陕西省西安市碑林区西北工大附中2020年中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2020 年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分每小题只有一个选项是符合题意的）分每小题只有一个选项是符合题意的） 1 （3 分）的绝对值是（ ） A2 B C D2 2 （3 分）如图所示几何体的左视图是（ ） A B C D 3 （3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） A （3a2）26a4 Ba12a3a9 C2a+3a5a2 D （a+b）2a2+b2 4 （3 分） 如图， 已知在ABC 中， C90， BE 平分ABC， 且 BEA

2、D， BAD20， 则AEB 的度数为（ ） A100 B110 C120 D130 5 （3 分）若一个正比例函数的图象经过点（3，6） 则下列各点在该正比例函数图象上 的是（ ） A （1，2） B （1，2） C （2，9） D （2，9） 6 （3 分）如图，在ABC 中，C80，BAC60，AD 平分BAC，将ACD 沿 AD 折叠，使点 C 与 AB 上的点 E 重合，若 CD4，则 BE 的长为（ ） A3 B4 C4 D3 7 （3 分）已知一次函数 y2x+4 的图象沿着 x 轴或 y 轴平移 m 个单位长度得到的图象与 原图象关于原点对称，则 m 的值可能为（ ） A5 B

3、6 C7 D8 8 （3 分）如图，已知边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AB、CD 的中点，连接 AC，点 G、H 在 AC 上，且 AC4AG4CH，则四边形 EHFG 的面积为（ ） A8 B4 C D 9 （3 分）如图，已知ABC 是圆 O 的内接三角形，ABAC，ACB65，点 C 是弧 BD 的中点，连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A12 B15 C18 D20 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c，其中 y 与 x 的部分对应值如表： x 2 1 0.5 1.5 y 5 0 3.75 3.75 下列结论正确的是（ ） Aabc0 B4a+

4、2b+c0 C若 x1 或 x3 时，y0 D方程 ax2+bx+c5 的解为 x12，x23 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）已知在实数2，中，最小的一个数是 12 （3 分）已知正六边形的边长为 6，那么边心距等于 13 （3 分）如图，点 D 是菱形 AOCB 的对称中心，点 A 坐标为（3，4） ，若反比例函数的 图象经过点 D，则反比例函数表达式为 14 （3 分）如图，已知在四边形 ABCD 中，ABC60，连接 AC、BD 交于点 E，EC 2AE4，若 BE2ED，则 BD 的最大值为 三、解答题（共

5、三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分解答应写出必要的过程）分解答应写出必要的过程） 15 （5 分）计算：|sin30|+（） 1 16 （5 分）解方程：1 17 （5 分）如图，已知ABC 中，ACB90，请作ABC 的外接圆 （保面作图痕迹， 不写作法） 18 （5 分）如图，点 P 为菱形 ABCD 对角线 BD 上一点，连接 PA、PC点 E 在边 AD 上， 且AEPDCP 求证：PCPE 19 （7 分）为发展学生的核心索养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课程： 乐器、舞蹈、绘画、书法学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生 必须选择且只能选择

6、其中一门） 对调查结果进行整理， 绘制成如下两幅不完整的统计图， 请结合图中所给信息解答下列问题 学生选修课程统计图： （1）补全条形统计图，补全扇形统计图中乐器所占的百分比 （2）本次调查学生选修课程的“众数”是 （3）若该校有 1600 名学生，请你估计选修绘画的学生大概有多少名？ 20 （7 分）小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆 AB 的高度小 明站在点D处利用测倾器测得旗杄顶端A的仰角为45， 小华在BD之间放置一个镜子， 并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点 E 处时，位于点 D 处的小明正好在镜子中看到旗 杆顶端 A，此时 DE 的距离为 1.4 米，已知测倾

