北京市东城区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷(解析版）

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1、北京市东城区北京市东城区 2019-2020 学年学年九年级（上）期末数学试卷九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分第分第 1-8 题均有四个选项符合题意的选项只有一个题均有四个选项符合题意的选项只有一个 1我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其 中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2如图，在平行四边形 ABCD 中，F 为 BC 的中点，延长 AD 至点 E，使 DE：AD1：3， 连接 EF 交 DC 于点 G，则 SDEG：SCFG等于（ ） A4：9 B2：3 C9

2、：4 D3：2 3抛物线 yax22ax3a（a0）的对称轴是（ ） A直线 xa B直线 x2a C直线 x1 D直线 x1 4 如图， AB 是O 的直径， 点 C， D 是圆上两点， 若AOC126， 则CDB 等于 （ ） A27 B37 C54 D64 5将抛物线 y2x21 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为 （ ） Ay2（x1）2+1 By2（x+1）23 Cy2（x1）23 Dy2（x+1）2+1 6根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是（ ） A B C D 7在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标是（2，0） ，点 B

3、 的坐标是（0，6） ，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到线段 AB若反比例函数 y的图象恰好经过 A 点，则 k 的值是（ ） A9 B12 C15 D24 8如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，使点 A 的对应点 D 恰好落在边 AB 上， 点 B 的对应点为 E，连接 BE，下列四个结论： ACAD；ABEB；BCEC；AEBC； 其中一定正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9写出一个二次函数，其图象满足：开口向下；与 y 轴交于点（0，2） ，这个二次函 数的解析式可以是 10扬州某毛绒

4、玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 m 19 47 91 184 462 921 1379 1846 优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 （精确到 0.01） 11在数学拓展课上，小聪发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平 分该平行四边形的面积如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形，P 是其中 4 个 小正方形的公共顶点，

5、请你在小聪的启发下，经过点 P 画一条直线，把图分成面积相等 的两部分 （画出直线，保留画图痕迹） 12在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y （k0）的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是 13 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣： “今 有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？” 意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根 一尺五寸的小标杆（如图所示） ，它的影长五寸（提示：1 丈10 尺，1 尺10 寸） ，则 竹竿的

6、长为 14如图，O 上三点 A，B，C，半径 OC1，ABC30，O 的切线 PA 交 OC 延长 线于点 P，从现图中选取一条以 P 为端点的线段，此线段的长为 （注明选取的 线段） 15如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，ABC60，AB2，分别以点 A、点 C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积 为 （结果保留 ） 16如图，在O 中，半径 OC6，D 是半径 OC 上一点，且 OD4A，B 是O 上的两 个动点，ADB90，F 是 AB 的中点，则 OF 的长的最大值等于 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分

7、，第 17-20 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 21 题题 4 分，第分，第 22-26 題每小题題每小题 5 分，第分，第 27，28 题每小题题每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （5 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点 （1）请用尺规作图法，在ABC 内，作出ADE，使ADEB，DE 交 AC 于点 E； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若2，AC6，求 AE 的长 18 （5 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 H，A30，CD2，求O 的半径的长 19

8、 （5 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分 对应值如表： x 2 1 0 1 2 y ax2+bx+c t m 2 2 n 根据以上列表，回答下列问题： （1）直接写出 c 的值和该二次函数图象的对称轴； （2）写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ct 的根； （3）若 m1，求此二次函数的解析式 20 （5 分）北京世界园艺博览会（以下简称“世园会” ）于 2019 年 4 月 29 日至 10 月 7 日 在北京市延庆区举行世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了 4 条各具特色的游玩 路线，如表： A B C D 漫步世园

9、会 爱家乡爱园艺 清新园艺之旅 车览之旅 小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这 4 条路线中任意选择一条，每条路线被 选择的可能性相同 （1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率； （2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率 21 （4 分） 如图， 在正方形网格中， 将格点ABC 绕某点顺时针旋转角 （0180） 得到格点A1B1C1，点 A 与点 A1，点 B 与点 B1，点 C 与点 C1是对应点 （1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点 O； （2）直接写出旋转角 的度数 22 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y（x0）的图象和

