辽宁省葫芦岛市2020届高三第一次模拟考试数学（理科）试题含答案

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1、2020 年年葫芦岛葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试市普通高中高三第一次模拟考试 数数 学学（供（供理理科考生使用）科考生使用） 注意事项: 1.本试卷分第卷、第卷两部分，共 6 页满分 150 分；考试时间：120 分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂在答题卡上 3.用铅笔把第卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第卷的答案写在答题纸的相应位 置上 4.考试结束，将答题卡和答题纸一幵交回 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项

2、是符 合题目要求的. 1复数 z 满足 12zii ，则复数 z = A1i B1+2i C1+i D1 i 2设集合|13Axx， 2 |280Bx xx ，则AB A. | 24xx B. |12xx C. | 43xx D. |14xx 3已知向量= ( 2,3),= (3,)mab，且a/b，则 m= A 2 B2 C 9 2 D 9 2 4某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有 120,150,180,150 名高三学生参加某次数学调研考试为 了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案：从这 600 名学生的试卷中抽取一个 容量为 200 的样本进行分析；方案：丙校参加调研考试的

3、学生中有 30 名数学培优生，从这些 培优生的试卷中抽取 10 份试卷进行分析完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是 A分层抽样法、系统抽样法 B分层抽样法、简单随机抽样法 C系统抽样法、分层抽样法 D简单随机抽样法、分层抽样法 5执行如图所示的程序框图，则输出的a值为 A-3 B 1 3 C 2 1 D2 6某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有 6 名同学 要求改选历史，现历史选修课开有三个班，若每个班至 多可再接收 3 名同学，那么不同的接收方案共有 A150 种 B360 种 C510 种 D512 种 7“0k ”是“直线2ykx与圆 22 2xy相切”的 A充分而不必要条件 B必要

4、而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8从标有数字 1,2,3,4,5 的五张卡片中，依次抽出 2 张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是偶数的 情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为 A 1 4 B 2 3 C 3 4 D 1 2 9如图一几何体三视图如图所示，则该几何体外接球表面积是 A14 B2 7 C28 D10 10函数 2 1 sin 1 x f xx e 图象的大致形状是 A B C D 11已知 F 是双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点，过点 F 作垂直于 x 轴的直线交该双曲线的 一条渐近线于点 M，若3FMa，记该双曲线的离心率为e，

5、则 2 e = A1 13 4 B 113 2 C 23 2 D 23 4 9题 5题 开始 a=2,i=1 i 2020? 是 结束 输出 a i=i+1 a= 12. 关于 x 的方程 0 11 4 tx xt xt 有四个不同的实数根， 且 x1 x 2 x 3 x 4， 则 4132 2() ()xxxx 的取值范围 A2 6 2 3,6 2 B 4 3,6 2 C 4 3,2 62 3 D 4 3,2 62 3 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分，共 20 分. 13502020+2 被 7 除后的余数为 14. 设变量 x,y 满足约束

6、条件 0 2 360 xy xy xy ，则 2zxy 的最小值为 15. 已知数列 n a满足 2 3a ， 1 14 0 33 nn aa ， n S为数列 n a的前n项和，则满足不等式 1 |9| 2020 n Sn的n的最大值为 16关于x的方程 2 2 1 (5)2ln0mxxm x 有两个不等实根，则实数m的取值范围是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分) 已知函数 1 sincos 64 f xxxxR . （1）求 6 f 的值和 f x的最小正周期； （2）设锐角ABC的三边 a，b，c 所对

7、的角分别为 A,B,C，且 1 24 A f ，2a ，求 b+c 的取值 范围. 18(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 平面ABC，ABBC， 1 2AAABBC. （1）求证： 1 BC 平面 11 A BC； （2）求异面直线 1 BC与 1 A B所成角的大小； A1 B1 C1 C B A （3）点 M 在线段 1 BC上，且 1 1 (0,1) B M B C ，点N在线段 1 A B上，若MN平面 11 A ACC，求 1 1 A N AB 的值（用含的代数式表 示）. 19(本小题满分 12 分) 2020 年是具有里程碑意义的一年,

