2.1.2 演绎推理 学案（含答案）

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1、2.1.2 演绎推理演绎推理 学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式， 并能运用它们进行一些简单 推理 知识点一 演绎推理的含义 思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点 (1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电； (2)一切奇数都不能被 2 整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被 2 整除 答案 都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论 梳理 演绎推理的含义 (1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做 演绎推理 (2)特征：当前提为真时，结论必然为真 知识点二 演绎推理规则 思考 所有的金属都能导电

2、，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分 别是什么？ 答案 分为三段 大前提：所有的金属都能导电； 小前提：铜是金属； 结论：铜能导电 梳理 演绎推理的规则 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M 是 P 小前提 所研究的特殊情况 S 是 M 结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 所以，S 是 P 1演绎推理的结论一定正确( ) 2在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论 是根据一般性原理对特殊情况做出的判断( ) 3大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的( ) 类型一 三种演绎推理的形式 例 1 选择合适的演

3、绎推理规则写出下列推理过程 (1)函数 ysin x(xR)是周期函数； (2)当 k1 时， k k1 k1 k； (3)若 nZ，求证 n2n 为偶数 解 (1)三段论推理：三角函数是周期函数，大前提 ysin x(xR)是三角函数，小前提 ysin x(xR)是周期函数结论 (2)传递性关系推理：当 k1 时， k k1 1 k k1 1 2 k 1 k k1 k1 k. (3)完全归纳推理： n2nn(n1)，当 n 为偶数时，n2n 为偶数， 当 n 为奇数时，n1 为偶数，n2n 为偶数， 当 nZ 时，n2n 为偶数 反思与感悟 对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一

4、的， 在证明等量关系、 不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的 证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理 跟踪训练 1 选择合适的推理规则写出下列推理过程 (1)75 是奇数； (2)平面 ，已知直线 l，l，m，则 lm. 解 (1)三段论推理：一切奇数都不能被 2 整除大前提 75 不能被 2 整除小前提 75 是奇数结论 (2)传递性关系推理：如图，在平面 内任取一点 P(Pm)，l， Pl，则 l 与点 P 确定一平面与 相交，设交线为 a，则 al，同理，在 内任取一点 Q(Q m)，l 与点 Q 确定一平

5、面与 交于 b，则 lb，从而 ab. 由 Pa，Pm，a，而 b，a. 又 a，m，am，lm. 类型二 三段论的应用 命题角度1 用三段论证明几何问题 例 2 如图，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 上的点，BFDA，DEBA，求证：ED AF，写出三段论形式的演绎推理 证明 因为同位角相等，两直线平行，大前提 BFD 与A 是同位角，且BFDA，小前提 所以 FDAE.结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提 DEBA，且 FDAE，小前提 所以四边形 AFDE 为平行四边形结论 因为平行四边形的对边相等，大前提 ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边，小前提

6、所以 EDAF.结论 反思与感悟 (1)用“三段论”证明命题的格式 大前提 小前提 结论 (2)用“三段论”证明命题的步骤 理清证明命题的一般思路 找出每一个结论得出的原因 把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来 跟踪训练 2 已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，如图所示， 求证：EF平面 BCD. 证明 因为三角形的中位线平行于底边，大前提 点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，小前提 所以 EFBD.结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提 EF平面 BCD，BD平面 BCD，EFBD，小前提 所以 EF平面 BCD.

7、结论 命题角度2 用三段论解决代数问题 例 3 设函数 f(x) ex x2axa，其中 a 为实数，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围 解 若函数的定义域为 R，则函数对任意实数恒有意义，大前提 因为 f(x)的定义域为 R，小前提 所以 x2axa0 恒成立，结论 所以 a24a0， 所以 0a4. 即当 0a4 时，f(x)的定义域为 R. 引申探究 若本例的条件不变，求 f(x)的单调增区间 解 f(x)xxa2e x x2axa2， 由 f(x)0，得 x0 或 x2a. 0a4，当 0a0. 在(，0)和(2a，)上，f(x)0. f(x)的单调增区间为(，0)，(

8、2a，) 当 a2 时，f(x)0 恒成立， f(x)的单调增区间为(，) 当 2a4 时，2a0， f(x)的单调增区间为(，2a)，(0，) 综上所述，当 0a2 时，f(x)的单调增区间为(，0)，(2a，)； 当 a2 时，f(x)的单调增区间为(，)； 当 2a1)，证明：函数 f(x)在(1，)上为增函数 证明 f(x)axx13 x1 ax1 3 x1. 所以 f(x)axln a 3 x12. 因为 x1，所以(x1)20，所以 3 x120. 又 a1，所以 ln a0，ax0， 所以 axln a0，所以 f(x)0. 于是，f(x)axx2 x1在(1，)上是增函数. 1

9、下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A两条直线平行，同旁内角互补，如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，则AB 180 B某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人 C由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 D在数列an中，a11，an1 2 an1 1 an1 (n2)，由此归纳出an的通项公式 答案 A 解析 A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比推理 2 指数函数 yax(a1)是 R 上的增函数， y2|x|是指数函数， 所以 y2|x|是 R 上的增函数 以 上推理( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形

10、式错误 D正确 考点 “三段论”及其应用 题点 小前提或推理形式错误导致结论错误 答案 B 解析 此推理形式正确，但是，函数 y2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选 B. 3三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的， 这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是( ) A B C D 答案 D 4把“函数 yx2x1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_； 小前提：_； 结论：_. 答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数yx2x1是二次函数 函数yx2x1的图 象是一条抛物线 5设 m 为实数，利用三段论证明方程 x22mxm10 有两个相异实根 证明 因为如果一元二次方程 ax2bxc0(a0)的判别式 b24ac0， 那么方程有两个 相异实根，大前提 方程 x22mxm10 的判别式 (2m)24(m1)4m24m4 (2m1)230，小前提 所以方程 x22mxm10 有两个相异实根结论 1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果 前提是显然的，则可以省略 2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由 一般到特殊的推理 3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学 结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.