第二章 推理与证明 章末复习 学案（含答案）

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1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 章末复习章末复习 学习目标 1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系， 会利用归纳与类比推理进行简单的推 理.2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题 1合情推理 (1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理 (2)类比推理：由特殊到特殊的推理 (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再 进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 2演绎推理 (1)演绎推理：由一般到特殊的推理 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理 小前提所研究的特殊情况 结论根

2、据一般原理，对特殊情况作出的判断 3直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法 综合法是从已知条件推出结论的证明方法 分析法是从结论追溯到条件的证明方法 (2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法 1归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确( ) 2“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段 论推理，但其结论是错误的( ) 3综合法是直接证明，分析法是间接证明( ) 4反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾( ) 类型一 合情推理的应用 例 1 (1)有一个奇数列 1,

3、3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两 个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；，试观察每组内各数 之和并猜想 f(n)(nN)与组的编号数 n 的关系式为_ 答案 f(n)n3 解析 由于 113，35823，79112733， 131517196443，猜想第 n 组内各数之和 f(n)与组的编号数 n 的关系式为 f(n) n3. (2)在平面几何中，对于 RtABC，ACBC，设 ABc，ACb，BCa，则 a2b2c2； cos2Acos2B1； RtABC 的外接圆半径为 r a2b2 2 . 把上面的结论类比到空间写出

4、相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明 解 选取 3 个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象 设 3 个两两垂直的侧面的面积分别为 S1，S2，S3，底面面积为 S，则 S21S22S23S2. 设 3 个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 ，则 cos2cos2cos21. 设 3 个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为 a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为 R a2b2c2 2 . 下面对的猜想进行证明 如图在四面体 ABCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，平面 ABC，平面 ABD，平面 ACD 为三 个两两垂直的侧面 设 ABa，ACb，ADc， 则在 RtABC 中，BC

5、AB2AC2 a2b2，SRtABC1 2ab. 同理，CD b2c2，SRtACD1 2bc. BD a2c2，SRtABD1 2ac. SBCD 1 4 BC2 BD21 4BC 2BD2CD22 . 经检验，S2RtABCS2RtACDS2RtABDS2BCD. 即所证猜想为真命题 反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些 简单数列的通项公式是数列中的常见方法 (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性 跟踪训练 1 如图是由火柴棒拼成的图形，第 n 个图形由 n 个正方形组成 通过观察可以发现： 第 4

6、个图形中有_根火柴棒； 第 n 个图形中有_根火柴棒 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 13 3n1 解析 设第 n 个图形中火柴棒的根数为 an，可知 a413. 通过观察得到递推关系式 anan13(n2，nN)， 所以 an3n1. 类型二 综合法与分析法 例 2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知 (0，)，求证：2sin 2 sin 1cos . 考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 分析法 要证 2sin 2 sin 1cos 成立， 只需证 4sin cos sin 1cos ， (0，)，sin 0， 只需证 4co

7、s 1 1cos ， 1cos 0， 4cos (1cos )1， 可变形为 4cos24cos 10， 只需证(2cos 1)20，显然成立 综合法 1 1cos 4(1cos )4， 当且仅当 cos 1 2，即 3时取等号， 4cos 1 1cos . (0，)，sin 0， 4sin cos sin 1cos ， 2sin 2 sin 1cos . 反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推， 二者各有优缺点 分析法容易探路， 且探路与表述合一， 缺点是表述易错； 综合法条件清晰， 易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其

8、逻辑基础是充 分条件与必要条件 跟踪训练 2 设 a0，b0，ab1，求证：1 a 1 b 1 ab8.试用综合法和分析法分别证明 证明 (综合法) 因为 a0，b0，ab1， 所以 1ab2 ab， ab1 2，ab 1 4，所以 1 ab4. 又1 a 1 b(ab) 1 a 1 b 2b a a b4， 所以1 a 1 b 1 ab8(当且仅当 ab 1 2时等号成立) (分析法) 因为 a0，b0，ab1， 要证1 a 1 b 1 ab8， 只需证 1 a 1 b ab ab 8， 只需证 1 a 1 b 1 b 1 a 8， 即证1 a 1 b4. 也就是证ab a ab b 4.

9、即证b a a b2， 由基本不等式可知，当 a0，b0 时，b a a b2 恒成立，所以原不等式成立 类型三 反证法 例 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn2. (1)求数列an的通项公式； (2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列 (1)解 当 n1 时，a1S12a12，则 a11. 又 anSn2，所以 an1Sn12， 两式相减得 an11 2an， 所以an是首项为 1，公比为1 2的等比数列， 所以 an 1 2n 1(nN) (2)证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为 ap1， aq1， ar1(pqr， 且p， q， rN)， 则

10、 2 1 2q 1 2p 1 2r，所以 2 2 rq2rp1.(*) 又因为 pq2，求证：1x y 2 或1y x 2 中至少有一个成立 证明 假设1x y 2 和1y x 0 且 y0， 所以 1x2y 且 1y2x， 两式相加，得 2xy2x2y，所以 xy2. 这与已知 xy2 矛盾 故1x y 2 与1y x 0，b0，则有( ) A.b 2 a 2ba B.b 2 a2ba C.b 2 a 2ba D.b 2 a2ba 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C 解析 因为b 2 a(2ba) b22aba2 a ba 2 a 0，所以b 2 a 2ba. 5已

11、知等差数列an的首项为 8，Sn是其前 n 项的和，某同学经计算得 S18，S220，S3 36，S465，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为_ 考点 题点 答案 S456 解析 显然 S1是正确的假设后三个数均未算错， 则 a18，a212，a316，a429，这四项不成等差数列， 但可知前三项成等差数列，故 a4有误，应为 20， 故 S4算错了，S4应为 56. 1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特 殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一 步证明 2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式也是 公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后 者的前提，后者论证前者的可靠性 3 直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法 直接证明的两类基本方法是综合法 和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明 方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用间接证明的一种方法是反证法，反证法 是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.