【新课标I】2020-2021学年高二上第一次月考理科数学试卷（A）含答案

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1、 2020-2021 学年上学期高二第一次月考试卷 理科理科数数学（学（A） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在

2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知点，直线 方程为 ，且直线 与线段相交，求直 线 的斜率的取值范围为（ ） A或 B或 C D 2已知直线与直线 垂直，则实数的值是（ ） A0 B C0或 D或 3已知直线过定点，点 在直线上，则的最小 值是（ ） A B C D 4已知圆的一条斜率为1的切线 ，若与 垂直的直线 平分该圆，则直线 的方程为（ ） A B C D 5若圆 上有且仅有两个点到直线的距离为 ，则半径的 取值范围是（ ） A B C D 6已知实数满足，那么 的最小值为（ ） A B C D 7 已知直线

3、与圆 相交于两点，（为坐标原点） ， 且直线 与直线垂直，则直线 的方程为（ ） A B C D 8数学家欧拉 1765 年在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心 在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知的顶点，若其欧拉线方程为 ，则顶点的坐标为（ ） A B C或 D 9 已知圆与直线 相切， 则圆与直线 相交所得弦长为（ ） A1 B C2 D 10过点作直线 （）的垂线，垂足为 M，己知定点， 则当变化时，线段的长度取值范围是（ ） A B C D 11设点是函数 图象上的任意一点，点满足，则 的最小值为（ ） A B C D 12已知直线与直线 相交于点，线段是圆

4、的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A B C D 3(2,)A( 3, 2)B l 10kxyk lAB lk 3 4 k 4k 3 4 k 1 4 k 3 4 4 k 3 4 4 k 2210axay 320axya 4 3 4 3 1 2 2 3 :20l kxyk M ,P x y210 xy MP 10 3 5 5 63 5 22 :20C xxy+= 1 l 1 l 2 l 2 l 10 xy 10 xy 10 xy 10 xy 22 2 35xyr4320 xy1r 4,64,64,64,6 , x y 250 xy 22 xy 5102 52 10 :40l axyc 22 1

5、6xy ,A B120AOB O l 230 xy l 22 50 xy344 30 xy 3450 xy2450 xy ABC (2,0)A(0,4)B 20 xy C 0, 4（）4,0（）4,0（）4,0（）4,0（） 22 ()4():2xayaC2 220 xyC 40 xy 22 2 3,0P2120 xyR4,2N MN 0, 105 105, 105 10,2 5 5,2 10 P 2 41yx ,Q x y260 xyPQ 5 2452554 1: 310lmxym 2: 310lxmym PAB 22 :(1)(1)4Cxy| 2 3AB |PAPB 3 28 25 28

6、22 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13已知直线经过点，且被圆截得的弦长为，则这条直线的方 程为_ 14过点作直线 的垂线，垂足为，已知点 ，则的取值范围是_ 15直线分别交 轴于两点，点在直线上，则的最 小值是_ 16 已知直线和圆 有以下几个结论： 直线 的倾斜角不是钝角； 直线 必过第一、三、四象限； 直线 能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧； 直线 与圆相交的最大弦长为； 其中正确的是_ （写出所有正确说法的编号） 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6

7、6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）求过点，且满足下列条件的直线方程： （1）倾斜角等于直线的倾斜角的二倍的直线方程； （2）在两坐标轴上截距相等的直线方程 18 （12 分）己知直线 的方程为 （1）求过点，且与直线 垂直的直线 方程； （2）求与直线 平行，且到点的距离为的直线的方程 19 （12 分）已知圆，直线 （1）证明：不论取什么实数，直线 与圆恒交于两点； （2）若直线 与圆相交于、，求的最小值 20 （12 分）已知圆，直线， 2,0P 22 324xy 2 3 5,0P 1

8、21430m xmymm RM 3,11NMN 2360 xy , x y ,A B P 1yx PAPB 2 :140l mxmym m 22 :84160C xyxy l l lC 1 2 lC 4 5 5 (2,3)P 340 xy l 210 xy 3,2Al 1 l l3,0P5 2 l 22 :25C xy: 211740lmxmymmR m l lCABAB 22 :(2)5Cxy :120l mxym mR （1）求证：对，直线 与圆总有两个不同的交点； （2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； （3）是否存在实数，使得圆上有四点到直线 的距离为？若存在，求出的范围