7、器的高为 1.75 米请你根据以上信息，计 算旗杆 AB 的高度 21 （7 分）某弹簧在所挂物体质量不超过 25kg 时弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x （kg）之间近似的满足一次函数关系经实验可知：当所挂物体的质量为 10kg 时，弹簧 的长度为 17cm；当所挂物体的质量为 20kg 时，弹簧的长度为 19cm （1）求 y 与 x 之间的函数表达式及该弹簧不挂物体时的长度； （2）若弹簧挂上一个物体后，弹簧长度为 16cm，求这个物体的质量 22 （7 分）图是一个转盘，转盘被等分成三个区域，并分别标有数字 2、3、7，图是 一个正五边形棋盘，现通过转动转盘的方式玩跳棋游戏规

8、则如下：将转盘转动后，看 转盘指针指向的数字是几，就从图中的 A 点开始在正五边形边上沿着顺时针方向连续 跳过几个边 （指针指向边界不计） ， 第二次从第一次的终点处开始， 按第一次的方法跳动 （1）随机转动一次转盘，则棋子跳动到点 C 处的概率是 ； （2）随机转动两次转盘，用画树状图或列表的方法求棋子最终跳动到点 A 处的概率 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延 长线于点 D过点 D 作 DEAD 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DCDE； （2）若 DE6，tanCDA，求 AD 的长 24 （10 分）已知抛物线

9、 L：yx2+bx+c 经过点（1，15）和（0，8） ，顶点为 M，抛物线 L 关于原点 O 对称的抛物线为 L，点 M 的对应点为点 N （1）求抛物线 L 的表达式及点 M 的坐标； （2）点 P 在抛物线 L上，点 Q 在抛物线 L 上，且四边形 PMQN 为周长最小的菱形， 求点 P 的坐标 25 （12 分）问题提出： （1）如图，已知在边长为 10 的等边ABC 中，点 D 在边 BC 上，BD6，连接 AD， 则ACD 的面积为 ； 问题探究： （2）如图，已知在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上， 且EAF45若 EF5，求AE

10、F 的面积； 问题解决： （3）如图是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在 AB4 米，AD6 米的 矩形 ABCD 区域内开挖一个AEF 的工作面，其中 E、F 分别在 BC、CD 边上（不与 B、 C、D 重合） ，且EAF45，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF 面积最小， 那么是否存在一个面积最小的AEF？若存在， 请求出AEF 面积的最小值； 若不存在， 请说明理由 2020 年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3

11、 分，计分，计 30 分每小题只有一个选项是符合题意的）分每小题只有一个选项是符合题意的） 1 （3 分）的绝对值是（ ） A2 B C D2 【分析】根据绝对值的定义进行计算 【解答】解：的绝对值是 故选：B 2 （3 分）如图所示几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看是上下两个矩形，上面矩形靠左 故选：C 3 （3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） A （3a2）26a4 Ba12a3a9 C2a+3a5a2 D （a+b）2a2+b2 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式9a4，不符合题意

12、； B、原式a9，符合题意； C、原式5a，不符合题意； D、原式a2+2ab+b2，不符合题意 故选：B 4 （3 分） 如图， 已知在ABC 中， C90， BE 平分ABC， 且 BEAD， BAD20， 则AEB 的度数为（ ） A100 B110 C120 D130 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得到结论 【解答】解：BEAD， ABEBAD20， BE 平分ABC， EBCABE20， C90， AEBC+CBE90+20110， 故选：B 5 （3 分）若一个正比例函数的图象经过点（3，6） 则下列各点在该正比例函数图象上 的是（ ） A （1，2） B （1，2

13、） C （2，9） D （2，9） 【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数 图象上点的坐标特征，可找出在正比例函数图象上的点（四个选项中的点） 【解答】解：设正比例函数的解析式为 ykx（k0） 将（3，6）代入 ykx，得：63k， 解得：k2， 正比例函数的解析式为 y2x 当 x1 时，y2x2， 点（1，2）在正比例函数 y2x 的图象上，点（1，2）不在正比例函数 y2x 的图象上； 当 x2 时，y2x4， 点（2，9） ， （2，9）均不在正比例函数 y2x 的图象上 故选：A 6 （3 分）如图，在ABC 中，C80，BAC60，AD 平分

