1.1 基本计数原理(二) 学案(人教B版高中数学选修2-3)
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1、1.1基本计数原理(二)学习目标巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题知识点一分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理任务做一件事步骤完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法完成它需要分成n个步骤,做第一个步骤有m1种不同的方法,做第二个步骤有m2种不同的方法,做第n个步骤有mn种不同的方法结果完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法知识点二两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完
2、成一件事的方法种类不同点分类完成,类类相加分步完成,步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立,不重不漏步步相依,步骤完整类型一组数问题例1用0,1,2,3,4五个数字:(1)可以排成多少个三位数字的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用解(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有55553125(种)排法(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除
3、0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有455100(种)排法(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4312(种)排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有23318(种)排法因而有121830(种)排法即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个
4、还有3个可任取一个,有3种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法由分步乘法计数原理知,共有233236(个)反思与感悟对于组数问题,应掌握以下原则(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位跟踪训练1(1)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有_个(用数字作答)考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答
5、案14解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以符合题意的四位数有24214(个)(2)我们把各数位上数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013),则“六合数”中首位是2的有_个考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案15解析设满足题意的“六合数”为“2abc”,则abc4,于是满足条件的a,b,c可分以下四种情况:一个为4,两个为0,共3种;一个为3,一个为1,一个为0,共有3216(种);两个为2,一个为0,共有3种;一个为2,两个为1,共有3种则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个类型二抽取(分配)问题例23个不同的小球放
6、入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题解方法一(以小球为研究对象)分三步来完成:第一步:放第一个小球有5种选择;第二步:放第二个小球有4种选择;第三步:放第三个小球有3种选择,根据分步乘法计数原理得总方法数N54360.方法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5,分成以下10类:第一类:空盒子标号为:(1,2):选法有3216(种);第二类:空盒子标号为:(1,3):选法有3216(种);第三类:空盒子标号为:(1,4):选法有3216(种);分类还有以下几种情况:(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4
7、),(3,5),(4,5),共10类,每一类都有6种方法根据分类加法计数原理得总方法数N66660.反思与感悟解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行;间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练2高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有()A16种 B18种
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