9、；若不 存在，说明理由 21（12 分） 已知直线 恒过定点， 圆经过点和点， 且圆心在直线2 10 xy 上 （1）求定点的坐标与圆的方程； （2） 已知点为圆直径的一个端点， 若另一个端点为点， 问： 在轴上是否存在一点， 使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 22 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆，过点且斜率为k的 直线l与圆O交于不同的两点A，B，点 （1）若直线l的斜率，求线段AB的长度； （2）设直线QA，QB的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值； （3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使，若存在，求出直线 l 的方程； 若不存在，请说明理由

10、 mRlC ,A B ABM m Cl 4 5 5 m :(1)2530()lkxykk R PC (4,0)A P PC PC Q y (0, )Mm PMQm xOy 22 :4O xy0,3P 4 0, 3 Q 2k 1 k 2 k 12 kk 6 3 MOMQ 理科理科数数学（学（A）答案答案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】A 【解析】因为直线 方程为，即， 所以直线 过定点， 根据，直线 与线段相

11、交，可绘出图像： 因为， 所以直线 的斜率的取值范围为或，故选 A 2 【答案】C 【解析】由直线垂直可得，解得或， 本题正确选项 C 3 【答案】B 【解析】直线，即，过定点， 点在直线上， ， 故当时，取得最小值为，故选 B 4 【答案】D 【解析】将圆的一般是方程化为标准方程得， 所以圆心为，半径为， 因为直线与直线 垂直，直线 的斜率为1，所以直线得斜率为， 又因为直线平分该圆，所以直线过圆心， 所以根据直线的点斜式方程得直线的方程为，即， 故选 D 5 【答案】B 【解析】，可得：其圆心为， 根据点到直线距离公式可得到距离为， 设与直线距离是 根据平行线间距离公式可得，解得或， 与直

12、线距离是 的直线有两条：和， 又圆心到距离， 圆心到距离， 如果圆与相交，那么圆也肯定与相交，交点个数多于两个， 于是圆上点到的距离等于 的点不止两个 圆与不相交， 如果圆与的距离小于等于 ， 那么圆与和交点个数和至多为 个， 圆只能与相交，与相离， ，故选 B 6 【答案】A 【解析】由题意知，表示点到坐标原点的距离， l 10kxyk 11yk x l1,1C 3(2,)A( 3, 2)B lAB () 13 4 1 2 CA k - - =- - () () 123 134 CB k - - = - - lk 3 4 k 4k 3220a aa0a 4 3 :20l kxyk120k x

13、y1,2M ,P x y 210 xy 12yx 2 22 2 19 11 225225 55 MPxxxxx 1 5 x MP 3 5 5 2 2 11xy 1,0C 1r 2 l 1 l 1 l 2 l 1 2 l 2 l1,0C 2 l011yx10 xy 22 2 35xyrQ(3, 5)M (3, 5)M4320 xy |12 152| 5 169 d 430 xyC4320 xy 1 |2| 1 169 C 7C 3C 4320 xy 1 4370 xy4330 xy (3, 5)M4370 xy |12 157| 4 169 (3, 5)M4330 xy |12 153| 6 1

14、69 4330 xy4370 xy 4320 xy 1 4330 xy 4370 xy 1 4370 xy4330 xy 1 4370 xy4330 xy 46r 22 xy ( , )x y 又原点到直线的距离为， 所以的距离的最小值为，故选 A 7 【答案】A 【解析】由于直线的斜率，直线的斜率为， 而两直线垂直，所以，得，直线， 由圆的方程可得该圆圆心为，半径， 设圆心到直线 的距离为，则， 由点到直线的距离公式可得，解得， 故所求的直线方程为，即， 故选 A 8 【答案】B 【解析】设 C 坐标，所以重心坐标为， 因此，从而顶点的坐标可以为， 故选 B 9 【答案】D 【解析】圆心到直

15、线的距离为， 因为圆与直线相切， 所以，解得或， 因为，所以， 所以， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交所得弦长为，故选 D 10 【答案】B 【解析】直线可化为， 则直线恒过定点 又垂直于直线，垂足为M 所以M在以为直径的圆周上， 所以该圆的圆心为，半径， 表示该圆上的点与点间的距离， 由圆的性质可知：，且 即，故选 B 11 【答案】B 【解析】函数化简得圆心坐标，半径为 2 所以 12 【答案】D 【解析】由题意得圆的圆心为，半径， 易知直线恒过点，直线恒过，且， 点的轨迹为，圆心为，半径为， 若点为弦的中点，位置关系如图： 连接，由易知 ， 250 xy 22 5 5 21 d