10、ABC 都在第一象限内，ABAC，BCx 轴，且 BC4，点 A 的坐标为（3，5） （1）若反比例函数 y（x0）的图象经过点 B，求此反比例函数的解析式； （2）若将ABC 向下平移 m（m0）个单位长度，A，C 两点的对应点同时落在反比例 函数图象上，求 m 的值 23 （6 分）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件 30 元的纪念商品，经调查发现， 该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式； （2）若商店按不低于成本价，且不高于 60 元的单价销售，则销售单价定为多少元，才 能使销

11、售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ 24 （6 分）如图，在 RtACB 中，C90，AC3，BC4，O 是 BC 的中点，到点 O 的距离等于BC 的所有点组成的图形记为 G，图形 G 与 AB 交于点 D （1）补全图形并求线段 AD 的长； （2）点 E 是线段 AC 上的一点，当点 E 在什么位置时，直线 ED 与图形 G 有且只有一个 交点？请说明理由 25 （6 分）如图，P 是直径 AB 上的一点，AB6，CPAB 交半圆于点 C，以 BC 为直 角边构造等腰 RtBCD，BCD90，连接 OD 小明根据学习函数的经验，对线段 AP，BC，OD 的长度之间的关

12、系进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点 P 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AP，BC，OD 的长度的 几组值，如下表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 BC 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.45 OD 6.71 7.24 7.07 6.71 6.16 5.33 在 AP，BC，OD 的长度这三个量中确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；

13、 （3）结合函数图象，推断：当 OD2BC 时，线段 AP 的长度约为 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax24ax 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） （1）求点 A，B 的坐标； （2）已知点 C（2，1） ，P（1，a） ，点 Q 在直线 PC 上，且 Q 点的横坐标为 4 求 Q 点的纵坐标（用含 a 的式子表示） ； 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 27 （7 分）在ABC 中，BAC45，CDAB 于点 D，AEBC 于点 E，连接 DE （1）如图 1，当ABC 为锐角三角形时， 依题意补全图形，猜想

14、BAE 与BCD 之间的数量关系并证明； 用等式表示线段 AE，CE，DE 的数量关系，并证明； （2）如图 2，当ABC 为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段 AE，CE，DE 的数量 关系 28 （7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过T 外一点 P 引它的两条切线，切点分别 为 M，N，若 60MPN180，则称 P 为T 的环绕点 （1）当O 半径为 1 时， 在 P1（1，0） ，P2（1，1） ，P3（0，2）中，O 的环绕点是 ； 直线 y2x+b 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，若线段 AB 上存在O 的环绕点，求 b 的取值范围； （2）T 的半径为 1

15、，圆心为（0，t） ，以（m，m） （m0）为圆心，m 为半径 的所有圆构成图形 H，若在图形 H 上存在T 的环绕点，直接写出 t 的取值范围 2019-2020 学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分第分第 1-8 题均有四个选项符合题意的选项只有一个题均有四个选项符合题意的选项只有一个 1我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其 中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据

16、轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找 对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两 部分重合 2如图，在平行四边形 ABCD 中，F 为 BC 的中点，延长 AD 至点 E，使 DE：AD1：3， 连接 EF 交 DC 于点 G，则 SDEG：SCFG等于（

17、 ） A4：9 B2：3 C9：4 D3：2 【分析】根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案 【解答】解：设 DEx，AD3x， 在ABCD 中， ADBC3x， 点 F 为 BC 的中点， CF， DEBC， DEGCFG， （）2（）2， 故选：A 【点评】本题考查相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定， 本题属于基础题型 3抛物线 yax22ax3a（a0）的对称轴是（ ） A直线 xa B直线 x2a C直线 x1 D直线 x1 【分析】利用对称轴方程 x解答 【解答】解：抛物线 yax22ax3a（a0）的对称轴是直线 x1，即 x1 故选：C 【点

