§3.2（第2课时）零点的存在性及其近似值的求法 学案（含答案）

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1、第2课时零点的存在性及其近似值的求法学习目标1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数. 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤.3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题知识点一函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数yf(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即x0(a，b)，f(x0)0.思考所有函数的图像都是连续不断的吗？试举例说明答案不是，如反比例函数y.知识点二二分法的概念对于在区间a，b上图像连续不断且f(a)f(b)0的

2、函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法知识点三用二分法求函数零点近似值的一般步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间a，b上的图像是_连续不断的，且f(a)f(b)0)，给定近似的精度，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1x0|的一般步骤如下：第一步：_检查|ba|2是否成立，如果成立，取x1，计算结束；如果不成立，转到第二步第二步： 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f 0，取x1，计算结束；若f 0，转到第三步第三步： 若f(a)f 0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有f f(b)

3、0，将的值赋给a，回到第一步1所有函数的零点都可以用二分法来求()2若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.()3用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()4二分法求出的函数的零点都是近似值()一、二分法的适用条件例1下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案A解析按定义，f(x)在区间a，b上是不间断的，且f(a)f(b)0，但函数yf(x)在1,2上也有可能存在一个或多个零点故BCD都正确反思感悟判断函数零点所在区间的方法(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间a，b上的图像是否连续，若连续，看

4、是否存在f(a)f(b)0，若存在，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)f(b)0，但0是f(x)的零点跟踪训练2二次函数f(x)ax2bxc的部分对应值如下表：x32101234f(x)6m4664n6不求a，b，c的值，判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是()A(3，1)和(2,4) B(3，1)和(1,1)C(1,1)和(1,2) D(，3)和(4，)答案A解析因为f(3)60，f(1)40，所以在(3，1)内必有根又f(2)4

5、0，所以在(2,4)内必有根三、用二分法求函数零点的近似解例3用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f (0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)

6、0(0.625,0.75)|0.6250.75|0.1250.12由于|0.6250.75|0.1250且|0.687 50.75|0.062 50.052，所以x0.718 75可作为方程的一个近似解反思感悟用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值跟踪训练3已知函数f(x)x3x2，用二分法求它的一个正实数零点的近似值(精确度0.06)解由f(1)20，可以

7、确定区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表.零点所在区间区间中点中点对应的函数值1,2x01.5f(x0)0.12501.5,1.75x21.625f(x2)0.666 001.5,1.625x31.562 5f(x3)0.252 201.5,1.562 5x41.531 25由表中数据可知，|1.562 51.5|0.062 520.06，所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2，1 B1,0C0,1 D1,2答案A解析由于f(2)30，故可以取区间2，1作为计算的初始区间，用二分法逐次计算2(多选

8、) 已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是()x1235f(x)3120A.(1,2) B1,3 C2,5) D(3,5)答案ABC解析由图表可知，f(1)3，f(2)1，f(3)2，f(5)0.由f(1)f(2)0，可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点；则函数f(x)在1,3上一定有零点；由f(2)f(3)0，可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点；则函数f(x)在2,5)上一定有零点；由f(3)0，f(5)0，可知f(x)在(3,5)上不一定有零点所以函数f(x)在 (3,5) 上不一定存在零点3设用二分法

9、求方程f(x)0在x(1,2)内的近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A(1,1.25) B(1.25,1.5)C(1.5,2) D不能确定答案B解析f(1.5)f(1.25)0，方程的根落在区间(1.25,1.5)上4函数f(x)x2axb有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是_答案a24b解析函数f(x)x2axb有零点，但不能用二分法，函数f(x)x2axb的图像与x轴相切a24b0.a24b.5若方程x22kxk210有两个不相等的实数根介于2与4之间，则k的取值范围为_答案(1,3)解析令f(x)x22kxk21，则二次函数f(x)的图像的对称轴方程为xk，由题意可得解得1k3，即所求的k的取值范围是(1,3)1知识清单：(1)函数零点存在定理(2)二分法的概念(3)求方程的近似解2常见误区：f(a)f(b)0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似解时精确度理解不准确