16、22 xy5 230 xy 2k :40l axyc 4 a 21 4 a 2a:240lxyc 22 16xy0,04r ld 1 cos604cos6042 2 dr 22 2 2 5 24 cc d 4 5c 244 50 xy22 50 xy , x y（） 24 (,) 33 xy 2+4 20 33 xy 40 xy C4,0（） 2 220 xy 2 22 2 a d 22 ()4():2xayaC2 220 xy 2 22 2 2 a dr 2a 24 2a 2a2a 22 (2)4xy 40 xy 24 2 2 d C 40 xy 22 22 2lrd 2120 xy220

17、xyy- 2120 xy ( 1,2)E PM2120 xy PE (1,1)B 22 (3 1)15r MN M4,2N （） |NBrMNNBr 22 |= (4 1) +(2 1) = 10BN 105| 10+ 5MN 2 41yx 2 2 1+40 xyy，(1,0) min 1 06 252 5 PQ C1, 1 2r = 1: 310lmxym 3,1 2: 310lxmym 1,3 12 ll P 22 (2)(2)2xy2,2 2 DAB 2PAPBPD CD| 2 3AB ( ) 2 431CD =-= 22 max max 33214 21PDPCCD max max |

18、28 22PAPBPD 故选 D 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】2x或3460 xy 【解析】圆心为，半径，弦长， 设弦心距为d，则由勾股定理，得 若斜率不存在，则直线方程为，圆心距直线距离为 1，满足题意； 若斜率存在，设直线方程为，即， ，解得， 直线方程为， 故答案为或 14 【答案】 【解析】由直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， 因为为垂足，所以为直角三角形，斜边为， 所以在以为直径的圆上运动， 由点可知以为直径的圆圆心为， 半径为， 则的取值范围， 又因为， 所以的取值范围是， 故答案为 15

19、【答案】 【解析】直线分别交轴于两点，则， 设关于直线对称的点为，则，解得， ，当三点共线时等号成立， 故答案为 16 【答案】 【解析】在中，直线 的方程可化为， 于是直线 的斜率为， ，当且仅当时，等号成立， ，直线 的斜率的取值范围是， 直线 的倾斜角不是钝角，故正确； 在中，直线 的方程为，其中， 当时，直线 不过第一、三、四象限，故错误； 在中，直线 的方程为，其中， 圆的方程可化为， 圆的圆心为，半径， 于是圆心到直线 的距离为， 由，得，即， 若直线 与圆相交，则圆截直线 所得的弦所对的圆心角小于， 故直线 不能将圆分割成弧长的比为的两段圆弧，故错误； (3,2) 2r =2 3

20、m 222 () 2 m rd1d 2x (4)yk x40kxyk 2 324 1 1 kk d k 22 441kkk 3 4 k 3460 xy 2x 3460 xy 1310,1310 1 21430m xmymm R 2430mxyxy 240 30 xy xy 1 2 x y 1, 2Q M PQMPQ M PQ 5,0P PQ2, 1C 22 5 102 10 2 r MN CNrMNCNr 22 3211 113CN MN1310,1310 1310,1310 37 2360 xy , x y ,A B3,0A0,2B A 1yx 1 ,A x y 1 3 3 1 22 y x

21、 yx 1 4 x y 11 37PAPBPAPBAB 1 APB 37 l 22 4 11 mm yx mm l 2 1 m k m 2 1 1 2 mm 2 1 21 m k m 1m 0m lk 1 0, 2 l l4yk x 1 0 2 k 0k l l4yk x 1 0 2 k C 22 424xy C4, 2C2r = Cl 2 2 1 d k 1 0 2 k 4 1 5 d 2 r d lCCl 2 3 lC 1 2 在中，由知圆心到直线 的距离， 直线 与圆相交的最大弦长为，故正确， 故答案为 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分

22、分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）； （2）或 【解析】 （1）由题意，可知，所以， 则所以， 所以所求直线的方程为 （2）当直线过原点时方程为，当直线不过原点时方程为， 故所求直线的方程为或 18 【答案】 （1）； （2）或 【解析】 （1）直线 的斜率为，所求直线斜率为， 又过点，所求直线方程为， 即 （2）依题意设所求直线方程为， 点到该直线的距离为，解得或， 所以，所求直线方程为或 19 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）将直线 的方程变形为， 由，解得， 所以，直线 恒过定点 又，所以点在圆内

