2020年秋浙教版九年级上册 第一章 二次函数 综合测试(含答案)
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1、第一章第一章 二次函数综合测试二次函数综合测试 一一选择题选择题 1. 将抛物线 y=x2向上平移 2 个单位后,所得的抛物线的函数表达式为( ) A.y=x2+2 B.y=x2-2 C.y=(x+2)2 D.y=(x-2)2 2. 某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为 x 轴,出水点为原点,建立平面直角 坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是 ( ) A.4 米 B.3 米 C.2 米 D.1 米 3. 将函数 y= x2x 化为 y=a(xm)2+k 的形式,得( ) A. y= (x1)2 B. y= (x )2+ C
2、. y= (x1)2+ D. y= (x )2 4. 抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列说法正确的是( ) A. b 2-4ac0 B. abc0 C. D. a-b+c0 5. 进价为 80 元的商品,按 90 元一个售出时,可卖出 400 个已知这种商品每个涨价 1 元,其 销售量就减少 20 个,则获得利润最大时售价应为( ) A. 90 元 B. 95 元 C. 100 元 D. 105 元 6. 对于二次函数 y=(x-1)2+2 的图象,下列说法正确的是() A.开口向下 B.对称轴是 x=-1 C.顶点坐标是(-1,2) D.与 x 轴没有交点 7. 从
3、地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度 h(m)与小球运动时间 t(s)之间的函数关系式为 y=30t5t2 ,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( ) A.6 s B.4 s C.3 s D.2 s 8. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax 2+c(a0)的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A, B,C,则 ac 的值是_ A.-2 B.-1 C. D. 9. 某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,它由四个边长为 3 米的小正方形组成,且每个 小正方形的种植方案相同,其中的一个小正方形 ABCD 如图乙所示,AE=AF=x 米,DE=DG,在 五边形 EFBCG 区域上种
4、植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x 的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 10.已知函数 y=3-(x-m)(x-n),其中 mn. a,b是方程 3-(x-m)(x-n)=0 的两个根,其中 ab,则实数 m,n,a,b的大小关系是( ) A.mnab B.manb C.ambn D.amnb 二二填空题填空题 11. 若抛物线 y=(m-1 )x|m|-1开口向下,则 m 的值为 。 12. 若点 A(3,y 1)、B(0,y2)是二次函数 y=2(x1)2+3 图象上的两点,那么 y1与 y2的大小关系是_ (填 y1y2、y1=y2或 y1y2) 13. 已知
5、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则点 P(a,bc)在第_象限. 14. 小敏用一根长为 8cm 的细铁丝围成矩形,则矩形的最大面积是_ 15. 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则的值为 _ ;的取值范围为 _ 16. 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的顶点为 P,其图象与 x 轴有两个交点 A(-m,0),B(1, 0),交 y 轴于点 C(0,-3am+6a),以下说法: m=3; 当APB=120 时,a=; 当APB=120 时,抛物线上存在点 M(M 与 P 不重合),使得 ABM 是顶角为 120 的等腰 三角形; 抛物线上存在点 N,当
6、 ABN 为直角三角形时,有 a 正确的是 .(填序号) 三三解答题解答题 17. 已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两点 (1)求证:抛物线的对称轴在 y 轴的左侧; (2)若(O 为坐标原点),求抛物线的解析式; (3)设抛物线与 y 轴交于点 C,若 ABC 是直角三角形求 ABC 的面积 18. 有一座抛物线形拱桥,正常水位时,抛物线拱桥下的水面宽为 20m,水面上升 3m 达到该地 警戒水位时,桥下水面宽为 10m (1)在恰当的平面直角坐标系中求出水面到桥孔顶部的距离 y(m)与水面宽 x(m)之间的函 数关系式; (2)如果水位以 0.2m/h 的速度持续上涨,那么达到警戒水位后
7、,再过多长时间此桥孔将被淹没? 19. 对于二次函数 y=x2-2ax+2a+3,分别满足下列条件,求系数 a 的值 (1)函数的最小值为零; (2)当 x5 时,y 随 x 增大而增大,且 x5 时,y 随 x 增大而减小; (3)图象在 x 轴上截得的线段长是 3,且与 y 轴交于正半轴 20. 请阅读下列解题过程 解一元二次不等式:x2-5x0 解:设 x2-5x=0,解得:x1=0,x2=5,则抛物线 y=x2-5x 与 x 轴的交点坐标为(0,0)和(5, 0)画出二次函数 y=x2-5x 的大致图象(如图所示),由图象可知:当 x0,或 x5 时函数图 象位于 x 轴上方,此时 y
