1.2(第1课时)空间向量基本定理 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册
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1、1.21.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 第第 1 1 课时课时 空间向量基本定理空间向量基本定理 学习目标 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 . 知识点一 空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p,存在唯一的有序实数组(x,y, z),使得 pxaybzc. 我们把a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c 都叫做基向量 思考 零向量能否作为基向量? 答案 不能. 零向量与任意两个向量 a,b 都共面 知识点二 空间向量的正交分解 1单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是 1,那么这个基底
2、叫做单位正交 基底 ,常用i,j,k表示 2向量的正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间任一向量 a,均可以分解为三个向量 xi,yj,zk 使得 axi yjzk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量, 叫做把空间向量进行正交分解 1只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底( ) 2若a,b,c为空间的一个基底,则 a,b,c 全不是零向量( ) 3如果向量 a,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有 a 与 b 共线( ) 4对于三个不共面向量 a1,a2,a3,不存在实数组(x,y,z),使 0 xa1ya2za3.( ) 一、空间的基底 例 1 已知e1,e2
3、,e3是空间的一个基底,且OA e12e2e3,OB 3e1e22e3,OC e1e2e3,试判断OA ,OB ,OC 能否作为空间的一个基底 解 假设OA ,OB ,OC 共面 则存在实数 , 使得OA OB OC , e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3) (3)e1()e2(2)e3, e1,e2,e3不共面, 31, 2, 21 此方程组无解, OA ,OB ,OC 不共面, OA ,OB ,OC 可以作为空间的一个基底 反思感悟 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就 可以作为一个基底 (2)判断基底时,常常依
4、托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶 点出发的三条棱对应的向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断 跟踪训练 1 (1)设 xab,ybc,zca,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列 向量组:a,b,x,b,c,z,x,y,abc,其中可以作为空间一个基底的向 量组有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 答案 B 解析 因为 xab,所以向量 x,a,b 共面 如图, 令 aAB ,bAA 1 ,cAD ,则 xAB1 ,yAD1 ,zAC , abcAC1 . 可知向量 b,c,z 和 x,y,abc 不共面,故选 B. (2)已知空间的一个基
5、底a,b,c,mabc,nxaybc,若 m 与 n 共线,则 xy _. 答案 0 解析 因为 m 与 n 共线,所以 xaybcz(abc) 所以 xz, yz, 1z. 所以 x1, y1. 所以 xy0. 二、空间向量基本定理 例 2 如图,在三棱柱 ABC ABC中,已知AA a,ABb,ACc,点 M,N 分别 是 BC,BC的中点,试用基底a,b,c表示向量AM ,AN . 解 连接 AN(图略) AM AB 1 2BC AB1 2(BC CC ) AB 1 2BC 1 2CC AB1 2(AC AB)1 2AA 1 2AB 1 2AC 1 2AA 1 2(abc) AN AA
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