14、BAC，将ACD 沿 AD 折叠，使点 C 与 AB 上的点 E 重合，若 CD4，则 BE 的长为（ ） A3 B4 C4 D3 【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论 【解答】解：C80，BAC60， B180806040， 将ACD 沿 AD 折叠，使点 C 与 AB 上的点 E 重合， AEDC80，DEDC4， BDEAEDB804040， BBDE， BEDE4， 故选：C 7 （3 分）已知一次函数 y2x+4 的图象沿着 x 轴或 y 轴平移 m 个单位长度得到的图象与 原图象关于原点对称，则 m 的值可能为（ ） A5 B6 C7 D8 【分

15、析】先在直线 y2x+4 上任意取一点（1，2） ，然后根据关于原点对称的点，横纵 坐标互为相反数求出这点的对应点的坐标，然后代入平移后函数解析式计算即可求出 m 值 【解答】解：一次函数 y2x+4 的图象经过一二四象限， 一次函数 y2x+4 的图象向下平移 m 个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 平移后的函数的解析式为 y2x+4m， 直线 y2x+4 经过点（1，2） ，该点关于原点的对称点为（1，2） ， 将（1，2）代入 y2x+4m，得22+4m， 解得 m8， 故选：D 8 （3 分）如图，已知边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AB、CD 的中点，连接

16、 AC，点 G、H 在 AC 上，且 AC4AG4CH，则四边形 EHFG 的面积为（ ） A8 B4 C D 【分析】如图，连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EF证明四边形 EGFH 是平行四边形，求 出OEG 的面积即可解决问题 【解答】解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EF 四边形 ABCD 是正方形， ABCD，ABCD， EAGFCH， 点 E、F 分别为 AB、CD 的中点， AECF， AC4AG4CH， AGOGOHCH， EAGFCH（SAS） ， EGFH，AGECHF， EGHFHG， EGFH， 四边形 EGFH 是平行四边形， GH 与 EF 互相平

17、分， EF 经过点 O， SAEOS正方形ABCD162， 又AGOG， SEOGSAEO1， S平行四边形EGFH4SEOG4 故选：B 9 （3 分）如图，已知ABC 是圆 O 的内接三角形，ABAC，ACB65，点 C 是弧 BD 的中点，连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A12 B15 C18 D20 【分析】 如图， 连接 AO， BO， CO， DO， 由等腰三角形的性质可求ABCACB65， BAC50，由圆周角定理可求AOC2ABC130，BOC2BAC100， 可求AOD30，即可求解 【解答】解：如图，连接 AO，BO，CO，DO， ABAC，ACB65， ABCACB

18、65， BAC50， AOC2ABC130，BOC2BAC100， 点 C 是弧 BD 的中点， ， BOCCOD100， AOD30， AOC2ACD， ACD15， 故选：B 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c，其中 y 与 x 的部分对应值如表： x 2 1 0.5 1.5 y 5 0 3.75 3.75 下列结论正确的是（ ） Aabc0 B4a+2b+c0 C若 x1 或 x3 时，y0 D方程 ax2+bx+c5 的解为 x12，x23 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x1，所以抛物线与 x 轴的另 一个交点坐标为（3，0） ，利用交点式求出 yx

19、22x3，然后对各选项进行判断 【解答】解：x0.5，y3.75；x1.5，y3.75， 抛物线的对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0） ， 设 ya（x+1） （x3） ， 把（2，5）代入得 5a（2+1） （23） ，解得 a1， yx22x3， abc0，所以 A 选项错误； 4a+2b+c44330，所以 B 选项错误； 抛物线开口向上，抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （3，0） ， x1 或 x3 时，y0，所以 C 选项正确； 方程 ax2+bx+c5 表示为 x22x35，解得 x12，x24，所以 D 选项错误 故选：C 二、填空题（共

