2.1.1 合情推理 学案（含答案）

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1、2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用知识点一推理1推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论(3)推理一般分为合情推理与演绎推理2合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理常用的合情推理有归纳推理和类比推理知识点二归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计

2、总体以上属于什么推理？答案属于归纳推理符合归纳推理的定义特征梳理归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程(2)归纳推理的一般步骤通过观察个别情况发现某些相同性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)知识点三类比推理思考由三角形的性质：三角形的两边之和大于第三边，三角形面积等于高与底乘积的.可推测出四面体具有如下性质：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.该推理属于什么推理？答案类比推理梳理类比推理(1)定义：根据两类

3、不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)(2)类比推理的一般步骤找出两类事物之间的相似性或一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)1类比推理得到的结论可作为定理应用()2由个别到一般的推理为归纳推理()3在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()类型一归纳推理例1(1)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n(nN)个等式可为_(2)已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)

4、(nN)的表达式为_答案(1)1(2)f3(x)fn(x)解析(1)等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n(nN)个等式左边有2n项且正负交错，应为1；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n(nN)个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n(nN)个等式右边应为.(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根据前几项可以猜想fn(x)(nN)引申探究在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn

5、1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”，其他条件不变，试猜想fn(x) (nN)的表达式解f(x)，f1(x).又fn(x)f(fn1(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x).因此，可以猜想fn(x)(nN)反思与感悟(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和通过已知条件求出数列的前几项或前n项

6、和；根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式跟踪训练1(1)已知x1，由不等式x2；x23；x34；，可以推广为()Axnn Bxnn1Cxnn1 Dxnn(2)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；，照此规律，2222_.答案(1)B(2)n(n1)解析(1)不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，右边的数是2,3,4，利用此规律观察所给不等式，都是写成xnn1的形式，从而归纳出一般性结论：xnn1，故选B.(2)观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n1.例2如图，第n个图

7、形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n个图形中顶点的个数为()A(n1)(n2) B(n2)(n3)Cn2 Dn答案B解析由已知图形我们可以得到：当n1时，顶点共有1234(个)，当n2时，顶点共有2045(个)，当n3时，顶点共有3056(个)，当n4时，顶点共有4267(个)，则第n个图形共有顶点(n2)(n3)个，故选B.反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化跟踪训练2黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第

8、n个图案中有黑色地面砖的块数是_答案5n1解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6(n1)55n1.类型二类比推理例3如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则h12h23h34h4，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4)，若K，则H12H23H34H4等于多少？解对平面凸四边形：Sa1h1a2h2a3

9、h3a4h4(kh12kh23kh34kh4)(h12h23h34h4)，所以h12h23h34h4；类比在三棱锥中，VS1H1S2H2S3H3S4H4(KH12KH23KH34KH4)(H12H23H34H4)故H12H23H34H4.反思与感悟(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)平面图形与空间图形的类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体跟踪训练3(1)若数列an(nN)是等差数列，则有数列bn(nN)也是等差数列；类比上述性质，相

10、应地：若数列cn是等比数列，且cn0，则有数列dn_(nN)也是等比数列答案解析数列an(nN)是等差数列，则有数列bn(nN)也是等差数列类比猜想：若数列cn是各项均为正数的等比数列，则当dn时，数列dn也是等比数列(2)如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解如图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2

11、cos S3cos .1有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色两种彩旗排成一行：，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为()A111 B89 C133 D67答案D解析观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗则200922余2，则200个旗子中黄旗的个数为223167.故选D.2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A三角形 B梯形C平行四边形 D矩形答案C解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.3观察下列各式：112,23432,3456752,4567891072，可以得到的一般结论是()An(n

12、1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2答案B4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_答案18解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，则V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.5.在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想并证明解在长方形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21.证明如下：cos2cos2cos22221.1用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明2进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误3多用下列技巧会提高所得结论的准确性(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面