1.4.1(第1课时)空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习(含答案)
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1、1.41.4 空间向量的应用空间向量的应用 1 14.14.1 用空间向量研究直线用空间向量研究直线、平面的位置关系平面的位置关系 第第 1 1 课时课时 空间中点空间中点、直线和平面的向量表示直线和平面的向量表示 1已知向量 a(2, 1,3)和 b(4,2x2,6x)都是直线 l 的方向向量,则 x 的值是( ) A1 B1 或1 C3 D1 答案 A 解析 由题意得 ab,所以 2x22, 6x6, 解得 x1. 2已知平面 的一个法向量是(2,1,1),则下列向量可作为平面 的一个法向 量的是( ) A. (4,2,2) B. (2,0,4) C. (2,1,5) D. (4,2,2)
2、 答案 D 解析 , 的法向量与 的法向量平行, 又(4,2,2)2(2,1,1),故选 D. 3在菱形 ABCD 中,若PA 是平面 ABCD 的法向量,则以下等式中可能不成立的是( ) A.PA AB B.PC BD C.PC AB D.PA CD 答案 C 解析 PA平面 ABCD, BDPA. 又 ACBD, BD平面 PAC, PCBD. 故选项 B 成立,选项 A 和 D 显然成立故选 C. 4已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个法向量是( ) A(1,1,1) B(1,1,1) C(1,1,1) D(1,1,1) 答案 D 解析 AB
3、 (1,1,0),AC(1,0,1) 设平面 ABC 的法向量为 n(x,y,z),则有 xy0, xz0, 取 x1,则 y1,z1. 故平面 ABC 的一个法向量是(1,1,1) 5(多选)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCDA1B1C1D1是棱长为 1 的正方体,下列结 论正确的是( ) A平面 ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) B平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1) C平面 B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D平面 ABC1D1的一个法向量为(0,1,1) 答案 AC 解析 AD (0,1,0),ABAD,AA1AD,又 ABAA1A, AD平面 ABB1A1,
4、A 正确; CD (1,0,0),而(1,1,1) CD 10, (1,1,1)不是平面 B1CD 的法向量, B 不正确; B1C (0,1,1),CD 1 (1,0,1),(1,1,1) B 1C 0,(1,1,1) CD 1 0,B 1CCD1C, (1,1,1)是平面 B1CD1的一个法向量,C 正确; BC1 (0,1,1),而BC 1 (0,1,1)20, (0,1,1)不是平面 ABC1D1的法向量,即 D 不正确 6已知平面 ABC,且 A(1,2,1),B(2,0,1),C(3,2,1),则平面 ABC 的一个法向量为 _ 答案 (2,1,0)(答案不唯一) 解析 AB (1
5、,2,0),AC(2,4,2), 设平面 ABC 的法向量为 n(x,y,z), 则 x2y0, 2x4y2z0, 令 y1,得 x2,z0, 故平面 ABC 的一个法向量为 n(2,1,0) 7在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点 Q(cos x,1,3),其中 x0,若直线 OP 与直线 OQ 垂直,则 x 的值为_ 答案 2或 3 解析 由 OPOQ,得OP OQ 0, 即(2cos x1) cos x(2cos 2x2) (1)0. cos x0 或 cos x1 2. x0, x 2或 x 3. 8.在如图所示的坐标系中,ABCDA1
6、B1C1D1表示棱长为 1 的正方体,给出下列结论: 直线 DD1的一个方向向量为(0,0,1);直线 BC1的一个方向向量为(0,1,1);平面 ABB1A1 的一个法向量为(0,1,0);平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1) 其中正确的是_(填序号) 答案 解析 DD1 AA 1 (0,0,1), 故正确; BC 1 AD 1 (0,1,1), 故正确; 直线 AD平面 ABB 1A1, AD (0,1,0),故正确;向量AC1 的坐标为(1,1,1),与平面 B 1CD 不垂直,错 9已知 A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2, 2) (1)写出直线 BC 的一个方向向
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