1.2(第1课时)绝对值三角不等式 学案(含答案)
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1、二二 绝对值不等式绝对值不等式 第第 1 课时课时 绝对值三角不等式绝对值三角不等式 学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理 1)及其几何解 释,理解多个实数的绝对值不等式(定理 2).3.会用定理 1、定理 2 解决简单的绝对值不等式问 题 知识点 绝对值三角不等式 思考 1 实数 a 的绝对值|a|的几何意义是什么? 答案 |a|表示数轴上以 a 为坐标的点 A 到原点的距离 思考 2 代数式|x2|x3|的几何意义是什么? 答案 表示数轴上的点 x 到点2,3 的距离之和 梳理 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|ab|a|b|,当且仅当 ab0
2、 时,等号成立 几何解释:用向量 a,b 分别替换 a,b. 当 a 与 b 不共线时,有|ab|a|b|,其几何意义为两边之和大于第三边; 若 a,b 共线,当 a 与 b 同向时,|ab|a|b|,当 a 与 b 反向时,|ab|a|b|; 由于定理 1 与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式 定理 1 的推广:如果 a,b 是实数,那么|a|b|a b|a|b|. (2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|ac|ab|bc|. 当且仅当(ab)(bc)0 时,等号成立 几何解释:在数轴上,a,b,c 所对应的点分别为 A,B,C, 当点 B 在点 A,C 之间时,|
3、ac|ab|bc|. 当点 B 不在点 A,C 之间时: 点 B 在 A 或 C 上时,|ac|ab|bc|; 点 B 不在 A,C 上时,|ac|ab|bc|. 应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值 类型一 含绝对值不等式的证明 例 1 设函数 f(x)x22x,实数 a 满足|xa|1. 求证:|f(x)f(a)|2|a|3. 证明 f(x)x22x,且|xa|1, |f(x)f(a)|x22xa22a| |(xa)(xa)2(xa)| |(xa)(xa2)|xa| |xa2| |xa2|(xa)(2a2)| |xa|2a2|1|2a|2|2|a|3, |f(x)f(a)|2|a
4、|3. 反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式, 往往可通过平方法、 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明, 或利用|a|b|a b|a|b|,通过适当的添、拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情 况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 跟踪训练 1 已知|Aa|s 3,|Bb| s 3,|Cc| s 3,求证:|(ABC)(abc)|s. 证明 |(ABC)(abc)| |(Aa)(Bb)(Cc)| |(Aa)(Bb)|Cc| |Aa|Bb|Cc|, 又|Aa|s 3,|Bb| s 3,|Cc|
5、 s 3, |Aa|Bb|Cc|s 3 s 3 s 3s, |(ABC)(abc)|s. 类型二 利用绝对值三角不等式求最值 例 2 (1)求函数 y|x3|x1|的最大值和最小值; (2)如果关于 x 的不等式|x3|x4|a 的解集为空集,求参数 a 的取值范围 解 (1)方法一 |x3|x1|(x3)(x1)|4, 4|x3|x1|4,ymax4,ymin4. 方法二 把函数看作分段函数, y|x3|x1| 4,x1, 22x,1x3, 4,x3. 4y4,ymax4,ymin4. (2)只要 a 不大于|x3|x4|的最小值, 则|x3|x4|a 的解集为空集, 而|x3|x4|x3|
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