20、二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）已知在实数2，中，最小的一个数是 2 【分析】根据任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数 大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，分析得出答案 【解答】解：20 故最小的是2 故答案为：2 12 （3 分）已知正六边形的边长为 6，那么边心距等于 【分析】已知正六边形的边长为 6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半 径构造直角三角形，通过解直角三角形求出边心距 【解答】解：如图，在 RtAOG 中，OA6，AOG30， OGOAcos 3063 13

21、（3 分）如图，点 D 是菱形 AOCB 的对称中心，点 A 坐标为（3，4） ，若反比例函数的 图象经过点 D，则反比例函数表达式为 y 【分析】求出 OA5，则点 B 的坐标可求出，求出点 D 的坐标，则反比例函数表达式可 求出 【解答】解：点 A 坐标为（3，4） ， OA5， 四边形 AOCB 是菱形， ABOC， B（8，4） ， 点 D 是菱形 AOCB 的对称中心， D（4，2） ， 设反比例函数表达式为 y， 2， k8， 反比例函数表达式为 y 故答案为： 14 （3 分）如图，已知在四边形 ABCD 中，ABC60，连接 AC、BD 交于点 E，EC 2AE4，若 BE2E

22、D，则 BD 的最大值为 3+3 【分析】如图，作ABC 的外接圆O，连接 OB，OA，OC，OE，过点 O 作 OHAC 于 H解直角三角形求出 OE，OB，求出 BE 的最大值即可解决问题 【解答】解：如图，作ABC 的外接圆O，连接 OB，OA，OC，OE，过点 O 作 OH AC 于 H AOC2ABC，ABC60， AOC120， EC2AE4， AE2， ACAE+EC6， OAOC，OHAC， AHHC3，EHAHAE1， OACOCA30， OHAHtan30， OE2，OA2OH2， OBOA2， BEOB+OE， BE2+2， BE 的最大值为 2+2， BE2DE， DE

23、 的最大值为 1+， BD 的最大值为 3+3 故答案为 3+3 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分解答应写出必要的过程）分解答应写出必要的过程） 15 （5 分）计算：|sin30|+（） 1 【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可 求出值 【解答】解：原式2|4|+2 2（2）+2 22+2 16 （5 分）解方程：1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：x2+2xx2+4x2， 解得：x6， 经检验 x6 是分式方程的解 17 （5 分）

24、如图，已知ABC 中，ACB90，请作ABC 的外接圆 （保面作图痕迹， 不写作法） 【分析】作 AB 的垂直平分线得到 AB 的中点 O，再以 O 点为圆心，OA 为半径作O 即 可 【解答】解： （1）如图，O 为所作； 18 （5 分）如图，点 P 为菱形 ABCD 对角线 BD 上一点，连接 PA、PC点 E 在边 AD 上， 且AEPDCP 求证：PCPE 【分析】根据菱形的性质得到 ADCD，ADPCDP，根据全等三角形的性质得到 APCP，DCPDAP，等量代换得到DAPAEP，于是得到结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ADCD，ADPCDP， 在ADP 与CDP

25、中， ADPCDP， APCP，DCPDAP， AEPDCP， DAPAEP， APPE， PCPE 19 （7 分）为发展学生的核心索养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课程： 乐器、舞蹈、绘画、书法学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生 必须选择且只能选择其中一门） 对调查结果进行整理， 绘制成如下两幅不完整的统计图， 请结合图中所给信息解答下列问题 学生选修课程统计图： （1）补全条形统计图，补全扇形统计图中乐器所占的百分比 （2）本次调查学生选修课程的“众数”是 舞蹈 （3）若该校有 1600 名学生，请你估计选修绘画的学生大概有多少名？ 【分析】 （1）舞蹈人

