2.3反证法与放缩法 学案（含答案）

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1、三三 反证法与放缩法反证法与放缩法 学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2. 理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式 知识点一 反证法 思考 什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？ 答案 (1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的 (2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾 梳理 反证法 (1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、 定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显 成立的事实等)矛盾的结论，

2、以说明假设不正确，从而证明原命题成立 (2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾 以说明假设不成立，从而断定原命题成立 知识点二 放缩法 思考 放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？ 答案 不等式的传递性；等量加(减)不等量为不等量 梳理 放缩法 (1)放缩法证明的定义 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的 目的这种方法称为放缩法 (2)放缩法的理论依据 不等式的传递性 等量加(减)不等量为不等量 同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较 类型一 反证法证明不等式 命题角度1 证明“否定

3、性”结论 例 1 设 a0，b0，且 ab1 a 1 b，证明： (1)ab2；(2)a2a2 与 b2b2 不可能同时成立 证明 由 ab1 a 1 b ab ab ，a0，b0，得 ab1. (1)由基本不等式及 ab1 可知，ab2 ab2， 即 ab2，当且仅当 ab1 时等号成立 (2)假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由 a2a2 及 a0，得 0a1；同理，0b 1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b2 不可能同时成立 反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时， 常用反证法来证明， 对结论的否定要全 面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、

4、已知条件、假设矛盾 跟踪训练 1 设 0a2,0b2,0c2， 求证：(2a) c，(2b) a，(2c) b 不可能都大于 1. 证明 假设(2a) c，(2b) a，(2c) b 都大于 1， 即(2a) c1，(2b) a1，(2c) b1， 则(2a) c (2b) a (2c) b1， (2a)(2b)(2c) abc1. 0a2,0b2,0c2， (2a) a 2aa 2 21， 同理(2b) b1，(2c) c1， (2a) a (2b) b (2c) c1， (2a)(2b)(2c) abc1，这与式矛盾 (2a) c，(2b) a，(2c) b 不可能都大于 1. 命题角度2

5、 证明“至少”“至多”型问题 例 2 已知 f(x)x2pxq， 求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2. 证明 (1)f(1)f(3)2f(2) (1pq)(93pq)2(42pq)2. (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于1 2， 则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2， 而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，矛盾， |f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2. 反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难

6、以 找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明 (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因 此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾 跟踪训练 2 若 a，b，c 均为实数，且 ax22y 2， by22z 3，cz 22x 6，求证：a，b，c 中至少有一个大于零 证明 假设 a，b，c 都不大于 0，即 a0，b0，c0， 则 abc0，而 abcx22y 2y 22z 3z 22x 6(x1) 2(y1)2(z1)2 3， 30，且(x1)2(y1)2(z1)20， abc0，这与 abc0 矛盾，因此假设不成立 a，b，c 中至少

7、有一个大于 0. 类型二 放缩法证明不等式 例 3 已知实数 x，y，z 不全为零，求证： x2xyy2 y2yzz2 z2zxx23 2(xyz) 证明 x2xyy2 xy 2 23 4y 2 xy 2 2 xy 2 xy 2. 同理可得 y2yzz2yz 2， z2zxx2zx 2. 由于 x，y，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得 x2xyy2 y2yzz2 z2zxx2 xy 2 yz 2 zx 2 3 2(xyz) 反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式， 要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)， 谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩

8、都会导致推证的失败 (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中 一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大 或较小的数，从而达到证明不等式的目的 跟踪训练 3 求证：3 2 1 n11 1 22 1 n22 1 n(nN且 n2) 证明 k(k1)k2k(k1)(kN且 k2)， 1 kk1 1 k2 1 kk1， 即1 k 1 k1 1 k2 1 k1 1 k(kN且 k2) 分别令 k2,3，n，得 1 2 1 3 1 221 1 2， 1 3 1 4 1 32 1 2 1 3， 1 n 1 n1 1 n2 1

9、n1 1 n， 将这些不等式相加，得 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 1 22 1 32 1 n21 1 2 1 2 1 3 1 n1 1 n， 即1 2 1 n1 1 22 1 32 1 n21 1 n， 11 2 1 n11 1 22 1 32 1 n211 1 n， 即3 2 1 n11 1 22 1 32 1 n22 1 n(nN且 n2)成立. 1用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是( ) A. 1 ax 1 a B.b a bm am Cx2x3x23 D|a1|a|1 答案 D 解析 对于 A，x 的正、负不定；对于 B，m 的正、负不定；对于 C，x 的正、

10、负不定；对 于 D，由绝对值三角不等式知，D 正确 2用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”时，其假设为( ) Aa，b，c 全不为 0 Ba，b，c 至少有一个为 0 Ca，b，c 至少有一个不为 0 Da，b，c 至多有一个不为 0 答案 C 3如果 a ab ba bb a，则实数 a，b 应满足的条件是_ 答案 a0，b0，ab 解析 由 a及 b知 a0，b0， 又 a ab ba bb a， 即( a b)2( a b)0. ab， a0，b0，ab. 4已知 0a3,0b3,0c3.求证：a(3b)，b(3c)，c(3a)不可能都大于9 2. 证明 假设 a(3b)9 2，b(

11、3c) 9 2，c(3a) 9 2. 因为 a，b，c 均为小于 3 的正数， 所以 a3b 9 2， b3c 9 2， c3a 9 2， 从而有 a3b b3c c3a9 2 2. 但是 a3b b3c c3aa3b 2 b3c 2 c3a 2 9abcabc 2 9 2. 当且仅当 abc3 2时，中取等号 显然与相矛盾，假设不成立，故命题得证 1常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设 常见词语 至少有 一个 至多有 一个 唯一一个 不是 不可能 全 都是 否定假设 一个也 没有 有两个 或两个 以上 没有或有 两个或两 个以上 是 有或 存在 不全 不都是 2.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项 (2)在分式中增大或减小分子或分母 (3)应用重要不等式放缩，如 a2b22ab， abab 2 ，ab ab 2 2，abc 3 3abc(a，b， c0) (4)利用函数的单调性等