8、我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目 标;2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年。(总书记二二年新年贺词) 截至 2018 年底，中国 农村贫困人口从 2012 年的 9899 万人减少至 1660 万人，贫困发生率由 2012 年的 10.2%下降 至 2018 年的 1.7%;连续 7 年每年减贫规模都在 1000 万人以上;确保到 2020 年农村贫困人口实 现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤。某贫困地区截至 2018 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现 从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50

9、户， 得到这 50 户家庭 2018 年的家庭人均年纯收入的频率 分布直方图. （1）将家庭人均纯年收入不足 5000 元的家庭称为“特困户”，若从这 50 户家族中再取出 10 户调 查致贫原因，求这 10 户中含有“特困户”的户数 X 的数学期望； （2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家 庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如下表: 频率/组距 0.04 2 5 6 7 3 4 8 家庭人均年纯收入（千元） 0.10 0.18 0.30 0.32 0.06 月份/2019（时间代码 x） 1 2 3 4 5 6 人均月

10、纯收入（元） 275 365 415 450 470 485 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相关关系, 由此估计该家庭 2020 年能实现小康生活，但 2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的 进展，该家庭 2020 年第一季度（1,2,3 月份）每月的人均月纯收人均只有 2019 年 12 月的预估值的2 3; 为加快脱贫进程，政府加大扶贫力度，拟从 2020 年 3 月份起，以后每月的增长率为 a，为了使 2020 年该家庭顺利迈入小康生活，则 a 至少应为多少？（保留小数点后两位数字） ； 可能用到的数据： 6 i=1x

11、iyi=9310, 45 2+4120462.81,1.15104.05 参考公式：线性回归方程y =bx+a中，b= 6 i=1xiyi-6x -y- 6 i=1xi 2-6x-2 ,a =y -b x - (1+a)n1+C1na+C2na2+C3na3(n10,|a|f (a)恒成立，求实数 m 的取值范围. 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程

12、为 cos 1sin x y （其中为参数） ，曲线 2 C的参数方 程为 5cos sin x y （其中为参数） ，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2） 射线 l： 0 与曲线 1 C， 2 C分别交于点 A， B （且点 A， B 均异于原点O） ， 当0 2 时，求 22 OAOB的最小值. 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 22f xxx. （1）求不等式 3f x 的解集； （2）若aR，且0a ，证明： 1 4114af x a . 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 第 I I 卷（

13、选择题) ) 一、选择题（本小题共 1212 小题，每小题 5 5 分，共 6060 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求） 1D 2A 3C 4B 5D 6C 7C 8C 9A 10C 11B 12B 第 IIII 卷（非选择题) ) 二、填空题( (本题共 4 4 个小题，每小题 5 5 分，共 2020 分) ) 133 141 158 16(3,5) 三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选

14、考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题，共 60 分。 17(本小题满分 12 分) 由题 131 sinsincos 224 xxxf x 2 131 sinsin cos 224 xxx 11311 cos2sin2sin 2 444426 xxx .-4 （1） 11 sin 62364 f , 2 2 T .-6 （2） 11 sin 2264 A fA ,0, 2 A ,所以 3 A ,-8 在ABC中,由余弦定理 222 2cosabcbcA可得： 2 22 22 433 4 bc bcbcbcbcbc ,即4bc,-10 又因为在ABC中,2bc,

15、所以,综上可得：bc的取值范围是2,4.-12 18 (本小题满分 12 分) （1）在三棱柱 111 ABCABC中，由 1 BB 平面ABC，所以 1 BB 平面 111 ABC， 又因为 1 BB 平面 11 B BCC，所以平面 11 B BCC 平面 111 ABC，交线为 11 BC. 又因为ABBC，所以 1111 ABBC，所以 11 AB 平面 11 B BCC. 因为 1 BC 平面 11 B BCC，所以 111 ABBC 又因为 1 2BBBC，所以 11 BCBC， 又 1111 ABBCB，所以 1 BC 平面 11 A BC.-4 （2）由（1）知 1 BB 底面

