”的否定是( ) A.xR，x3x210 答案 B 解析 根据命题的否定知，xR，x3x210 的否定为xR，x3x210，故选 B. 2.如果 ab0，那么下列不等式成立的是( ) A.1 a 1 b B.abb2 C.aba2 D.1 a 1 b 答案 D 解析 由于 ab 1 b，故 A 不正确. 可得 ab2，b21，abb2，故 B 不正确. 可得ab2，a24，aba2，故 C 不正确. 故选 D. 3.若正实数

2、 a，b 满足 lg alg b1，则2 a 5 b的最小值为( ) A. 2 B.2 2 C. 10 2 D.2 答案 D 解析 由正实数 a，b 满足 lg alg b1，得 ab10， 则由基本不等式有2 a 5 b2 10 ab2， 当且仅当 2 a 5 b， ab10， 即 a2，b5 时等号成立. 故选 D. 4.已知角 终边上一点 M 的坐标为(1， 3)，则 sin 2 等于( ) A.1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 答案 D 解析 由角 终边上一点 M 的坐标为(1， 3)， 得 sin 3 2 ，cos 1 2， 故 sin 22sin cos 3 2 ，

3、 故选 D. 5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL 血液 中酒精含量低于 20 mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到 2079 mg 的驾驶员即为酒后 驾车，80 mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量 上升到了 1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那 么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？( ) (参考数据：lg 0.20.7，lg 0.30.5，lg 0.70.15，lg 0.80.1) A.1 B.3 C.5 D.7 答案 C 解析 因为 1 小时后血液中

4、酒精含量为(130%)mg/mL， x 小时后血液中酒精含量为(130%)x mg/mL， 由题意知 100 mL 血液中酒精含量低于 20 mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以(130%)x0.2， 0.7x0.2， 两边取对数得， lg0.7xlg 0.2 lg 0.7 14 3 ， 所以至少经过 5 个小时才能驾驶汽车. 故选 C. 6.若函数 ya|x|m1(0a1)的图象和 x 轴有交点，则实数 m 的取值范围是( ) A.1，) B.(0,1) C.(，1) D.0,1) 答案 D 解析 函数 ya|x|m1(0a1)的图象和 x 轴有交点， 等价于函数 ya|x|的图象与 y1m

5、的图象有交点， 0a1 时，0a|x|1， 即 01m1，解得 0m1， 即实数 m 的取值范围是0,1)， 故选 D. 7.已知函数 f(x) x2，若 f(2a25a4)f(a2a4)，则实数 a 的取值范围是( ) A. ，1 2 (2，) B.2,6) C. 0，1 2 2,6) D.(0,6) 答案 C 解析 易知函数 f(x) x2的定义域是2，)，在定义域内是增函数， 所以由 f(2a25a4)f(a2a4)得 22a25a4a2a4， 解得 0a1 2或 2a6. 故选 C. 8.已知 cos 1 3，cos() 3 3 ，且 0，则 cos 等于( ) A.5 3 9 B.

6、3 3 C.2 3 9 D.5 3 9 答案 D 解析 cos 1 3，cos() 3 3 ，且 0， 0， sin 11 9 2 2 3 ，sin()11 3 6 3 ， cos cos() cos()cos sin()sin 1 3 3 3 2 2 3 6 3 5 3 9 ，故选 D. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.下列四个命题：其中不正确的命题是( ) A.函数 f(x)在(0，)上单调递增，在(，0上单调递增，则 f(x)在 R 上是增函数 B.若函数 f(x)ax2bx2 与 x

7、 轴没有交点，则 b28a0 C.当 abc 时，则有 bcac 成立 D.y1x 和 y 1x2不表示同一个函数 答案 ABC 解析 f(x) x，x0， ln x，x0， 满足在(0，)上单调递增，在(，0上单调递增，但 f(x)在 R 上不是增函数，A 错； ab0 时，f(x)2，它的图象与 x 轴无交点，不满足 b28a0，B 错； 当 abc，但 c0 时，acbc，不等式 bcac 不成立，C 错； y 1x2|x1|，与 yx1 的对应关系不相同，值域也不相同，不是同一个函数，D 正 确. 10.已知 0ab 1 2 b B.ln aln b C.1 a 1 b D. 1 ln