18、评】 考查了二次函数的性质， 解答此题时， 利用对称轴方程 x即可求得答案 4 如图， AB 是O 的直径， 点 C， D 是圆上两点， 若AOC126， 则CDB 等于 （ ） A27 B37 C54 D64 【分析】由AOC126，可求得BOC 的度数，然后由圆周角定理，求得CDB 的 度数 【解答】解：AOC126， BOC180AOC54， CDBBOC27 故选：A 【点评】 此题考查了圆周角定理 注意在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半 5将抛物线 y2x21 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为 （ ） Ay

19、2（x1）2+1 By2（x+1）23 Cy2（x1）23 Dy2（x+1）2+1 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可 【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y 将抛物线 y2x21 向左平移 1 个 单位， 再向下平移 2 个单位， 所得抛物线的解析式为 y2 （x+1） 212， 即 y2 （x+1） 23， 故选：B 【点评】 本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律： 左加右减， 上加下减 6根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是（ ） A B C D 【分析】根据三角形内心的定义，三角形内心为三条角平分线的交点，然后利用基本作 图对选项进

20、行判断 【解答】解：三角形内心为三条角平分线的交点，由基本作图得到 B 选项作了两角的角 平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心 故选：B 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线） 也考查了三角形的内心 7在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标是（2，0） ，点 B 的坐标是（0，6） ，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到线段 AB若反比例函数 y的图象恰好经过 A 点，则 k 的值是（ ） A9 B12 C15 D24 【分析】利用网格特点和旋转的性

21、质确定 A的坐标，然后根据反比例函数图象上点的 坐标特征确定 k 的值 【解答】解：如图，线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到线段 AB则 A点的坐标 为（6，4） ， 反比例函数 y的图象恰好经过 A点， k6424 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y（k 为常数，k 0）的图象是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk 8如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，使点 A 的对应点 D 恰好落在边 AB 上， 点 B 的对应点为 E，连接 BE，下列四个结论： ACAD；ABEB；BCEC；AEBC； 其中一定正确

22、的是（ ） A B C D 【分析】根据旋转的性质得到 ACCD，BCCE，ABDE，故错误，正确；得到 ACDBCE，根据三角形的内角和得到AADC，CBE ，求得AEBC，故正确；由于A+ABC 不一定等于 90，于 是得到ABC+CBE 不一定等于 90，故错误 【解答】解：将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC， ACCD，BCCE，ABDE，故错误，正确； ACDBCE， AADC，CBE， AEBC，故正确； A+ABC 不一定等于 90， ABC+CBE 不一定等于 90，故错误 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键 二、填空题（

23、本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9写出一个二次函数，其图象满足：开口向下；与 y 轴交于点（0，2） ，这个二次函 数的解析式可以是 yx2+2（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的性质可得出 a0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出 c 2，取 a1，b0 即可得出结论 【解答】解：设二次函数的解析式为 yax2+bx+c 抛物线开口向下， a0 抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，2） ， c2 取 a1，b0 时，二次函数的解析式为 yx2+2 故答案为：yx2+2（答案不唯一） 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次

24、函数 的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出 a0，c是解题的关键 10扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 m 19 47 91 184 462 921 1379 1846 优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 0.92 （精确到 0.01） 【分析】由表中数据可判断频率在 0.92 左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一 个毛绒玩具是

25、优等品的概率为 0.92 【解答】 解： 从这批毛绒玩具中， 任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 0.92， 故答案为 0.92 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定 位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集 中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是 近似值，随实验次数的增多，值越来越精确 11在数学拓展课上，小聪发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平 分该平行四边形的面积如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形，P 是其中 4 个 小正方形的公共顶

26、点，请你在小聪的启发下，经过点 P 画一条直线，把图分成面积相等 的两部分 （画出直线，保留画图痕迹） 【分析】根据平行四边形的性质和中心对称即可画出图形 【解答】解：如图所示： 沿着经过 P、Q 的直线把图形剪成面积相等的两部分 【点评】本题考查了作图应用与设计作图、平行四边形的性质、中心对称，解决本题 的关键是理解题目中的发现 12在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y （k0）的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是 y1y3y2 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 y1k，y2k，y3k，然后求 出 y1，y2