16、ABC，ABBC ，如图建立空间直角坐标系B xyz ， 由题意得0,0,0B，2,0,0C， 1 0,2,2A ， 1 0,0,2B. 所以 1 2,0, 2BC ， 1 0, 2, 2AB . 所以 11 11 11 1 cos, 2| AB BC AB BC BABC . 故异面直线 1 BC与 1 AB所成角的大小为 3 .-8 （3）易知平面 11 A ACC的一个法向量1,1,0n ， 由 1 1 B M BC ，得 (2 ,0,22 )M. 设 1 1 A N AB ，得 (0,22 ,22 )N ，则( 2 ,22 ,22 )MN 因为/ /MN平面 11 A ACC，所以 0

17、MN n ， 即( 2 ,2 2 ,22 ) (1,1,0)0 ，解得 1 ，所以 1 1 1 A N AB .-12 19(本小题满分 12 分)来源 （1）解：由频率分布直方图可知， 家庭人均年收入在2000,3000)元的家庭数为:0.0450=2 户; 家庭人均年收入在3000,4000)元的家庭数为:0.1050=5 户; 家庭人均年收入在4000,5000)元的家庭数为:0.3250=16 户; 家庭人均年收入在5000,6000)元的家庭数为:0.3050=15 户; 家庭人均年收入在6000,7000)元的家庭数为:0.1850=9 户; 家庭人均年收入在7000,8000)元

18、的家庭数为:0.0650=3 户; 共计 50 户,其中家庭人均年收入不足 5000 元的特困户有:2+5+16=23 户;-2 由题意:X 满足参数为 50,23,10 的超几何分布,所以 EX=1023 50=4.6 户； 即这 10 户中含有“特困户”的户数 X 的数学期望为 4.6（户） ；-4 （2）解：由题意得：x -=1+2+3+4+5+6 6 =3.5,y -=275+365+415+450+470+485 6 =2460 6 =410 6 i=1x i 2=1+4+9+16+25+36=91 6x-2=63.52=73.5 所以：b = 6 i=1x iyi-6x -y- 6

19、 i=1x i 2-6x-2 =9310-63.5410 91-73.5 =9310-8610 91-73.5 = 700 17.5=40 a =y -b x-=410-403.5=270 所以回归直线方程为：y =40 x+270-6 令 x=12,则可知 2019 年 12 月份该家庭人均月纯收入为 40 x12+270=750（元） 由此可知 2020 年第一季度（1 月份，2 月份，3 月份）该家庭人均月纯收入为 750 x2 3=500（元） 从 2020 年 3 月份起，每月的增长率为 a,设从开始 3 月份到 12 月份的月纯收入之和为 S10,则 S10=500+500 x(1

20、+a)+500 x(1+a)2+500 x(1+a)9=500 x1-(1+a) 10 1-(1+a) =500 x(1+a) 10-1 a 由题意应有：500+500+500 x(1+a) 10-1 a 8000 即： (1+a) 10-1 a 14-8 显然 S10是以 a 为自变量的增函数，(1+a) 10-1 a 是以 a 为自变量的增函数 当 a0.15 时，(1+a) 10-1 a 1.15 10-1 0.15 3.05 0.15=20 1 314 显然成立-10 当 0a0.15 时，(1+a) 101+C1 10a+C 2 10a 2+C3 10a 3=1+10a+45a2+1

