2.1.1 合情推理 学案（人教B版高中数学选修2-2）

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1、2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理合情推理 学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理 在数学发现中的作用 知识点一 推理 1推理的概念与分类 (1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理 (2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出 的判断，叫做结论 (3)推理一般分为合情推理与演绎推理 2合情推理 前提为真时， 结论可能为真的推理， 叫做合情推理 常用的合情推理有归纳推理和类比推理 知识点二 归纳推理 思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，

2、猜想：一切金属都能导电 (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体 以上属于什么推理？ 答案 属于归纳推理符合归纳推理的定义特征 梳理 归纳推理 (1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性 质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程 (2)归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想) 知识点三 类比推理 思考 由三角形的性质： 三角形的两边之和大于第三边， 三角形面积等于高与底乘积的 1 2. 可推测出四面体具有如下性质： (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四

3、个面的面积， (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的1 3. 该推理属于什么推理？ 答案 类比推理 梳理 类比推理 (1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类 事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比) (2)类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想) 1类比推理得到的结论可作为定理应用( ) 2由个别到一般的推理为归纳推理( ) 3在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( ) 类型一 归纳推理 命题角度1 数、式中的归纳推理 例 1

4、 (1)观察下列等式： 11 2 1 2， 11 2 1 3 1 4 1 3 1 4， 11 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4 1 5 1 6， ， 据此规律，第 n 个等式可为_ (2)已知 f(x) x 1x，设 f1(x)f(x)，fn(x)fn 1(fn1(x)(n1，且 nN)，则 f3(x)的表达式为 _，猜想 fn(x)(nN)的表达式为_ 答案 (1)11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n (2)f3(x) x 14x fn(x) x 12n 1x 解析 (1)等式左边的特征：第 1 个有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个

5、有 6 项，且正负交错， 故第 n 个等式左边有 2n 项且正负交错，应为 11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n；等式右边的特 征：第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n 个等式右边有 n 项，且由前几个 等式的规律不难发现，第 n 个等式右边应为 1 n1 1 n2 1 2n. (2)f(x) x 1x，f1(x) x 1x. 又fn(x)fn1(fn1(x)， f2(x)f1(f1(x) x 1x 1 x 1x x 12x， f3(x)f2(f2(x) x 12x 12 x 12x x 14x， f4(x)f3(f3(x) x 14x 14 x

6、 14x x 18x， f5(x)f4(f4(x) x 18x 18 x 18x x 116x， 根据前几项可以猜想 fn(x) x 12n 1x. 引申探究 在本例(2)中， 若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”， 其他条件不变， 试猜想 fn(x) (nN)的表达式 解 f(x) x 1x，f1(x) x 1x. 又fn(x)f(fn1(x)， f2(x)f(f1(x) x 1x 1 x 1x x 12x， f3(x)f(f2(x) x 12x 1 x 12x x 13x， f4(x)f(f3(x) x 13x 1 x 13x x 14x. 因此，可以猜

7、想 fn(x) x 1nx. 反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给 几个等式(或不等式)中结构形成的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳 推理得出一般结论 (2)数列中的归纳推理： 在数列问题中， 常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和 通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和； 根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序 号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式 跟踪训练 1 (1)已知 x1，由不等式 x1 x2；x 22 x3；x 33 x4；，

8、可以推广为( ) Axnn xn Bxnn xn1 Cxnn1 x n1 Dxnn1 x n (2)观察下列等式： sin 3 2 sin 2 3 24 312； sin 5 2 sin 2 5 2 sin 3 5 2 sin 4 5 24 323； sin 7 2 sin 2 7 2 sin 3 7 2 sin 6 7 24 334； sin 9 2 sin 2 9 2 sin 3 9 2 sin 8 9 24 345； ， 照此规律， sin 2n1 2 sin 2 2n1 2 sin 3 2n1 2 sin 2n 2n1 2_. 答案 (1)B (2)4 3n(n1) 解析 (1)不等式