27、，y3的值，从而得到它们的大小关系 【解答】解：点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y（k0）的 图象上， 1y1k，2y2k，3y3k， y1k，y2k，y3k， 而 k0， y1y3y2 故答案为 y1y3y2 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y（k 为常数，k 0）的图象是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk 13 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣： “今 有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？” 意思就是：有一根竹竿不知道有多

28、长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根 一尺五寸的小标杆（如图所示） ，它的影长五寸（提示：1 丈10 尺，1 尺10 寸） ，则 竹竿的长为 四丈五尺 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论 【解答】解：设竹竿的长度为 x 尺， 竹竿的影长一丈五尺15 尺，标杆长一尺五寸1.5 尺，影长五寸0.5 尺， ， 解得 x45（尺） ， 45 尺四丈五尺 故答案为：四丈五尺 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题 的关键 14如图，O 上三点 A，B，C，半径 OC1，ABC30，O 的切线 PA 交 OC 延长 线于点 P，从现图中选取一条以

29、 P 为端点的线段，此线段的长为 PA（答案不唯 一） （注明选取的线段） 【分析】连接 OA，根据圆周角定理求出AOP，根据切线的性质求出OAP90，解 直角三角形可求出 AP 【解答】解：连接 OA， ABC30， AOC2ABC60， 过点 A 作O 的切线交 OC 的延长线于点 P， OAP90， OAOC1， APOAtan601 故答案为：PA（答案不唯一） 【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的 性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径 15如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，ABC60，AB2，分别以点

30、A、点 C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 2 （结果保留 ） 【分析】根据菱形的性质得到 ACBD，ABOABC30，BADBCD 120，根据直角三角形的性质求出 AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即 可 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，ABOABC30，BADBCD120， AOAB1， 由勾股定理得，OB， AC2，BD2， 阴影部分的面积2222， 故答案为：2 【点评】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键 16如图，在O 中，半径 OC6，D 是半径 OC 上一点，且 OD4A，

31、B 是O 上的两 个动点，ADB90，F 是 AB 的中点，则 OF 的长的最大值等于 2+ 【分析】当点 F 与点 D 运动至共线时，OF 长度最大，因为此时 F 是 AB 的中点，则 OF AB，因为半径不变，当 AB 长度最短时，OF 最大，此时 A、B 关于 OC 对称，解直角 三角形即可求得 OF 的长度 【解答】解：当点 F 与点 D 运动至共线时，OF 长度最大，如图， F 是 AB 的中点， OCAB， 设 OF 为 x，则 DFx4， ABD 是等腰直角三角形， DFABBFx4， 在 RtBOC 中，OB2OF2+BF2， OBOC6， 36x2+（x4）2，解得 x2+或

32、 2（舍去） OF 的长的最大值等于 2+， 故答案为 2+ 【点评】本题考查了垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，确定 点 F 与点 D 运动至共线时，OF 长度最大是解题的关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-20 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 21 题题 4 分，第分，第 22-26 題每小题題每小题 5 分，第分，第 27，28 题每小题题每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （5 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点 （1）请用尺规作图法，在A

33、BC 内，作出ADE，使ADEB，DE 交 AC 于点 E； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若2，AC6，求 AE 的长 【分析】 （1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出ADEB； （2）先利用作法得到ADEB，则可判断 DEBC，然后根据平行线分线段成比例 定理求解 【解答】解： （1）如图，ADE 为所作； （2）ADEB DEBC， ， AE2EC，且 AC6， AE4 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了作图基本作图：熟练掌握基本 作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作 已知角的角平分线；过一点作已知直线