21、20a3 (1+a)10-1 a 14 10+45a+120a 214120a2+45a-40a -45- 45 2+4x120 x4 240 （舍）或 a-45+ 45 2+4x120 x4 240 -45+62.81 240 =17.81 240 0.074 为了使 2020 年该家庭顺利迈入小康生活，则 a 至少应为 0.08（8%） ；-1212 （说明：若考生未对 a0.15 与 0a0 得：x-2, 由 f(x)-2 f(x)在(-,-2)上单调递增；在(-2,+)上单调递减 fmax(x)=f(-2)=4 e 2,无最小值； (2) g(x)f(a) lnx-ax-a2-3a+1

22、 mea(a+1) lnx-ax mea(a+1) +a2+3a-1 (lnx-ax)min mea(a+1) +a2+3a-1 令(x)= lnx-ax a-1,0) (x)= lnx-ax 在1,+)上单调递增 min(x)=(1)=-a (lnx-ax)min mea(a+1) +a2+3a-1-a mea(a+1) +a2+3a-1 mea(a+1) +a2+4a-10,h(a)在-1,0)上单调递增，若使 h(a)0 恒成立，只需 h(0)0 m1 m-2,0)(0,1 当-m2e 即 m-2e 时, h(a)0 h(a)在-1,0)上单调递减， 若使 h(a)0 恒成立， 只需 h

23、(-1)0 即 -40 m-2e合题意； 当 2-m2e 即-2em-2 时，令 h(a)=0 解得：a=ln(-2 m)(-1,0) 由 h(a)0 得：ln(-2 m)a0 得：-1aln(- 2 m), h(a)在（-1，ln(-2 m)）上单调递增，在（ln(- 2 m)，0）上单调递减 h(a)max=h(ln(-2 m)=ln 2(-2 m)+2ln(- 2 m)-3=(ln(- 2 m)+3)(ln(- 2 m)-1) 由题意：h(a)min0 即：-3ln(-2 m)1 -2e 3m-2e-1 又-2em-2 -2em-2 合题意 综上，m 的取值范围为(-,0)(0,1 法二

24、：离参法 若 a=-1，则-40 恒成立，m0 合题意； 若,则 h(a)a 2+4a-1 ea(a+1) 令 t(a)= a2+4a-1 ea(a+1) 则 t(a)=- (a+2)(a+3)(a-1) ea(a+1)2 a(-1,0) t(a)0 t(a)在(-1,0)上单调递增 由题意：-mt(0)=-1 即 m1 又m0 m 的取值范围为(-,0)(0,1 ( (二二) )选考题：共选考题：共 1010 分。请考生在分。请考生在 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分。一题记分。 22(本小题满分 10 分)选修

25、44：坐标系与参数方程 （1）曲线 1 C的普通方程为 2 2 11xy，令cosx，siny， 可得 1 C的极坐标方程为2sin ， 曲线 2 C的普通方程为 2 2 1 5 x y ，令 cosx ， siny ， 可得 2 C的极坐标方程为 2 2 5 1 4sin .-5 （2）联立 0 与 1 C的极坐标方程得2sinOA， 联立 0 与 2 C的极坐标方程得 2 2 5 1 4sin OB ， 则 2 22 2 5 4sin 1 4sin OAOB 2 2 5 4sin11 1 4sin 2 2 5 214sin12 51 14sin （当且仅当 51 sin 2 时取等号）.

26、所以 22 OAOB的最小值为2 51.-10 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 (1)法一： 2,0 2232,01 2,1 xx f xxxxx xx ， 作出 f x的图象，如图所示： 结合图象， 函数 f x,1上单调递增， 在 1,上单调递减， 又13f ， 53f ， 所以不等式 3f x 的解集是| 15xx .-5 法二： 223f xxx ， 等价于： 0 223 x xx 或 01 223 x xx 或 1 223 x xx ， 解得：10 x 或01x或15x ， 所以不等式 3f x 的解集是| 15xx .-5 (2)由(1)知函数 f x的最大值是 11f，所以 1f x 恒成立. 因为 11 144111a aa a 11 444aa aa ， 当且仅当 1 2 a 时，等号成立. 所以 1 4114af x a .-10