1.3.1 空间直角坐标系 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册
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1、1.31.3 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 1 13.13.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标 知识点一 空间直角坐标系 1空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系:在空间选定一点 O 和一个单位正交基底i,j,k ,以 O 为原点,分别 以 i,j,k 的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们 都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. (2)相关概念:O 叫做原点,i,j,k 都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平
2、 面,分别称为 Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面,它们把空间分成八个部分 2右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指 向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系 思考 空间直角坐标系有什么作用? 答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化,将空间位置关系解析化 知识点二 空间一点的坐标 在空间直角坐标系 Oxyz 中,i,j,k 为坐标向量,对空间任意一点 A,对应一个向量OA ,且 点 A 的位置由向量OA 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 OA xiyjzk.在单
3、位正交基底 i,j,k下与向量 OA 对应的有序实数组(x,y,z)叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 A(x,y,z),其中 x 叫做点 A 的横坐标,y 叫做点 A 的 纵坐标,z 叫做点 A 的竖坐标 思考 空间直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有何特征? 答案 x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为 0,即(x,0,0) y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为 0,即(0,y,0) z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为 0,即(0,0,z) 知识点三 空间向量的坐标 在空间直角坐标系 Oxyz 中,给定向量 a,作OA a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实 数组(x,y,z),使 axiy
4、jzk.有序实数组(x,y,z)叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐 标,上式可简记作 a(x,y,z) 思考 空间向量的坐标和点的坐标有什么关系? 答案 点 A 在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,z),那么向量 OA 的坐标也为(x,y,z) 1空间直角坐标系中,在 x 轴上的点的坐标一定是(0,b,c)的形式( ) 2空间直角坐标系中,在 xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式( ) 3关于坐标平面 yOz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变,横坐标相反( ) 一、求空间点的坐标 例 1 (1)画一个正方体 ABCDA1B1C1D1,若以 A 为坐标原点,以棱 AB,A
5、D,AA1所在的直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系,则 顶点 A,C 的坐标分别为_; 棱 C1C 中点的坐标为_; 正方形 AA1B1B 对角线的交点的坐标为_ 答案 (0,0,0),(1,1,0) 1,1,1 2 1 2,0, 1 2 (2)已知正四棱锥 PABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立适当的空间直角坐标系, 写出各顶点的坐标 解 正四棱锥 PABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10, 正四棱锥的高为 2 23. 以正四棱锥的底面中心为原点,平行于 BC,AB 所在的直线分别为 x 轴、y 轴,垂直于平面 ABCD 的直
6、线为 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2, 2,0), B(2,2,0), C(2,2,0), D(2, 2,0), P(0,0,2 23) 答案不唯一 反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面 充分利用几何图形的对称性 (2)求某点 M 的坐标的方法 作 MM垂直平面 xOy,垂足 M,求 M的横坐标 x,纵坐标 y,即点 M 的横坐标 x,纵坐 标 y, 再求 M 点在 z 轴上射影的竖坐标 z, 即为 M 点的竖坐标 z, 于是得到 M 点的坐标(x, y, z) 跟踪训练 1 在棱长为 1 的正方体 AB
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