1.1.2 空间向量的数量积运算 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册
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1、1 11.21.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 学习目标 1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算 方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 知识点一 空间向量的夹角 1定义:已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA a,OB b,则AOB 叫做 向量 a,b 的夹角,记作a,b 2范围:0a,b. 特别地,当a,b 2时,a b. 思考 当a,b0 和a,b 时,向量 a 与 b 有什么关系? 答案 当a,b0 时,a 与 b 同向;当a,b 时,a 与 b 反向 知识点二 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a,
2、b,则|a|b|cos a,b叫做 a,b 的数量积,记作 a b. 即 a b|a|b|cosa,b 规定:零向量与任何向量的数量积都为 0. 性质 aba b0 a aa2|a|2 运算律 (a) b(a b),R. a bb a(交换律) a (bc)a ba c(分配律). 思考 1 向量的数量积运算是否满足结合律? 答案 不满足结合律,(a b) ca (b c)是错误的 思考 2 对于向量 a,b,若 a bk,能否写成 ak b 或bk a ? 答案 不能,向量没有除法 知识点三 向量 a 的投影 1如图(1),在空间,向量 a 向向量 b 投影,由于它们是自由向量,因此可以先将
3、它们平移 到同一个平面 内, 进而利用平面上向量的投影, 得到与向量 b 共线的向量 c, c|a|cos a, bb |b|,向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量类似地,可以将向量 a 向直线 l 投影(如图 (2) 2如图(3),向量 a 向平面 投影,就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 的垂线, 垂足分别为 A, B, 得到AB , 向量AB 称为向量 a 在平面 上的投影向量 这时, 向量 a,AB 的夹角就是向量 a 所在直线与平面 所成的角 1向量AB 与CD 的夹角等于向量AB 与DC 的夹角( ) 2若 a b0,则 a0 或 b0.( ) 3对于非
4、零向量 b,由 a bb c,可得 ac.( ) 4若非零向量 a,b 为共线且同向的向量,则 a b|a|b|.( ) 一、数量积的计算 例 1 如图所示,在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,求: (1)EF BA; (2)EF BD ; (3)EF DC ; (4)AB CD . 解 (1)EF BA1 2BD BA 1 2|BD |BA | cosBD ,BA 1 2cos 60 1 4. (2)EF BD 1 2BD BD 1 2|BD |21 2. (3)EF DC 1 2BD DC 1 2|BD | |DC |cosBD ,DC 1 2cos
5、 120 1 4. (4)AB CD AB (AD AC ) AB AD AB AC |AB |AD |cosAB ,AD |AB |AC|cosAB,AC cos 60 cos 60 0. 反思感悟 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积 (3)代入 a b|a|b|cosa,b求解 跟踪训练 1 (1) 已知 a3p2q, bpq, p 和 q 是相互垂直的单位向量, 则 a b 等于( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 pq 且|p|q|1,a b(3p2q) (pq)3p2
6、p q2q23021. (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE BD _. 答案 2 解析 AE AD DE AD 1 2AB ,BD AD AB , AE BD AD 1 2AB (AD AB )AD2 AD AB 1 2AB AD 1 2AB 240022. 二、利用数量积证明垂直问题 例 2 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1的中点, 求证:A1O平面 GBD. 证明 设A1B1 a,A 1D1 b,A1A c, 则 a b0,b c0,a c0,|a|b|c|. A1O A 1A AO A1A
7、1 2(AB AD ) c1 2a 1 2b, BD AD AB ba, OG OC CG 1 2(AB AD )1 2CC1 1 2a 1 2b 1 2c, A1O BD c1 2a 1 2b (ba) c bc a1 2a b 1 2a 21 2b 21 2b a 1 2(b 2a2) 1 2(|b| 2|a|2)0. 于是A1O BD ,即 A1OBD. 同理可证A1O OG ,即 A1OOG. 又OGBDO,OG平面 GBD,BD平面 GBD, A1O平面 GBD. 反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直,可分别构造与两直线平行的向量,只要证明这两个向量的
8、数量积为 0 即 可 (2)用向量法证明线面垂直,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量数量积证明线线垂 直即可 跟踪训练 2 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,DAB60 , AB2AD,PD底面 ABCD.求证:PABD. 证明 在ADB 中,DAB60 ,AB2AD, 由余弦定理得,BD 3AD, 所以 AD2BD2AB2, 所以 DABD,则BD DA 0. 由 PD底面 ABCD,知 PDBD,则BD PD 0. 又PA PD DA , 所以PA BD (PD DA ) BD PD BD DA BD 0,即 PABD. 三、用数量积求解夹角和模 例
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