第三章 函数 章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测试卷章末检测试卷( (三三) ) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1函数 f(x) x1 x2 的定义域为( ) A(1，) B1，) C1,2) D1,2)(2，) 答案 D 解析 根据题意有 x10， x20， 解得 x1 且 x2. 2若函数 f(x)x3(xR)，则函数 yf(x)在其定义域上是( ) A单调递减的奇函数 B单调递增的偶函数 C单调递减的偶函数 D单调递增的奇函数 答案 A 解析 方法一 (数形结合法)：先画出 f(x)x3的图像，再将其关于 y 轴对称，得到 yf(x) 的图像如图，

2、由图像得 yf(x)为减函数，由图像关于原点对称得 f(x)为奇函数 方法二 (直接法)：因为 f(x)x3， 所以 f(x)x3， 所以 yx3是单调递减的奇函数 3函数 f(x) x，x0， x2，x0. 若 f()4，则实数 等于( ) A4 或2 B4 或 2 C2 或 4 D2 或 2 答案 B 解析 当 0 时，有 24，2； 当 0 时，有4，4. 因此，4 或 2. 4已知 f x 21 2x3，则 f(6)的值为( ) A15 B7 C31 D17 答案 C 解析 令x 21t，则 x2t2. 将 x2t2 代入 f x 21 2x3， 得 f(t)2(2t2)34t7. 所

3、以 f(x)4x7，所以 f(6)46731. 5已知函数 f(x)ax3bx(a0)满足 f(3)3，则 f(3)等于( ) A2 B2 C3 D3 答案 C 解析 f(x)a(x)3b(x)(ax3bx)f(x)，且 f(x)的定义域为 R， f(x)为奇函数， f(3)f(3)3. 6函数 f(x)ax22x1 在区间(1,1)和(1,2)上分别有一个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(3,1) B. 3 4，1 C. 3，3 4 D(，3) 3 4， 答案 B 解析 方法一 由零点存在定理知，只需满足 f1f10， f1f20， 解得3 4a0，g(x)0，x 2， 时，f(x

4、)0，g(x)0，所以 x 0， 2 时，y f(x) g(x)0. 8若关于 x 的不等式 x24x2a0 在区间(1,4)内有解，则实数 a 的取值范围是( ) A(，2) B(2，) C(6，) D(，6) 答案 A 解析 不等式 x24x2a0 在区间(1,4)内有解等价于 a(x24x2)max，令 g(x)x24x 2，x(1,4)，所以 g(x)g(4)2，所以 a2. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分) 9已知狄利克雷函数 f(x) 1，x是有理数， 0，x是无理数， 则下列结论正确

5、的是( ) Af(x)的值域为0,1 Bf(x)定义域为 R Cf(x1)f(x) Df(x)是奇函数 答案 BC 解析 对 A, f(x)的值域为0,1，故 A 错误对 B, f(x)的定义域为 R.故 B 正确 对 C，当 x 是有理数时，x1 也为有理数，当 x 是无理数时，x1 也为无理数，故 f(x1) f(x)成立故 C 正确对 D, 因为 f(0)1，故 D 错误 10函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，下列说法正确的是( ) Af(0)0 B若 f(2)3，则 f(2)3 C若 f(x)在0，)上有最小值1，则 f(x)在(，0上有最大值 1 D若 f(x)在1，)上为增函

6、数，则 f(x)在(，1上为减函数 答案 ABC 解析 A 项，f(0)0 正确；B 正确；C 项正确，D 不正确，因为奇函数在对称区间上具有相 同的单调性 11已知函数 f(x)ax22ax3(a0)，则( ) Af(3)f(3) Bf(2)f(3) 答案 ACD 解析 f(x)ax22ax3(a0)对称轴为 x1，且在1，)上是增函数， f(3)f(5)f(3)，选项 A 正确；f(2)f(4)f(3)，选项 B 错误； f(4)f(2)，选项 C 正确；f(4)f(3)，选项 D 正确 12具有性质：f 1 x f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足 “倒负”变换

7、的有( ) Ayx1 x Byx1 x Cy x，0x1 Dy1x 1x(x1) 答案 ACD 解析 对于 A：f 1 x 1 x 1 1 x x1 xf(x)，所以函数 yx 1 x符合题意； 对于 B：f(x)x1 x，f 1 x 1 x 1 1 x x1 xf(x)，所以函数 yx 1 x不符合题意； 对于 C：当 0x1，所以有 f 1 x 1 1 x xf(x)， 当 x1 时，f(1)0， 当 x1 时，01 x1，所以有 f 1 x 1 x 1 x f(x)，所以函数 y x，0x1 符合题 意； 对于 D: f 1 x 11 x 11 x x1 1x 1x 1xf(x)， 所以