9、左边是两项的和，第一项是 x，x2，x3，右边的数是 2,3,4，利用此 规律观察所给不等式， 都是写成 xnn xn1 的形式， 从而归纳出一般性结论： x nn xn1， 故选 B. (2)观察等式右边的规律：第 1 个数都是4 3，第 2 个数对应行数 n，第 3 个数为 n1. 命题角度2 几何中的归纳推理 例 2 如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第 n 个图形中顶 点的个数为( ) A(n1)(n2) B(n2)(n3) Cn2 Dn 答案 B 解析 由已知图形我们可以得到： 当 n1 时，顶点共有 1234(个)， 当 n2 时，顶点共有 2

10、045(个)， 当 n3 时，顶点共有 3056(个)， 当 n4 时，顶点共有 4267(个)， ， 则第 n 个图形共有顶点(n2)(n3)个， 故选 B. 反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系 (2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发 生了怎样的变化 跟踪训练 2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案 中有黑色地面砖的块数是_ 答案 5n1 解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为 6，公差为 5 的等差数列，从而第 n 个图

11、案中黑色地面砖的块数为 6(n1)55n1. 类型二 类比推理 例 3 如图所示，面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i1,2,3,4)，此四边形 内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i1,2,3,4)，若a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 k，则 h12h23h34h42S k ， 类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i1,2,3,4)，若S1 1 S2 2 S3 3 S4 4 K，则 H12H23H34H4等于 多少？ 解 对平面凸四边形： S1 2a

12、1h1 1 2a2h2 1 2a3h3 1 2a4h4 1 2(kh12kh23kh34kh4) k 2(h12h23h34h4)， 所以 h12h23h34h42S k ； 类比在三棱锥中， V1 3S1H1 1 3S2H2 1 3S3H3 1 3S4H4 1 3(KH12KH23KH34KH4) K 3(H12H23H34H4) 故 H12H23H34H43V K . 反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以 从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的 相关结论 (2)平面图形与空间图形的类比如下： 平面图形 点

13、 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体 跟踪训练 3 (1)若数列an(nN)是等差数列，则有数列 bna1a2an n (nN)也是 等差数列；类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列，且 cn0，则有数列 dn _(nN)也是等比数列 答案 n c1c2c3cn 解析 数列an(nN)是等差数列， 则有数列 bna1a2an n (nN)也是等差数列 类 比猜想：若数列cn是各项均为正数的等比数列，则当 dnnc1c2c3cn时，数列dn也是等 比数列 (2)如图所示，在ABC 中，射影定理可表示为 ab cos Cc cos B，其中 a，b，c

14、 分别为角 A，B，C 的对边类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想 解 如图所示，在四面体 PABC 中，设 S1，S2，S3，S 分别表示PAB，PBC，PCA， ABC 的面积， ， ， 依次表示面 PAB， 面 PBC， 面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 SS1 cos S2 cos S3 cos . 1有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色两种彩旗排成一行： ， 那么在前 200 个彩旗中黄旗的个数为( ) A111 B89 C133 D67 答案 D 解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为 9，每 9 个

15、旗子中有 3 个 黄旗则 200 922 余 2，则 200 个旗子中黄旗的个数为 223167.故选 D. 2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A三角形 B梯形 C平行四边形 D矩形 答案 C 解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行， 故选 C. 3观察下列各式：112,23432,3456752,4567891072， 可以得到的一般结论是( ) An(n1)(n2)(3n2)n2 Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 Cn(n1)(n2)(3n1)n2 Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2 答案 B 4已知

16、 a11，a21 3，a3 1 6，a4 1 10，则数列an的一个通项公式 an等于( ) A. 2 n12 B. 2 nn1 C. 2 2n1 D. 2 2n1 答案 B 解析 a1 2 12，a2 2 23，a3 2 34，a4 2 45， 则 an 2 nn1. 5.在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 ，cos2cos21，则在立 体几何中，给出类比猜想并证明 解 在长方形 ABCD 中， cos2cos2 a c 2 b c 2a 2b2 c2 c 2 c21. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 ，则 cos2 cos2cos

17、21. 证明如下： cos2cos2cos2 m l 2 n l 2 g l 2 m 2n2g2 l2 l 2 l21. 1用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例， 所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明 2进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表 面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误 3多用下列技巧会提高所得结论的准确性 (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些 (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性 (3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面