8、0,即 x2-5x0,所以,一元二次不等式 x2-5x0 的解集为:x0, 或 x5 通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题: (1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的_和_(只填序号) 转化思想 分类讨论思想 数形结合思想 (2)一元二次不等式 x2-5x0 的解集为_ (3)用类似的方法解一元二次不等式:x2-2x-30 21. 某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练,身体(将运动员看成一点)在空中运动的路线是如 图所示坐标系经过原点 O 的抛物线(图中标出的数据为已知数据)在跳某个规定动作时,正常 情况下,该运动员在空中最高处距水面米,入水处距池边 4 米同时,运
9、动员在距水面高度 5 米以前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误 (1)求这条抛物线的关系式; (2)某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入 水姿势时距池边的水平距离为米,问此次跳水会不会失误?通过计算说明理由 22. (本题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1,0),C(3,0),D(3,4).以 A 为顶 点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C.动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动.同时动点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向点 D 运动.点 P,Q 的
10、运动速度均为每秒 1 个单位.运动时间为 t 秒.过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)过点 E 作 EFAD 于 F,交抛物线于点 G,当 t 为何值时, ACG 的面积最大?最大值为多 少? (3)在动点 P,Q 运动的过程中,当 t 为何值时,在矩形 ABCD 内(包括边界)存在点 H,使以 C, Q,E,H 为顶点的四边形为菱形?请直接写出 t 的值. 参考答案参考答案 1. - 答案:A. 解:抛物线 y=x2的顶点坐标为(0,0), 向上平移 2 个单位后的图象的顶点坐标为(0,2), 所以,所得图象的解析式为 y
11、=x2+2. 故选 A. 【考点提示】 本题主要考查二次函数的图象的平移规律,解题的关键是求出平移后的解析式的顶点坐标; 【解题方法提示】 先得到抛物线 y=x2的顶点坐标为(0,0),因为点(0,0)向上平移 2 个单位得到的点的坐标为(0,2); 接下来利用顶点式,即可得到平移后的抛物线的解析式. 2. - 答案:A. 解:水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x 的一部分, 水喷出的最大高度就是抛物线 y=-x2+4x 的顶点坐标的纵坐标. y=-x2+4x=-(x-2)2+4, 此抛物线的顶点坐标为(2,4), 水喷出的最大高度为 4 米. 故选 A. 1、认真分析题意,观察所给图
12、形,想想水喷出的最大高度是什么? 2、由于水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x,故水喷出的最大高度就是抛物线 y=-x2+4x 的顶点坐标的纵坐标; 3、然后对抛物线的解析式进行配方便不难得到其顶点坐标,问题就可迎刃而解了,试试吧! 3. - A 【解答】解:y= x2x (x22x+1) = (x1)2 , 故选 A 【分析】利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式 4. - C 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交 点情况进行推理,进而对所得
13、结论进行判断 解:由抛物线的开口向下知 a0, 与 y轴的交点为在 y轴的正半轴上, c0, 对称轴为 y轴,即 -1, A,应为 b 2-4ac0,故本选项错误; B,abc0,故本选项错误; C,即 -1,故本选项正确; D,x=-1 时函数图象上的点在第二象限,所以 a-b+c0,故本选项错误 故选 C 5. - 答案:B 分析:假设售价在 90 元的基础上涨 x 元,从而得到销售量,进而可以构建函数关系式,利用二次函数求最值的方法 求出函数的最值 解答:解:设售价在 90 元的基础上涨 x 元 因为这种商品每个涨价 1 元,其销售量就减少 20 个,所以若涨 x 元,则销售量减少 20
14、 x,按 90 元一个能全部售出, 则按 90+x 元售出时,能售出 400-20 x 个,每个的利润是 90+x-80=10+x 元 设总利润为 y元,则 y=(10+x)(400-20 x)=-20 x2+200 x+4000,对称轴为 x=5 所以 x=5 时,y有最大值,售价则为 95 元 所以售价定为每个 95 元时,利润最大 故选 B 点评:本题考查函数模型的构建,考查求二次函数的最值,解题的关键是读懂题意,列出函数解析式 6. - 答案:D. 解: 由二次函数 y=(x-1)2+2,可知: 函数图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线 x=1,抛物线与 x 轴没有公共点.
15、 故选 D. 7. - 解:小球从抛出到落到地面运动的路径为 0,即 y=0 3t-5t =0 解得:t1=0(舍去) t2=6, 即小球从抛出到落到地面所 有的时间是 6 秒. 应选 A.故答案为:A 小球从抛出到落到地面这个过程中运动的路径为 0,即 y=0,30t-5t =0,解方程组即得答案. 8. - 答案: A 【解答】解:设正方形的对角线 OA 长为 2m, 则 B(m,m),C(m,m),A(0,2m); 把 A,C 的坐标代入解析式可得: c=2m,am2+c=m, 代入得:m2a+2m=m,解得:a= , 则 ac= 2m=2 故答案为:A 【分析】可设正方形的对角线 OA
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