8、符合题意 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13已知 f(x)为奇函数，g(x)f(x)9，g(2)3，则 f(2)_. 答案 6 解析 根据已知条件，得 g(2)f(2)9，又 f(x)为奇函数，所以f(2)f(2)，则3f(2) 9，解得 f(2)6. 14已知 f(x) x24x，x0， 0，x0， x24x，xx 的解集为_ 答案 (5,0)(5，) 解析 由 f(x)x，得 x24xx， x0 或 x24xx， x5 或5xx，即2x1 时，h(x)x. 当 2x2x，即 x1 或 x2 时，h(x)2x2. 故 h(x) x，2x1， 2x2，x1或x

9、2. 其图像如图中实线部分，当 x2 或 x1 时，为抛物线的一部分，当2x1 时，为线段 由图像可知，当 x 取 1 时，h(x)取最大值 1. 所以 minf(x)，g(x)的最大值为 1.由 h(x)1 20 得 h(x) 1 2，直线 y 1 2与 h(x)的图像的交点 有两个，所以函数 yh(x)1 2有两个零点 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x0 时，f(x)1x 1x. (1)求 f(5)的值； (2)求函数 f(x)的解析式 解 (1)因为函数 f(x)是奇函数，且 x0，则x0 时，f(x)1x

10、 1x x1 1x. 所以 f(x) 1x 1x，x0. 18(12 分)已知函数 f(x)axb，且 f(1)2，f(2)1. (1)求 f(m1)的值； (2)判断函数 f(x)的单调性，并用定义证明 解 (1)由 f(1)2，f(2)1， 得 ab2， 2ab1， 解得 a3，b5，故 f(x)3x5， f(m1)3(m1)53m2. (2)函数 f(x)在 R 上单调递减，证明如下： 任取 x1x2(x1，x2R)， 则 f(x2)f(x1)(3x25)(3x15) 3x13x23(x1x2)， 因为 x1x2，所以 x1x20， 所以 f(x2)f(x1)0， 即 f(x2)0 时，

11、f(x)x22x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图像 解 (1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， 则 f(0)0； 当 x0，因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x)(x)22(x)x22x. 综上，f(x) x22x，x0， 0，x0， x22x，x0)， 将点(0,3)的坐标代入得 a2， 所以 f(x)2(x1)212x24x3. (2)由(1)知 f(x)的对称轴为直线 x1， 所以 2a1a1，所以 0a0 对于任意 x1,1恒成立， 所以 x23x1m 对于任意 x1,1恒成立， 令 g(x)x23x1，x1,1， 则

12、 g(x)ming(1)1， 所以 m 的取值范围为(，1) 21(12 分)某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)， 每小时可获得的利润是 5x13 x 万元 (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 万元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 120 千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大 利润 解 (1)由题意可知，2 5x13 x 30. 所以 5x214x3(5x1)(x3)0， 所以 x1 5或 x3. 又 1x10，所以 3x10. (2)易知获得的利润 y120 x 5x13 x 120 3 x2

13、1 x5 ，x1,10， 令 t1 x 1 10，1 ，则 y120(3t 2t5) 当 t1 6，即 x6 时，ymax610， 故该工厂应该选取 6 千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为 610 万元 22(12 分)已知函数 yxt x有如下性质： 如果常数 t0，那么该函数在(0, t上是减函数，在 t，)上是增函数 (1)已知 f(x)4x 212x3 2x1 ，x0,1，利用上述性质，求函数 f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数 f(x)和函数 g(x)x2a， 若对任意 x10,1， 总存在 x20,1， 使得 g(x2) f(x1)成立，求实数 a

14、的值 解 (1)yf(x)4x 212x3 2x1 2x1 4 2x18， 设 u2x1，x0,1，则 1u3， 则 yu4 u8，u1,3 由已知性质得，当 1u2，即 0 x1 2时，f(x)单调递减； 当 2u3，即1 2x1 时，f(x)单调递增， 所以 f(x)的单调递减区间为 0，1 2 ， 单调递增区间为 1 2，1 ； 由 f(0)3，f 1 2 4，f(1)11 3 ， 得 f(x)的值域为4，3 (2)g(x)x2a 为减函数， 故 g(x)12a，2a，x0,1 由题意得，当 x0,1时，f(x)的值域是 g(x)的值域的子集， 所以 12a4， 2a3， 所以 a3 2.