8、 a 1 ln b 答案 ACD 解析 因为 0ab 1 2 b， 因为 0ab1，yln x 为增函数， 所以 ln aln b 1 ln b，同理可得， 1 a 1 b， 故选 ACD. 11.下列选项中，值为1 4的是( ) A.cos 72 cos 36 B.sin 12sin 5 12 C. 1 sin 50 3 cos 50 D.1 3 2 3cos 215 答案 AB 解析 对于 A，cos 36 cos 72 2sin 36 cos 36 cos 72 2sin 36 2sin 72 cos 72 4sin 36 sin 144 4sin 36 1 4. 对于 B，sin 12

9、sin 5 12sin 12cos 12 2sin 12cos 12 2 sin 6 2 1 4. 对于 C，原式cos 50 3sin 50 sin 50 cos 50 1 2cos 50 3 2 sin 50 1 42sin 50 cos 50 sin 80 1 4sin 100 sin 80 1 4sin 80 4. 对于 D，1 3 2 3cos 215 1 3(2cos 215 1) 1 3cos 30 3 6 . 12.已知函数f(x)x 42x2a x21 (xR)的值域为m， )， 则实数a与实数m的取值可能为( ) A.a0，m0 B.a1，m1 C.a3，m3 D.a 2，

10、m 2 答案 ABD 解析 f(x)x 42x2a x21 x 212a1 x21 x21 a1 x21， 设 x21t，t1，则 yta1 t . 当 a0 时，yt1 t在1，)上单调递增，t1 时，y0，故 y0，)，A 正确； 当 a1 时，yt 在1，)上单调递增，t1 时，y1，故 y1，)，B 正确； 当 a3 时， yt2 t在1， 2)上单调递减， 在 2， )上单调递增， 故 ymin2 2， C 错误； 当 a 2时，yt 21 t 在1，)上单调递增，t1 时，y 2，故 y 2，)，D 正确. 故选 ABD. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20

11、分) 13.lg 4lg 25(0.5 22) 2 3 27 8 的值是_. 答案 5 2 解析 原式lg 10029 42 9 2 5 2. 14.已知 a0，b0，a2b4，则 a1 a的最小值为_， 1 a 1 b的最小值为_.(本题 第一空 2 分，第二空 3 分) 答案 2 32 2 4 解析 a1 a2 a 1 a2，当且仅当 a 1 a，即 a1 时“”成立； 1 a 1 b 1 4 1 a 1 b (a2b) 1 4 122b a a b 1 4 32 2b a a b 32 2 4 . 当且仅当2b a a b，即 a4 24， b42 2 时“”成立. 15.已知集合 Ax

12、|xa，Bx|1x2，且 A(RB)R，则实数 a 的取值范围为_. 答案 a|a2 解析 由题意，集合 Ax|xa，Bx|1x2，可得RBx|x1 或 x2， 又由 A(RB)R，所以 a2. 16.设常数 aR，则方程|xa| ex1 的解的个数组成的集合是 A_. 答案 1,2,3 解析 由题意得，|xa| ex1|xa|1 ex，设 f(x) 1 e x，g(x)|xa|，在直角坐标系中分别 画 f(x)，g(x)的图象，如图所示， 所以方程解的个数可能为 1 或 2 或 3. 故答案为1,2,3. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17.(10 分)已知 p：函数 f(

13、x)(am)x在 R 上是减函数，q：关于 x 的方程 x22axa210 的两根都大于 1. (1)当 m5 时，p 是真命题，求 a 的取值范围； (2)若 p 为真命题是 q 为真命题的充分不必要条件，求 m 的取值范围. 解 (1)因为 m5，所以 f(x)(a5)x， 因为 p 是真命题，所以 0a51，所以 5a6. 故 a 的取值范围是(5,6). (2)若 p 是真命题，则 0am1，解得 ma1，解得 a2. 因为 p 为真命题是 q 为真命题的充分不必要条件， 所以 m2. 18.(12 分)已知函数 f(x) 3sin 3xacos 3xa，且 f 2 9 3. (1)求

