§2.1 命题、定理、定义 学案（含答案）

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1、2.12.1 命题、定理、定义命题、定理、定义 学习目标 1.理解命题、定理、定义的概念.2.会判断命题的真假.3.能把命题改写成“若 p， 则 q”的形式 知识点一 命题的定义与分类 1定义：数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题 2分类： 命题 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 思考 1 “x10”是命题吗？ 答案 “x10”不是命题，因为它不能判断真假 思考 2 “命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ 答案 正确根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命 题 知识点二 命题的结构 1命题的一般形式为“若 p，则 q”其中

2、p 叫作命题的条件，q 叫作命题的结论 2确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若 p，则 q”的形式 思考 命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ 答案 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数” 知识点三 定理、定义 1定理 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理 2定义 (1)定义：是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵 (2)特点：是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 1含有变量的语句也可能是命题( ) 2如果一个语句判断为假，那么它就不是命题( ) 3有些命题在形式上可以不是“若

3、 p，则 q”的形式( ) 4定理是真命题( ) 一、命题的概念 例 1 下列语句： (1) 2是无限循环小数； (2)x23x20； (3)当 x4 时，2x0； (4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ (5)一个数不是合数就是素数； (6)作ABCABC； (7)二次函数的图象太美了！ (8)4 是集合1,2,3中的元素 其中是命题的是_(填序号) 答案 (1)(3)(5)(8) 解析 (1)是命题， 能判断真假； (2)不是命题， 因为语句中含有变量 x， 在没给变量 x 赋值前， 我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，不是陈述句；(5)是命题；(6)不是命题； (7

4、)不是命题；(8)是命题故答案为(1)(3)(5)(8) 反思感悟 判断一个语句是否是命题的两个关键点 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题 (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题； 若不能， 就不是命题 提醒： 若语句中含有变量， 但变量没有给出范围， 则该语句不是命题 跟踪训练 1 (多选)下列语句中，是命题的有( ) A32 B作射线 AB Cx210 有一个根是1 Dx1 时，方程 ax22x10 有两个不等实根； (3)四条边相等的四边形是菱形； (4)已知 x，y 为非零自然数，当 yx2 时，y4，

5、x2. 解 (1)若一个数是 6，则它是 12 和 18 的公约数 (2)若 a1，则方程 ax22x10 有两个不等实根 (3)若一个四边形的四条边相等，则这个四边形为菱形 (4)已知 x，y 是非零自然数，若 yx2，则 y4，x2. 反思感悟 把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件 和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还 要注意有的命题改写形式不唯一 跟踪训练 2 已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为 “若 p，则 q”的形式，则 p 是_，q 是_ 答案 一条直线是弦的垂直平

6、分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 解析 已知中的命题改为“若 p， 则 q”的形式为“若一条直线是弦的垂直平分线， 则这条直 线经过圆心且平分弦所对的弧”，p：一条直线是弦的垂直平分线； q：这条直线经过圆心且 平分弦所对的弧 三、命题的真假判断及应用 例 3 (1)(多选)给定下列命题中真命题有( ) A若 xy0，则|x|y|0 B若 ab，则 acbc C菱形的对角线互相垂直 D若 a，b 是无理数，则 ab 是无理数 答案 BC 解析 A由 xy0 得到 x0 或 y0，所以|x|y|0 不一定成立，是假命题； B当 ab 时，有 acbc 成立，正确，所以是真命题； C菱形的对

7、角线一定互相垂直，正确，是真命题 D若 a，b 互为相反数，则 ab0，不正确，是假命题，故选 BC. (2) 若“方程ax23x20有两个不相等的实数根”是真命题， 则a的取值范围是_ 答案 a0， a0， 解得 a9 8且 a0. 反思感悟 一个命题要么为真命题， 要么为假命题， 且必居其一 欲判断一个命题为真命题， 需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可 跟踪训练 3 (1)下列命题为真命题的是( ) A若1 x 1 y，则 xy B若 x21，则 x1 C若 xy，则 x y D若 xy，则 x2y2 答案 A 解析 A 正确；B 中，由 x21，得 x 1，所以

8、B 是假命题；C 中，当 xy3 Ca3 Da3 答案 D 解析 x30，Ax|x3， 又aA 是假命题，即 aA，a3. 1下列语句为命题的是( ) Ax210 B238 C你会说英语吗？ D这是一棵大树 答案 B 解析 A 中 x 不确定，x210 的真假无法判断；B 中 238 是命题，且是假命题；C 不 是陈述句，故不是命题；D 中“大”的标准不确定，无法判断真假 2命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A这个四边形的对角线互相平分 B这个四边形的对角线互相垂直 C这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D这个四边形是平行四边形 答案 C 解析 把命题改写成

9、“若 p，则 q”的形式后可知 C 正确 3(多选)下列命题是真命题的为( ) AxN|x310不是空集 B若 a0 C相似三角形的对应角相等 D若整数 m 是偶数，则 m 是合数 答案 BC 解析 A 项错误，x310 得 x1.C 项正确D 项错误，2 是偶数，但不是合数，故选 BC. 4把“能被 9 整除的数是偶数”改写为“若 p，则 q”的形式是 _. 答案 若一个数能被 9 整除，则这个数是偶数 5命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的条件是_，结论是 _ 答案 三角形有两个角互余 这个三角形是直角三角形 1知识清单： (1)命题、定义、定理的概念 (2)命题“若 p，则 q”的结构形式 (3)判断命题的真假 2方法归纳：间接法 3常见误区：命题的条件隐晦时，改写成命题的“若 p，则 q”的结构形式时容易出错