34、的垂线） 18 （5 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 H，A30，CD2，求O 的半径的长 【分析】 连接 BC， 由圆周角定理和垂径定理得出ACB90， CHDHCD， 由直角三角形的性质得出 AC2CH2， ACBC2， AB2BC， 得出 BC2， AB4，求出 OA2 即可 【解答】解：连接 BC，如图所示： AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H， ACB90，CHDHCD， A30， AC2CH2， 在 RtABC 中，A30， ACBC2，AB2BC， BC2，AB4， OA2， 即O 的半径是 2； 【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含 30角的直角

35、三角形的性质、勾股定 理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键 19 （5 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分 对应值如表： x 2 1 0 1 2 y ax2+bx+c t m 2 2 n 根据以上列表，回答下列问题： （1）直接写出 c 的值和该二次函数图象的对称轴； （2）写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ct 的根； （3）若 m1，求此二次函数的解析式 【分析】 （1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与 y 轴的交点，即可求得 c 的 值； （2）根据二次函数的对称性即可求得； （3）根据待定系数法

36、求得即可 【解答】解： （1）根据图表可知： 二次函数 yax2+bx+c 的图象过点（0，2） ， （1，2） ， 对称轴为直线 x，c2； （2）根据二次函数的对称性可知： （2，t）关于对称轴 x的对称点为（3，t） ， 即2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+ct 的两个根； （3）若 m1，则抛物线经过点（1，1） ， （0，2） ， （1，2） ， 代入 yax2+bx+c 得， 解得， 此二次函数的解析式为 yx2x2 【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求 二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键 20 （5 分）北京世界

37、园艺博览会（以下简称“世园会” ）于 2019 年 4 月 29 日至 10 月 7 日 在北京市延庆区举行世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了 4 条各具特色的游玩 路线，如表： A B C D 漫步世园会 爱家乡爱园艺 清新园艺之旅 车览之旅 小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这 4 条路线中任意选择一条，每条路线被 选择的可能性相同 （1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率； （2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率 【分析】 （1）由概率公式即可得出结果； （2）画出树状图，共有 16 种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果 有 4 种

38、，由概率公式即可得出结果 【解答】解： （1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同， 在四条线路中，小美选择路线“清新园艺之旅”的概率； （2）画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一线路游览的结果有 4 种， 则小美和小红恰好选择同一线路游览的概率为 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两 步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21 （4 分） 如图， 在正方形网格中， 将格点ABC 绕某点顺时针旋转角 （0180） 得到

39、格点A1B1C1，点 A 与点 A1，点 B 与点 B1，点 C 与点 C1是对应点 （1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点 O； （2）直接写出旋转角 的度数 【分析】 （1）连接 CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）连接 CO、C1O，结合网格特点可得旋转角COC190 【解答】解： （1）如图所示，点 O 即为所求； （2）如图所示，COC190 【点评】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质 22 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y（x0）的图象和ABC 都在第一象限内，ABAC，BCx 轴，且

40、BC4，点 A 的坐标为（3，5） （1）若反比例函数 y（x0）的图象经过点 B，求此反比例函数的解析式； （2）若将ABC 向下平移 m（m0）个单位长度，A，C 两点的对应点同时落在反比例 函数图象上，求 m 的值 【分析】 （1）根据已知求出 B 与 C 点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的 解析式； （2）表示出相应的平移后 A 与 C 坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解 【解答】解： （1）ABAC，BC4，点 A（3，5） B（1，） ，C（5，） ， 若反比例函数 y（x0）的图象经过点 B，则， 解得，k， 反比例函数的解析式为 y； （2）点 A（3，5） C

41、（5，） ， 将ABC 向下平移 m 个单位长度， A（3，5m） ，C（5，m） ， A，C 两点同时落在反比例函数图象上， 3（5m）5（m） ， m 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握等腰三角形的性质，通过等腰三 角形求出点的坐标是解题的关键 23 （6 分）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件 30 元的纪念商品，经调查发现， 该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式； （2）若商店按不低于成本价，且不高于 60 元的单价销售，则销售单价定为多少元，才 能使销售该商品