23、， 所以直线 与圆恒交于两点 （2）圆的圆心为坐标原点，半径为，如下图所示： 当与不垂直时，；当时， 综上所述， 20 【答案】 （1）证明见解析； （2），它是一个以为圆心，以为 半径的圆； （3）存在，或 【解析】 （1）圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离 所以直线 与圆相交， 即直线 与圆总有两个不同的交点或直线的方程可 化为， 无论m怎么变化，直线 过定点， 由于，所以点是圆内一点， 故直线 与圆总有两个不同的交点 （2）设中点为，因为直线恒过定点， 当直线 的斜率存在时， 又， 所以，化简得； Cl 4 5 d lC 2 44 5 2 4 55 332 30 xy 320 x

24、y50 xy 3 tan 3 30 tan2tan603k 332yx 332 30 xy 3 2 yx1 55 xy 320 xy50 xy 270 xy210 xy 2110 xy l2 1 2 3,2A 1 23 2 yx 270 xy 20 xyc 3,0P5 2 2 6 5 21 c 1c 11c 210 xy 2110 xy 2 15 l 2740mxyxy 270 40 xy xy 3 1 x y l3,1M 22 125310 3,1M 22 :25C xy lC CO=5r ABOM dOMABOMdOM 22 1310dOM 2 222 222 25 102 15ABrdr

25、OM 2 211 2 24 xy 1 2, 2 1 2 2m2m 2 2 :25Cxy2,0C 5 C :120l mxym 22 2121 5 11 mm mm lClC :120l mxym 210m xy l2,1 2 2 22115 2,1C lC ,M x y :120l mxym 2,1 l 1 2 AB y k x 2 MC y k x 1 ABMC kk 1 1 22 yy xx 2 211 22 24 xyx 当直线 的斜率不存在时，中点也满足上述方程 所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆 （3）假设存在直线 ，使得圆上有四点到直线 的距离为， 由于圆心，半径为

26、， 则圆心到直线 的距离为， 化简得，解得或 21 【答案】 （1），； （2）存在， 或 【解析】 （1）由，得， 令，得， 即定点的坐标为， 设圆的方程为， 由条件得，解得， 所以圆的方程为 （2）圆的标准方程为， 设点关于圆心的对称点为， 则有，解得， 故点的坐标为 因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点， 若点为直角三角形的顶点，则有， 若点是直角三角形的顶点，则有， 综上，或 22 【答案】 （1）2； （2）证明见解析，定值为0；（3）存在， 【解析】 （1）直线l的斜率，则直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以 （2）设直线l的方程为， 由，有(*) ， 所以， 12

27、12 1 12 1 12 212212 4444 33 3333 55 5 3 = 3 22 3 kk yy xx kk xxx kxkx xxxxx 2 2 561 20 3 15 kk k k ， 所以为定值0 （3）设点，由（2）有， 所以， 又，即， 所以，即， 则有， 整理得，得， ，得， l2,0M 2 211 2 24 xy 1 2, 2 1 2 ll 4 5 5 2,0C 5 2,0C l 22 21214 5 5 5 11 mm mm 2 4m 2m2m (3,1) 22 148400 xyxy5m 65 3 (1)2530kxyk (3)(25)0k xxy 30 250

28、x xy 3 1 x y P (3,1) C 22 0 xyDxEyF 1640 9 1 30 210 22 DF DEF DE 14 8 40 D E F C 22 148400 xyxy C 22 (7)(4)25xy 4 13 734 CP k (3,1)P(7,4) 00 ,x y 0 0 314 18 x y 0 11x 0 7y Q(11,7) MM P 1 3 1 03 4 m 5m Q 7 3 1 0 11 4 m 65 3 m 5m 65 3 386 3 8 yx 2k 23yx 3 3 1 2 d 22 | 22 432ABrd 3ykx 11 ( ,)A x y 22 (

29、,)B xy 22 3 4 ykx xy 22 (1)650kxkx 22 364 (1) 50kk 12 2 6 1 k xx k 12 2 5 1 x x k 12 kk 00 (,)M xy 12 0 2 3 21 xxk x k 2 00 22 33 33 11 k ykx kk 6 3 MOMQ 22 3|2|MOMQ 2222 0000 4 3()2() 3 xyxy 22 000 1632 39 xyy 22 222 3316332 ()() 113 19 k kkk 2 132 19 25k 2 193 32 k 22 364 (1) 50kk 2 5 4 k 则满足条件， 所以满足条件的直线 l 为 2 1935 324 k 386 3 8 yx