2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 学案（含答案）

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1、2.32.3 全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题 2 2. .3.13.1 全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题 学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假 知识点 全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有、任意、每一个 存在、有的、有一个 符号 命题 含有全称量词的命题称为全称量词 命题 含有存在量词的命题称为存在量词 命题 一般形式 xM，p(x) xM，p(x) 思考 1 全称量词命题中的“x，M 与 p(x)”表达的含义分别是什么

2、？ 答案 元素 x 可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合 M 是 这些元素的某一特定的范围p(x)表示集合 M 的所有元素满足的性质如“任意一个自然数 都不小于 0”，可以表示为“xN，x0” 思考 2 “一元二次方程 ax22x10 有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请 改写成相应命题的形式 答案 是存在量词命题，可改写为“存在 xR，使 ax22x10” 1“三角形内角和是 180 ”是全称量词命题( ) 2“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题( ) 3“xR，x211”是真命题( ) 4存在量词命题“xR，x21,3x40 成立； (2)对所有实

3、数 a，b，方程 axb0 恰有一个解； (3)有些整数既能被 2 整除，又能被 3 整除； (4)某个四边形不是平行四边形 解 (1)全称量词命题，表示为xx|x1,3x40. (2)全称量词命题，表示为a，bR，方程 axb0 恰有一解 (3)存在量词命题，表示为xZ，x 既能被 2 整除，又能被 3 整除 (4)存在量词命题，表示为xy|y 是四边形，x 不是平行四边形 反思感悟 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词由于某些全称量词命题的 量词可能省略， 所以要根据命题表达的意义判断， 同时要会用相应的量词符号正确表达

4、命题 跟踪训练 1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题 (1)凸多边形的外角和等于 360 ； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数 a，b 能使|ab|a|b|； (5)方程 3x2y10 有整数解 解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于 360 ， 故为全称量词命题 (2)可以改为所有矩形的对角线不相等， 故为全称量词命题 (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形， 故为全称量词命题 (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题 (5)可改写为存在一对整数 x，y，使 3x2y10 成立 故为存在量词命题 二、

5、全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 例 2 判断下列命题的真假 (1)xZ，x30. 解 (1)因为1Z，且(1)311， 所以“xZ，x30”是假命题 反思感悟 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体 而言： (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素 x，使 p(x)成立即可， 否则命题为假 (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素 x，p(x)都成立，但要判定 一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个 x，使 p(x)不成立即可 跟踪训练 2 试判断下列命题的真假： (1)xR，x212； (2)直

6、角坐标系内任何一条直线都与 x 轴有交点； (3)存在一对整数 x，y，使得 2x4y6. 解 (1)取 x0，则 x2112， 所以“xR，x212”是假命题 (2)与 x 轴平行的直线与 x 轴无交点， 所以该命题为假命题 (3)取 x3，y0，则 2x4y6，故为真命题 三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围 例 3 已知集合 Ax|2x5， Bx|m1x2m1， 且 B， 若命题 p： “xB， xA”是真命题，求 m 的取值范围 解 由于命题 p：“xB，xA”是真命题， 所以 BA，B，所以 m12m1， m12， 2m15， 解得 2m3. 延伸探究 1把本例中命题 p 改为“

7、xA，xB”，求 m 的取值范围 解 p 为真，则 AB，因为 B，所以 m2. 所以 2m15， m2 或 22m15， m2， 解得 2m4. 2把本例中的命题 p 改为“xA，xB”，是否存在实数 m，使命题 p 是真命题？若存 在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由 解 由于命题 p：“xA，xB”是真命题， 所以 AB，B，所以 m12m1， m12， 2m15， 解得 m， 所以不存在实数 m，使命题 p 是真命题 反思感悟 依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法 (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意 (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问

8、题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再 转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围 跟踪训练 3 若命题“xR，x24xa0”为真命题，求实数 a 的取值范围 解 命题“xR，x24xa0”为真命题， 方程 x24xa0 存在实数根， 则 (4)24a0，解得 a4. 1(多选)下列命题是全称量词命题的是( ) A任意一个自然数都是正整数 B有的菱形是正方形 C梯形有两边平行 DxR，x210 答案 AC 解析 选项 A 中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项 C 中，“梯形有两边 平行”是全称量词命题 2下列命题中是存在量词命题的是( ) A任何一个实数乘以 0 都等于 0

9、B任意一个负数都比零小 C每一个正方形都是矩形 D一定存在没有最大值的二次函数 答案 D 解析 D 选项是存在量词命题 3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A每个二次函数的图象都开口向上 B存在一条直线与已知直线不平行 C对任意实数 a，b，若 ab0，则 ab D存在一个实数 x，使等式 x22x10 成立 答案 C 解析 B，D 是存在量词命题，故应排除；对于 A，二次函数 yax2bxc(a0)的图象开口 向下，也应排除，故应选 C. 4命题 p：xR，x22x50 是_(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)， 它是_命题(填“真”或“假”) 答案 存在量词命题 假 解析 命题 p 是存在量词命题， 因为方程 x22x50 的判别式 22450 解析 一次函数 ykx2 的图象过点(0,2)，若恒过第三象限，则 k0. 1知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的概念 (2)含量词的命题的真假判断 (3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围 2常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调 “个别、部分”