1.3(第1课时)圆的极坐标方程 学案(含答案)
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1、三三 简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程 第第 1 课时课时 圆的极坐标方程圆的极坐标方程 学习目标 1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线 的有关性质 知识点一 曲线的极坐标方程 (1)在极坐标系中,如果曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(,)0,并且 坐标适合方程 f(, )0 的点都在曲线 C 上, 那么方程 f(, )0 叫做曲线 C 的极坐标方程 (2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤 建立适当的极坐标系,设 P(,)是曲线上任意一点; 列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式; 将列出的关系式整理、化简; 证明所得方程
2、就是曲线的极坐标方程 知识点二 圆的极坐标方程 思考 1 在极坐标系中,点 M(,)的轨迹方程中一定含有 或 吗? 答案 不一定 思考 2 圆心在极点,半径为 2 的圆的极坐标方程是什么? 答案 2. 梳理 圆的极坐标方程 圆心位置 极坐标方程 图形 圆心在极点(0,0) r(02) 圆心在点(r,0) 2rcos 2 2 圆心在点 r, 2 2rsin (0) 圆心在点(r,) 2rcos 2 3 2 圆心在点 r,3 2 2rsin (0) 类型一 求圆的极坐标方程 例 1 求圆心在(0,0),半径为 r 的圆的方程 解 在圆周上任取一点 P(如图), 设其极坐标为(,), 由余弦定理知,
3、 CP2OP2OC22OP OCcosCOP, 故其极坐标方程为 r220220cos(0) 引申探究 若圆心在(3,0),半径 r2,求圆的极坐标方程 解 设 P(,)为圆上任意一点, 则|CP|2|OP|2|OC|22|OP| |OC| cos COP, 22296cos , 即 26cos 5. 当 O,P,C 共线时此方程也成立 反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤 (1)设圆上任意一点的极坐标为 M(,) (2)在极点、 圆心与 M 构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程 f(, )0 并化 简 (3)验证极点、圆心与 M 三点共线时,点 M(,)的极坐标也适合上述极坐标方程
4、 跟踪训练1 在极坐标系中, 已知圆 C 的圆心为C 3, 6 , 半径为 r3.求圆 C的极坐标方程 解 设 M(,)为圆 C 上任一点, 易知极点 O 在圆 C 上,设 OM 的中点为 N, OCM 为等腰三角形, 则|ON|OC|cos 6 , |OM|23cos 6 , 则 6cos 6 即为圆 C 的极坐标方程 类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 命题角度 1 直角坐标方程化极坐标方程 例 2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1)x2y21; (2)x2y24x40; (3)x2y22x2y20. 解 把 xcos , ysin 代入方程化简, (1)(cos )2(sin
5、)21,21,即 1. (2)(cos )2(sin )24cos 40, 24cos 40. (3)(cos )2(sin )22cos 2sin 20. 22(cos sin )20, 22 2sin 4 20. 反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时,要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的,即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横 轴的正半轴重合,两种坐标系的单位长度相同 (2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是惟一的,但这里约定只在 02 范围内求值 跟踪训练 2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1)y24x;(2)x2y22x10. 解 (1)将 xcos ,ysin
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