1.3.1 利用导数判断函数的单调性 学案（含答案）

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1、1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点函数的单调性与其导数思考观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答案(1)在区间(，)内，y10，y是增函数(2)在区间(，0)内，y2x0，y是增函数(3)在区间(，)内，y3x20，y是增函数(4)在区间(，0)内，y0，y是减函数；在区间(0，)内，y0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间(2)如果在(a，b)内，f(x)0(或f(x)0)仅是函数f(x)在

2、某个区间上递增(或递减)的充分条件(2)在区间(a，b)内可导的函数f(x)在区间(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0(或f(x)0)(x(a，b)恒成立且f(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.(3)特别地，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常数函数1函数f(x)在定义域上都有f(x)0.()3如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()类型一判断函数的单调性例1证明：函数f(x)在区间上是单调减函数证明f(x)，又x，cos x0，sin x0，xcos xsin x0，则f(x)(或)0，则f(x)为单调递增(或递

3、减)函数但要特别注意，若f(x)为单调递增(或递减)函数，则f(x)(或)0.跟踪训练1证明：函数f(x)在区间(0，e)上是增函数证明f(x)，f(x).又0xe，ln x0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数类型二利用导数求函数的单调区间例2求f(x)3x22ln x的单调区间解f(x)3x22ln x的定义域为(0，)f(x)6x，由x0，解f(x)0，得x.由x0，解f(x)0，得0x0，函数在解集所表示的定义域内为增函数(4)解不等式f(x)0，函数在解集所表示的定义域内为减函数跟踪训练2函数f(x)(x22x)ex(xR)的单调减区间为_答案(2，2)解析由f(x)(x24x2)

4、ex0，即x24x20，解得2x0，得x1，由f(x)0，得0x0时，f(x)，a0，0，得x1，由f(x)0，得0x0，所以f(x)在(，)上是增函数若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上是减函数，在(ln a，)上是增函数综上所述，当a0时，函数f(x)的单调增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调增区间为(ln a，)，单调减区间为(，ln a)类型三已知函数的单调性求参数的范围例4若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上单调递减，在(6，)上单调递增，求实数a的取值范围考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)解

5、方法一(直接法)f(x)x2axa1，令f(x)0，得x1或xa1.当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上单调递增，不合题意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故实数a的取值范围为5,7方法二(数形结合法) 如图所示，f(x)(x1)x(a1)因为在(1,4)内，f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，所以另一根在4,6上所以即所以5a7.故实数a的取值范围为5,7方法三(转化为不等式的恒成立问题)f(x)x2axa1.因为f(x)在(1

6、,4)上单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以当a7时，f(x)0在(6，)上恒成立综上知5a7.故实数a的取值范围为5,7反思与感悟已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上是单调(减)函数，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上是单调增(减)函数，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)上恒成立，注意验证等号对有限个x成立跟踪训练4(1)已知函数f(x)在(2，)内是单调减函数，则实数a的取值范围为_答

7、案解析因为f(x)，所以f(x).由函数f(x)在(2，)内是单调减函数，得f(x)0在(2，)内恒成立，即0在(2，)内恒成立，因此a.当a时，f(x)，此时函数f(x)为常数函数，故a不符合题意，舍去故实数a的取值范围为.(2)若函数f(x)ax3x2x5的单调减区间是，求实数a的值解因为f(x)3ax22x1，且函数f(x)ax3x2x5的单调减区间是，所以3ax22x10，代入可得a1.1若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能为()考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案C解析由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，单调递

8、减区间为(，1)和(4，)，因此，当x(1,4)时，f(x)0，当x(，1)或x(4，)时，f(x)0，即ln x10，得x.故函数f(x)的单调递增区间为.3下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysin2x ByxexCyx3x Dyxln(1x)答案B解析若yxex，则yexxexex(1x)在(0，)上恒大于0.4已知f(x)x3ax2x1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_答案，解析f(x)3x22ax1，由题意知在R上f(x)0恒成立，则(2a)24(3)(1)0，得a.5试求函数f(x)kxln x的单调区间解函数f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k.当k0时，kx10，f(x)0时，由f(x)0，即0，解得0x0，即0，解得x.当k0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k0时，f(x)的单调递减区间为(0，)；当k0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.1在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间2一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间3当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间4两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接