26、数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以书法对应百分比可得其 人数，依据各科目人数之和等于总人数求得绘画人数，再用乐器人数除以总人数可得其 对应百分比； （2）根据众数的定义求解可得； （3）用总人数乘以样本中绘画对应的比例即可得 【解答】解： （1）被调查的总人数为 2040%50（人） ， 书法的人数为 5010%5（人） ， 绘画的人数为 50（15+20+5）10（人） ， 则乐器所占百分比为 1550100%30%， （2）本次调查学生选修课程的“众数”是舞蹈， 故答案为：舞蹈； （3）估计选修绘画的学生大约有 1600320（人） 答：估计选修绘画的学生大概有 320 名 20 （7

27、 分）小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆 AB 的高度小 明站在点D处利用测倾器测得旗杄顶端A的仰角为45， 小华在BD之间放置一个镜子， 并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点 E 处时，位于点 D 处的小明正好在镜子中看到旗 杆顶端 A，此时 DE 的距离为 1.4 米，已知测倾器的高为 1.75 米请你根据以上信息，计 算旗杆 AB 的高度 【分析】过点 C 作 CFAB 于点 F，可得四边形 FBDC 是矩形，根据入射角等于反射角 可得，CEDAEB，所以 tanCEDtanAEB，进而可求 AF 的长，最后求出 AB 的长 【解答】解：如图， 过点 C 作 CFAB

28、 于点 F， 可得四边形 FBDC 是矩形， FBCD1.75， FCBDBE+1.4， 根据题意，得 ACF45， AFCF， 根据入射角等于反射角可知： CEDAEB， tanCEDtanAEB， ， ， AFFC， 解得 AF14， ABAF+FB14+1.7515.75（米） 答：旗杆 AB 的高度为 15.75 米 21 （7 分）某弹簧在所挂物体质量不超过 25kg 时弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x （kg）之间近似的满足一次函数关系经实验可知：当所挂物体的质量为 10kg 时，弹簧 的长度为 17cm；当所挂物体的质量为 20kg 时，弹簧的长度为 19cm （1）求

29、 y 与 x 之间的函数表达式及该弹簧不挂物体时的长度； （2）若弹簧挂上一个物体后，弹簧长度为 16cm，求这个物体的质量 【分析】 （1）利用待定系数法解答即可求出 y 与 x 之间的函数表达式，由解析式即可得 出该弹簧不挂物体时的长度； （2）把 y16 代入（1）的结论解答即可 【解答】解： （1）设弹簧的长度与所挂物体质量 x（kg）之间的函数关系式为 ykx+b， 由题意， 得，解得， 即弹簧长度 y（cm）与所挂物体质量 x（kg）之间的函数表达式为：y0.2x+15； 当 x0 时，y15， 该弹簧不挂物体时的长度为 15cm （2）当 y16 时，0.2x+1516，解得 x

30、5 答：这个物体的质量为 5kg 22 （7 分）图是一个转盘，转盘被等分成三个区域，并分别标有数字 2、3、7，图是 一个正五边形棋盘，现通过转动转盘的方式玩跳棋游戏规则如下：将转盘转动后，看 转盘指针指向的数字是几，就从图中的 A 点开始在正五边形边上沿着顺时针方向连续 跳过几个边 （指针指向边界不计） ， 第二次从第一次的终点处开始， 按第一次的方法跳动 （1）随机转动一次转盘，则棋子跳动到点 C 处的概率是 ； （2）随机转动两次转盘，用画树状图或列表的方法求棋子最终跳动到点 A 处的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出数字之

31、和为 5 的倍数的结果数，然后 根据概率公式求解 【解答】解： （1）随机转动一次转盘，则棋子跳动到点 C 处的概率； （2）画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中棋子最终跳动到点 A 处的结果数为 4， 所以棋子最终跳动到点 A 处的概率 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延 长线于点 D过点 D 作 DEAD 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DCDE； （2）若 DE6，tanCDA，求 AD 的长 【分析】 （1）根据切线的性质和三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质健康得到结 论； （2）由（1）知，CDD

