1.3.2 杨辉三角 学案(人教B版高中数学选修2-3)
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1、1.3.2 杨辉三角杨辉三角 学习目标 1.了解杨辉三角, 会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2. 理解二项式系数的性质并灵活运用 知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质 (ab)n的展开式的二项式系数,当 n 取正整数时可以表示成如下形式: 思考 1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律? 答案 在同一行中, 每行两端都是 1, 与这两个 1 等距离的项的系数相等; 在相邻的两行中, 除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 思考 2 计算每一行的系数和,你又能看出什么规律? 答案 2,4,8,16,32,64,其系数和为 2n. 思考 3 二项式系数的最大值有
2、何规律? 答案 当 n2,4,6 时,中间一项最大,当 n3,5 时中间两项最大 梳理 (1)二项式系数表及特征 当 n 依次取 1,2,3,时,(ab)n展开式的二项式系数如图所示: 图中所示的表叫做二项式系数表,它有这样的规律: 每一行的两端都是 1; 除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,即 Cm n1C m1 n Cm n. (2)二项式系数的性质 1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列( ) 2二项式展开式的二项式系数和为 C1nC2nCnn.( ) 3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同( ) 类型一 与杨辉三角有关的问题 例 1 如图所示,在“杨辉三角”中,
3、从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列: 1,2,3,3,6,4,10,5,记其前 n 项和为 Sn,求 S16的值 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 解 由题意及杨辉三角的特点可得 S16(12)(33)(64)(105)(369) (C22C12)(C23C13)(C24C14)(C29C19) (C22C23C24C29)(239) C310829 2 164. 引申探究 本例条件不变,若改为求 S21,则结果如何? 解 S21(12)(33)(64)(5511)66(C22C12)(C23C13)(C24C14) (C211C111)C212(C22C23C24C
4、212)(2311) C31321110 2 28665351. 反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 跟踪训练 1 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第_行中从左至右的 第 14 个数与第 15 个数的比为 23. 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 34 解析 由题意设第 n 行的第 14 个数与第 15 个数的比为 23,它等于二项展开式的第 14 项 和第 15 项的二项式系数的比,所以 C13 nC 14 n23,即 14 n13 2 3,解得 n34,所以在第 34 行中,从左至右第 14 个数与第 15 个数的比为 23. 类型二 二项式
5、系数和与项的系数和问题 例 2 设(2 3x)100a0a1xa2x2a100 x100,求下列各式的值 (1)a0; (2)a1a2a3a4a100; (3)a1a3a5a99; (4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2; (5)|a0|a1|a100|. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令 x0,则展开式为 a02100. (2)令 x1, 可得 a0a1a2a100(2 3)100, 所以 a1a2a100(2 3)1002100. (3)令 x1, 可得 a0a1a2a3a100(2 3)100. 与式联立相减得 a1a3a992 3 10
6、02 3100 2 . (4)由可得,(a0a2a100)2(a1a3a99)2(a0a1a2a100)(a0a1a2 a100)(2 3)100 (2 3)1001. (5)|a0|a1|a100|, 即(2 3x)100的展开式中各项系数的和, 在(2 3x)100的展开式中, 令 x1,可得各项系数的和为(2 3)100. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n,(ax2bxc)m(a,b,cR,m,nN)的式子求其展开式的各项系数之 和,常用赋值法,只需令 x1 即可;对(axby)n(a,bR,nN)的式子求其展开式各项系 数之和,只需令 xy1 即可 (2)
7、一般地,若 f(x)a0a1xa2x2anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1), 奇数项系数之和为 a0a2a4f1f1 2 , 偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 . 跟踪训练 2 在二项式(2x3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9. (1)二项式系数之和为 C09C19C29C9929. (2)各项系数之和为 a0a1a2a9, 令 x1,y1, 所以 a0a1a2a9(23)91. (3
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