1.4.2(第2课时)夹角问题 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册
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1、第第 2 2 课时课时 夹角问题夹角问题 学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线 面角、面面角的关系 知识点一 两个平面的夹角 平面 与平面 的夹角:平面 与平面 相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不 大于 90 的二面角称为平面 与平面 的夹角 知识点二 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直 线所成的角 设两异面直线 l1,l2 所成的角为 ,其方向向量 分别为 u,v,则 cos |cosu,v| |u v| |u|v| 0, 2 直线与平面 所成的角 设直线 AB 与平面 所成的角为 ,直线 AB 的 方向向量为
2、 u,平面 的法向量为 n,则 sin |cos u,n|u n| |u|n| 0, 2 两个平面的 夹角 设平面 与平面 的夹角为 ,平面 , 的法 向量分别为 n1,n2,则 cos |cos n1,n2| |n1 n2| |n1|n2| 0, 2 1.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N 分别是 CD,CC1的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案 D 解析 以 D 为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系, 设正方体棱长为 1, 则A1M 1,1 2,1 ,DN 0,1,1 2 ,cos
3、A1M ,DN |A1M DN | |A1M |DN | 0. A1M ,DN 2. 2已知向量 m,n 分别是直线 l 与平面 的方向向量、法向量,若 cosm,n 3 2 ,则 l 与 所成的角为( ) A30 B60 C150 D120 答案 B 解析 设 l 与 所成的角为 ,则 sin |cosm,n| 3 2 ,60 ,故选 B. 3已知平面 的法向量 u(1,0,1),平面 的法向量 v(0,1,1),则平面 与 的夹 角为_ 答案 3 解析 cosu,v 1 2 2 1 2,u,v 2 3, 平面 与 的夹角是 3. 4在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(1,2,0),B
4、(2,1, 6),则向量AB 与平面 xOz 的法向 量的夹角的正弦值为_ 答案 7 4 解析 设平面 xOz 的法向量为 n(0,1, 0) ,AB (1,3, 6), 所以 cosn,AB n AB |n| |AB | 3 4 , 所以 sinn,AB 1 3 4 2 7 4 . 故向量AB 与平面 xOz 的法向量的夹角的正弦值为7 4 . 一、两条异面直线所成的角 例 1 如图,在三棱柱 OABO1A1B1中,平面 OBB1O1平面 OAB,O1OB60 ,AOB 90 ,且 OBOO12,OA 3,求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值 解 以 O 为坐标原点,OA ,OB 的
5、方向为 x 轴,y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系, 则 O(0,0,0),O1(0,1, 3),A( 3,0,0),A1( 3,1, 3),B(0,2,0), A1B ( 3,1, 3),O 1A ( 3,1, 3) |cosA1B ,O1A |A1B O1A | |A1B |O1A | | 3,1, 3 3,1, 3| 7 7 1 7. 异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值为1 7. 反思感悟 求异面直线夹角的方法 (1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解 (2)向量法:在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A,B 和 C,D,则AB 与CD 可分
6、别为 a,b 的方 向向量,则 cos |AB CD | |AB |CD | . 跟踪训练 1 如图所示, 在正方体 ABCDA1B1C1D1中, 已知 M, N 分别是 BD 和 AD 的中点, 则 B1M 与 D1N 所成角的余弦值为( ) A. 30 10 B. 30 15 C. 30 30 D. 15 15 答案 A 解析 建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 2, 则 B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0), B1M (1,1,2), D1N (1,0,2), cosB1M ,D 1N 14 114 14 30 10 . 二、直线与平面
7、所成的角 例 2 如图所示,三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ABAC,PAAC1 2AB,N 为 AB 上 一点,AB4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点 (1)证明:CMSN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 (1)证明 设 PA1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空 间直角坐标系(如图) 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0), 又 AN1 4AB,M,S 分别为 PB,BC 的中点, N 1 2,0,0 ,M 1,0,1 2 ,S 1,1 2,0 , CM 1,1,1 2 ,SN 1 2, 1
8、2,0 , CM SN 1,1,1 2 1 2, 1 2,0 0, CM SN , 因此 CMSN. (2)解 由(1)知,NC 1 2,1,0 , 设 a(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量, CM a0,NC a0. 则 xy1 2z0, 1 2xy0. x2y, z2y. 取 y1,得 a(2,1,2) 设 SN 与平面 CMN 所成的角为 , sin |cosa,SN | 11 2 3 2 2 2 2 . SN 与平面 CMN 所成角为 4. 反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系 (2)求直线的方向向量 u. (3)求平面的法向量 n.
9、(4)设线面角为 ,则 sin |u n| |u|n| . 跟踪训练 2 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABACAA12,BAC90 ,E,F 依 次为 C1C,BC 的中点求 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值 解 以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0), 所以A1B (2,0,2),AE(0,2,1),AF(1,1,0) 设平面 AEF 的一个法向量为 n(a,b,c), 由 n AE 0, n AF 0, 得 2bc0, ab0, 令 a1 可得 n(1,1,2) 设 A
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