14、 a 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解 (1)因为 f 2 9 3， 所以 3sin 32 9 acos 32 9 a3， 所以3 2 a 2a3，即 3 2 3 2a3，解得 a1. (2)由(1)可得 f(x) 3sin 3xcos 3x1 2sin 3x 6 1， 则 f(x)的最小正周期为 T2 3 . 令 2k 23x 62k 2，kZ， 解得2k 3 9x 2k 3 2 9 ，kZ， 故 f(x)的单调递增区间为 2k 3 9， 2k 3 2 9 ，kZ. 19.(12 分)已知函数 f(x)axb 1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f 1 2 2

15、5. (1)试求函数 f(x)的解析式； (2)证明函数在定义域内是增函数. (1)解 由 f(0)0 得 b0， 由 f 1 2 2 5得 a1， 所以 f(x) x 1x2. (2)证明 任取 x1，x2(1,1)，x1x2， f(x1)f(x2) x1 1x21 x2 1x22 x11x22x21x21 1x211x22 x1x2x1x2x2x1 1x211x22 x1x21x1x2 1x211x22 ， 1x1x21，x1x20， x1x20， f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0，a1)，其中 a，b 均为实数. (1)若函数 f(x)的图象经过点 A(0,2)，B(1,3)，求

16、函数 y 1 fx的值域； (2)如果函数 f(x)的定义域和值域都是1,1，求 ab 的值. 解 (1)函数 f(x)的图象经过点 A(0,2)，B(1,3)， 所以 a0b2， a1b3， 解得 a2 b1， 所以 f(x)2x1， 因为 2x0,2x11，即 f(x)1，所以 y 1 fx(0,1)， 故 y 1 fx的值域为(0,1). (2)利用指数函数的单调性建立关于 a，b 的方程组求解. 当 a1 时，函数 f(x)axb 在1,1上单调递增， 由题意得 a 1b1， ab1， 解得 a 21， b 2， ab1， 当 0a1 时，函数 f(x)axb 在1,1上单调递减， 由

17、题意得 a 1b1， ab1， 解得 a 21， b 2， ab1. 综上，ab 1. 21. (12 分)如图，在半径为 3，圆心角为 60 的扇形的弧上任取一点 P，作扇形的内接矩形 PNMQ，使点 Q 在 OA 上，点 N，M 在 OB 上，设矩形 PNMQ 的面积为 y. (1)按下列要求写出函数的关系式： 设 PNx，将 y 表示成 x 的函数关系式； 设POB，将 y 表示成 的函数关系式； (2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出 y 的最大值. 解 (1)因为 QMPNx，所以 MNONOM 3x2 x 3， 所以 yMN PNx 3x2 3 3 x2 0x3 2 . 当P

18、OB 时，QMPN 3sin ，则 OMsin ， 又 ON 3cos ， 所以 MNONOM 3cos sin ， 所以 yMN PN3sin cos 3sin2 00 时，关于 x 的方程 f 8log4x22log21 x 4 m4 1 在区间1,2 2上恰有两个不同的实数解，求 m 的取值范围. 解 (1)f(x)log2(4x1)mx，f(x)log2(4 x1)mx，f(x)f(x)， 即 log2(4x1)mxlog2(4 x1)mx， 化简得到 2x2mx，m1. (2)m0，函数 f(x)log2(4x1)mx 单调递增，且 f(0)1， f 8log4x22log2 1 x 4 m4 1f(0)， 故 8(log4x)22log2 1 x 4 m40， 设 log2xt，t 0，3 2 ，即2t22t44 m，画出 y2t 22t4 的图象，如图所示， 根据图象知 44 m 9 2，解得 8 9m1，即 m 8 9，1 .