云南、四川、贵州、西藏四省名校2021届高三第一次大联考数学文科试题（含答案）

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1、2021 届四省名校高三第一次大联考届四省名校高三第一次大联考文科数学文科数学试卷试卷 本试卷共 4 页，23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定

2、的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答 题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 AxN|x2x20，则 AB A.1 B.1，2) C.1 D.(1，) 2.已知复数 z 满足 z(1i)2i，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 alog52，bln2，clog5 2 3 ，则 A.abc B.acb C.bac D.b

3、ca 4.曲线 f(x) x e x 在点(2，f(2)处的切线方程为 A.y 2 4 e x 2 2 e B.y 2 4 e x C.y 2 4 e x 2 2 e D.y 2 4 e x 5.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家， 其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七 位，比欧洲早了近千年。为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆 子，用随机模拟的方法估算圆周率 的值。正三角形的边长为 4，若总豆子数 n1000，其中落在圆内的豆 子数 m618，则估算圆周率 的值是(为方便计算3取 1.70， 的值精确到 0.01) A.3.13 B.3.

4、14 C.3.15 D.3.16 6.已知圆 C 过点 A(0，2)且与直线 y2 相切，则圆心 C 的轨迹方程为 A.x24y B.x28y C.x24y D.x28y 7.已知 为锐角，且满足 sincos 3 3 ，则 cos2 的值为 A. 5 3 B. 5 3 C.2 D. 5 3 8.已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A 2 3 ，b2，且ABC 的面积为3，则 a 的值为 A.12 B.8 C.22 D.23 9.在长方形 ABCD 中，AB2，AD1，点 M 在边 CD 上运动，则MA MB的最小值为 A.1 B.0 C.1 D.3 10.一个多面

5、体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为 2 的正 方形，则其表面积为 A.842 B.12 C.1682 D.1222 11.已知圆 C：x2y22x30，直线 l：ykx1 与圆 C 交于 A，B 两点，当弦长 AB 最短时 k 的值为 A.1 B.2 C.1 D.2 12.已知函数 f(x)sinxcos2x，关于函数 yf(x)有下列命题： f( 3 ) 3 4 ； f(x)的图象关于点( 2 ，0)对称； f(x)是周期为 的奇函数； f(x)的图象关于直线 x 2 对称。 其中正确的是 A. B. C. D. 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题

6、两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为 选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13.若 x，y 满足约束条件 xy20 2xy20 y0 ，则 zx2y 的最大值为 。 14.2020 年新冠肺炎疫情期间，为停课不停上教课学习效果，组织了一次网上测试。并利用分层抽样的方法 从高中 3 个年级的学生中随机抽取了 150 人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了 40 人，50 人，若高 三年级有学生 1200 人，则该高中共有学生 人。 15.设双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点为 F，过

7、F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 A，且|OA| 2|AF|，O 为坐标原点，则 C 的离心率为 。 16.在等腰三角形 ABC 中，ABAC2，顶角为 120 ，以底边 BC 所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内 装有一球，则球的最大体积为 。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知数列an为等差数列，且 a12，a2是 a1，a4的等比中项。 (1)求数列an的通项公式； (2)当数列an的公差 d0 时，求数列 n 1 (1)na 的前 n 项和 Tn。 18.(本小题满分 12 分) 西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由

8、鸟类携带，经蚊子传播给人类。1999 年 810 月，美 国纽约首次爆发了 WNV 脑炎流行。 在治疗上目前尚未有什么特效药可用， 感染者需要采取输液及呼吸系统 支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制 WNV 的复制，抑制其对细胞的致病作用。现某药 企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了 5 组实验数据，得到利巴韦林 的投入量 x(千克)和利巴韦林含片产量 y(百盒)的统计数据如下： 由相关系数 r 可以反映两个变量相关性的强弱，|r|0.75，1，认为两个变量相关性很强；|r|0.3，0.75)， 认为两个变量相关性一般；|r|0，0.3)，认为两个变

9、量相关性较弱。 (1)计算相关系数 r，并判断变量 x、y 相关性强弱； (2)根据上表中的数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程ybxa。为了使某组利巴韦林含片产量达到 150 百盒，估计该组应投入多少利巴韦林? 参考数据：66025.69。 参 考 公 式 ： 相 关 系 数r 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy xxyy ， 线 性 回 归 方 程ybxa中 ， 1 2 1 () () , () n ii i n i i xxyy baybx xx 。 19.(本小题满分 12 分) 如图， 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面 AB

10、CD 是菱形， 且 AB 1 2 AA11， E 是棱 AA1的中点， EC3。 (1)求证：平面 EDD1平面 EDC； (2)求三棱锥 D1DEC 的体积。 20.(本小题满分 12 分) 已知 F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，点 P 是 C 的上顶点，且直 线 PF2的斜率为3。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 F2作两条互相垂直的直线 l1，l2。若 l1与 C 交于 A，B 两点，l2与 C 交于 D，E 两点，求|AB|DE| 的最大值。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) 3 2 x3ax2

11、。 (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)设 a1，当 x 1 2 时，f(x)x(kex)，求实数 k 的取值范围。 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程。 在直角坐标系 xOy 中，曲线 D 的参数方程为 2 xt yt (t 为参数，tR)。点 A(1，0)，点 B(1，0)， 曲线 E 上的任一点 P 满足 1 3 PA PB 。以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求曲线 D 的普通方程和曲线 E 的极坐标方程； (2)求点 P 到曲线 D 的距离的最大值。 23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)|3x1|3xa|，g(x)xf(x)，h(x)x25x3。 (1)若 f(x)3 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a(其中 a1)，使得x 3 a ，1 3 ，都有不等式 g(x)h(x)恒成立?若存在，求出 实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。