习题课 导数的应用 学案(含答案)
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1、习题课习题课 导数的应用导数的应用 学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函 数的单调性、极值与最值的综合应用 知识点一 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a,b)内的函数 yf(x): f(x)的正负 f(x)的单调性 f(x)0 单调增函数 f(x)cos x f(x)成 立,则( ) A. 2f 6 f 4 B. 3f 6 f 3 C. 6f 6 2f 4 D. 3f 6 f(x)cos x, 即 f(x)sin xf(x)cos x0, 构造函数 g(x) fx sin x, 则 g(x)fxsin xfxcos x sin2x
2、. 当 x 0, 2 时,g(x)0, 即函数 g(x)在 0, 2 上为单调增函数, g 6 g 3 , 3f 6 f 3 , 故选 D. 反思与感悟 解决比较函数值大小题目的关键是构造出恰当的函数,求出该函数的导数,利 用单调性进而确定函数值的大小 跟踪训练 1 已知定义域为 R 的奇函数 yf(x)的导函数为 yf(x),当 x0 时,f(x)fx x 0,若 a1 2f 1 2 ,b 2f( 2),c ln 1 2 f ln 1 2 ,则 a,b,c 的大小关系正确的是( ) Aacb Bbca Cabc Dcab 答案 B 解析 令 g(x)xf(x), 则 g(x)xf(x)xf(
3、x), g(x)是偶函数 g(x)f(x)xf(x), f(x)fx x 0 时,xf(x)f(x)0, 当 x0. g(x)在(0,)上是减函数 1 2ln 21 2, g( 2)g(ln 2)g 1 2 . g(x)是偶函数, g( 2)g( 2),g ln 1 2 g(ln 2), g( 2)g ln 1 2 f(x), 且 f(0)2, 则不等 式 f(x)f(x),g(x)0, 即函数 g(x)在定义域上为单调减函数 f(0)2,g(0)f(0)2, 则不等式等价于 g(x)0,不等式的解集为(0,),故选 C. 反思与感悟 构造恰当的函数并判断其单调性,利用单调性求解不等式 跟踪训
4、练 2 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数且 f(1)0,其导函数记为 f(x),当 x0 时,满足 xf(x)f(x)0,则 f(x)0 的解集为_ 答案 (1,0)(1,) 解析 构造函数 g(x)fx x , 由 f(x)是奇函数, 所以 g(x)是偶函数, 因为 g(x)xfxfx x2 , 当 x0 时,g(x)0,则 g(x)为增函数, 由此可画出 g(x)的草图,如图, 所以 f(x)0 的解集为(1,0)(1,) 类型二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 例 3 已知 f(x)axln x,x(0,e,g(x)ln x x ,其中 e 是自然对数的底数,aR. (1
5、)当 a1 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)求证:在(1)的条件下,f(x)g(x)1 2; (3)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由 (1)解 因为 f(x)xln x,f(x)11 x x1 x , 所以当 0x1 时,f(x)0, 此时函数 f(x)为单调减函数, 当 10, 此时函数 f(x)为单调增函数, 所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1. (2)证明 因为函数 f(x)的极小值为 1,即函数 f(x)在(0,e上的最小值为 1. 又 g(x)1ln x x2 , 所以当 0x0, 此时 g(x)为单调增函
6、数 所以 g(x)的最大值为 g(e)1 e1 2. 所以在(1)的条件下,f(x)g(x)1 2. (3)解 假设存在实数 a,使 f(x)axln x,x(0,e有最小值 3, 则 f(x)a1 x ax1 x , 当 a0 时,f(x)0,f(x)在(0,e上为单调减函数, f(x)minf(e)ae13,a4 e(舍去), 此时函数 f(x)的最小值不是 3. 当 01 ae 时,f(x)在 0,1 a 上为单调减函数, f(x)在 1 a,e 上为单调增函数, 所以 f(x)minf 1 a 1ln a3,ae2,满足条件 当1 ae 时,f(x)在(0,e上为单调减函数, f(x)
7、minf(e)ae13,a4 e(舍去), 此时函数 f(x)的最小值不是 3. 综上可知,存在实数 ae2,使 f(x)的最小值是 3. 反思与感悟 (1)求极值时一般需确定 f(x)0 的点和单调性,对于常见连续函数,先确定 单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点 (2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直 接与端点的函数值比较即可求得最值 跟踪训练 3 已知函数 f(x)1 xaln x(a0,aR) (1)若 a1,求函数 f(x)的极值和单调区间; (2)若在区间(0,e上至少存在一点 x0,使得 f(
8、x0)0 成立,求实数 a 的取值范围 解 (1)f(x) 1 x2 a x ax1 x2 , 当 a1 时,f(x)x1 x2 ,令 f(x)0,得 x1,又 f(x)的定义域为(0,), 当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,) f(x) 0 f(x) 极小值 当 x1 时,f(x)的极小值为 1. f(x)的单调增区间为(1,),单调减区间为(0,1) (2)f(x)ax1 x2 (a0,aR) 令 f(x)0,得 x1 a, 若在区间(0,e上存在一点 x0,使得 f(x0)0 成立, 其充要条件是 f(x)在区间(0,e上的最小值小于 0.
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