42、每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）设 y 与 x 的函数关系式代入两个点的坐标即可求解； （2）根据题意列出二次函数求出顶点坐标即可求解 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b（k0） ， 将（30，100） 、 （45，70）代入，得 解得 故函数关系式为 y2x+160 答：该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y2x+160 （2）由题意，得 w（x30） （2x+160） 2（x55）2+1250 20， 故当 x55 时，w 随 x 的增大而增大， 又 30 x60， 当 x55 时，w 取得最大值，最大值为 1

43、250 元 答：销售单价定为 55 元，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大，最大利润是 1250 元 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用二次函数的性质解决实际 问题 24 （6 分）如图，在 RtACB 中，C90，AC3，BC4，O 是 BC 的中点，到点 O 的距离等于BC 的所有点组成的图形记为 G，图形 G 与 AB 交于点 D （1）补全图形并求线段 AD 的长； （2）点 E 是线段 AC 上的一点，当点 E 在什么位置时，直线 ED 与图形 G 有且只有一个 交点？请说明理由 【分析】 （1）由勾股定理易求得 AB 的长；可连接 CD，由圆周角定理知

44、 CDAB，易知 ACDABC，可得关于 AC、AD、AB 的比例关系式，即可求出 AD 的长 （2）当 ED 与O 相切时，由切线长定理知 ECED，则ECDEDC，那么A 和 DEC 就是等角的余角，由此可证得 AEDE，即 E 是 AC 的中点在证明时，可连接 OD，证 ODDE 即可 【解答】解： （1）如图所示，在 RtACB 中，AC3cm，BC4cm，ACB90， AB5cm； 连接 CD，BC 为直径， ADCBDC90； AA，ADCACB， RtADCRtACB； ， AD； （2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与O 相切； 证明：连接 OD， DE 是 RtADC

45、的中线； EDEC， EDCECD； OCOD， ODCOCD； EDOEDC+ODCECD+OCDACB90； EDOD， ED 与O 相切 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径 的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键 25 （6 分）如图，P 是直径 AB 上的一点，AB6，CPAB 交半圆于点 C，以 BC 为直 角边构造等腰 RtBCD，BCD90，连接 OD 小明根据学习函数的经验，对线段 AP，BC，OD 的长度之间的关系进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点 P 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线

46、段 AP，BC，OD 的长度的 几组值，如下表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 BC 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.45 OD 6.71 7.24 7.07 6.71 6.16 5.33 在 AP，BC，OD 的长度这三个量中确定 AP 的长度是自变量， BC 的长度和 OD 的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，推断：当 OD2BC 时，线段 AP 的长度约为 4.5 【分析】 （1

47、）由图表直接观察并进行分析，即可得出结论； （2）可先在平面直角坐标系内进行描点，再连线即可； （3） 由数形结合的思想， 直接观察图象， 由 x4.5 时所对应的两个函数值即可发现结果 【解答】解： （1）由图表观察，可看出随着 AP 的变化，BC 和 OD 都在发生变化，且都 有唯一确定的值和其对应，所以 AP 的长度是自变量，BC 和 OD 的长度都是这个自变量 的函数， 故答案分别为：AP，BC，OD； （2）如右图，可先描点，再画出如图所示图象； （3）由图象可推断：当 OD2BC 时，线段 AP 的长度约为 4.5， 故答案为：4.5 【点评】本题考查了圆的有关性质，函数的运用等，

48、解题关键是会用数形结合的思想解 决问题 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax24ax 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） （1）求点 A，B 的坐标； （2）已知点 C（2，1） ，P（1，a） ，点 Q 在直线 PC 上，且 Q 点的横坐标为 4 求 Q 点的纵坐标（用含 a 的式子表示） ； 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据抛物线与 x 轴的相交时，y0 即可求点 A，B 的坐标； （2）已知点 C（2，1） ，P（1，a） ，可得直线 PC 解析式，点 Q 在直线 PC 上， 且 Q 点的横坐标为 4即可求 Q 点的纵坐标（用含 a 的式子表示） ； 根据抛物线与线段 PQ