32、E6，根据余角的性质得到CODCDE，于是得到 tan CDAtanCDA，求得 OC，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解： （1）连接 BC，OC， CD 是O 的切线， OCCD， OCB+DCB90， AB 是O 的直径， ACB90， ACO+OCB90， ACODCB， OAOC， AACO， ADCB， DEAD， A+EA+ABC90， ABCE， ABCBDC+DCB，DCEA+CDB， DCEABC， DCEE， CDDE； （2）由（1）知，CDDE6， OCDADE90， CDO+CODCDO+CDE90， CODCDE， tanCDA， OC8， OD10， AD10

33、+818 24 （10 分）已知抛物线 L：yx2+bx+c 经过点（1，15）和（0，8） ，顶点为 M，抛物线 L 关于原点 O 对称的抛物线为 L，点 M 的对应点为点 N （1）求抛物线 L 的表达式及点 M 的坐标； （2）点 P 在抛物线 L上，点 Q 在抛物线 L 上，且四边形 PMQN 为周长最小的菱形， 求点 P 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法解决问题即可 （2）求出 M，M的坐标，利用菱形的性质可知 MMPQ，求出直线 PQ 的解析式， 构建方程组确定点 P 的坐标，再根据周长最小，判定点 P 的坐标即可解决问题 【解答】解： （1）yx2+bx+c 经过点（1，1

34、5）和（0，8） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+6x+8， 抛物线 L：yx2+6x+8（x+3）21， 顶点 M（3，1） ， （2）抛物线 L与抛物线 L 关于原点对称，抛物线 L 的顶点 M（3，1） ， 抛物线 L的顶点 M（3，1） ，解析式为 y（x3）2+1x2+6x8 四边形 PMQM是菱形， PQMM， 直线 MM的解析式为 yx， 直线 PQ 的解析式为 y3x， 由，解得或， P（1，3）或（824） 菱形 PMQM的周长最小， P（1，3） 25 （12 分）问题提出： （1）如图，已知在边长为 10 的等边ABC 中，点 D 在边 BC 上，BD6，连接

35、AD， 则ACD 的面积为 10 ； 问题探究： （2）如图，已知在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上， 且EAF45若 EF5，求AEF 的面积； 问题解决： （3）如图是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在 AB4 米，AD6 米的 矩形 ABCD 区域内开挖一个AEF 的工作面，其中 E、F 分别在 BC、CD 边上（不与 B、 C、D 重合） ，且EAF45，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF 面积最小， 那么是否存在一个面积最小的AEF？若存在， 请求出AEF 面积的最小值； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）过点 A

36、作 AHBC，根据等边三角形的性质、正弦的定义求出 AH，根据三 角形的面积公式计算，得到答案； （2）将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABH，证明AEFAEH，根据三角形 的面积公式计算即可； （3） 把ADF 绕点 A 顺时针旋转 90并缩小为， 得到ABG， 根据角平分线的性质、 三角形的面积公式得到，根据圆周角定理、结合图形求出AQE 的面积的最 小值，计算即可 【解答】解： （1）如图，过点 A 作 AHBC 于 H， ABC 为等边三角形， B60， ACD 的面积CDAH410sin6010， 故答案为：10； （2）如图，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABH，

37、 由旋转的性质得，AHAF，BAHDAF， EAF45，BAD90， EAHEAF45， 在AEF 和AEH 中， ， AEFAEH（SAS） ， EHEF5， SAEFSAEH5615； （3）把ADF 绕点 A 顺时针旋转 90并缩小为，得到ABG， 则 AGAF，EAGEAF45， 过点 E 作 EMAG 于 M，ENAF 于 N， EAGEAF，EMAG，ENAF， EMEN， ， 设AGE 的外接圆圆心为 O，连接 OA、OG、OE，过得 O 作 OHGE 于 H， 则GOE2EAG90， 设AGE 的外接圆的半径为 R， 则 GER，OHR， 由题意得，OA+OHAB，即 R+R4， 解得，R84， AGE 的面积（84）41616， AGE 的面积的最小值为 1616， AEF 的面积的最小值为 2424