2.2.3 独立重复试验与二项分布 学案(人教B版高中数学选修2-3)
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1、2.2.3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 学习目标 1.理解 n 次独立重复试验的模型及其意义.2.理解二项分布, 并能解决一些简单的 实际问题.3.会求 n 次独立重复试验及二项分布的概率 知识点一 n 次独立重复试验 思考 1 要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验其前提是什么? 答案 条件相同 思考 2 试验结果有哪些? 答案 正面向上或反面向上,即事件发生或者不发生 思考 3 各次试验的结果有无影响? 答案 无影响,即各次试验相互独立 梳理 n 次独立重复试验 (1)前提条件:在相同的条件下,重复地做 n 次试验,各次试验的结果相互独立 (2)概率公式:若一次试验中
2、事件 A 发生的概率为 p,则在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好 发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)n k(k0,1,2,n) 知识点二 二项分布 在体育课上, 某同学做投篮训练, 他连续投篮 3 次, 每次投篮的命中率都是 0.8, 用 Ai(i1,2,3) 表示第 i 次投篮命中这个事件,用 Bk表示仅投中 k 次这个事件 思考 1 用 Ai如何表示 B1,并求 P(B1) 答案 B1(A1 A2 A3)( A1A2 A3)( A1 A2A3), 因为 P(A1)P(A2)P(A3)0.8, 且 A1 A2 A3, A1A2 A3, A1 A2A3两两互斥, 故 P(
3、B1)0.80.220.80.220.80.22 30.80.220.096. 思考 2 试求 P(B2)和 P(B3) 答案 P(B2)30.20.820.384, P(B3)0.830.512. 思考 3 由以上问题的结果你能得出什么结论? 答案 P(Bk)Ck30.8k0.23 k(k0,1,2,3) 梳理 二项分布 事件 A 发生的次数设为 X,事件 A 发生的概率为 p,不发生的概率为 q1p,那么在 n 次 独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(Xk)Cknpkqn k,其中 k0,1,2,n. 于是得到 X 的分布列 X 0 1 k n P C0np0qn C1
4、np1qn 1 Cknpkqn k Cnnpnq0 由于表中的第二行恰好是二项式展开式(qp)nC0np0qnC1np1qn 1Ck np kqnkCn n pnq0的各对应项的值, 所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记作 X B(n,p) 1有放回地抽样试验是独立重复试验( ) 2在 n 次独立重复试验中,各次试验的结果相互没有影响( ) 3在 n 次独立重复试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同( ) 4如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 P(Xk)Cknpk(1p)n k,k0,1,2
5、,n.( ) 类型一 独立重复试验的概率 例 1 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是2 3和 3 4,假设每次射击是否击中目标, 相互之间没有影响(结果需用分数作答) (1)求甲射击 3 次,至少有 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 2 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 解 (1)记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1,由题意,知射击 3 次,相当于 3 次独立重复试验,故 P(A1)1P( A1)1 2 3 319 27. (2)记“甲射击 2 次,恰有
6、2 次击中目标”为事件 A2,“乙射击 2 次,恰有 1 次击中目标”为 事件 B2,则 P(A2)C22 2 3 24 9,P(B2)C 1 2 3 4 1 13 4 3 8,由于甲、乙射击相互独立, 故 P(A2B2)4 9 3 8 1 6. 引申探究 1在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标 1 次的概率 解 记“甲击中目标 1 次”为事件 A3, “乙击中目标 1 次”为事件 B3, 则 P(A3)C122 3 1 3 4 9,P(B3) 3 8, 所以甲、乙均击中目标 1 次的概率为 P(A3B3)4 9 3 8 1 6. 2在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中 2 次的概率
7、解 记“甲未击中目标”为事件 A4,“乙击中 2 次”为事件 B4,则 P(A4)C02 12 3 21 9, P(B4)C22 3 4 29 16,所以甲未击中、乙击中 2 次的概率为 P(A4B4) 1 9 9 16 1 16. 反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤 (1)判断:依据 n 次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验 (2)分拆:判断所求事件是否需要分拆 (3)计算:就每个事件依据 n 次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公 式计算 跟踪训练 1 某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位): (1)“5 次预报
8、中恰有 2 次准确”的概率; (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 解 (1)记“预报一次准确”为事件 A, 则 P(A)0.8, 5 次预报相当于 5 次独立重复试验 “恰有 2 次准确”的概率为 PC250.820.230.051 20.05, 因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05. (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准确” 其概率为 PC05(0.2)5C150.80.240.006 72. 所以所求概率为 1P10.006 720
9、.99. 所以“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率约为 0.99. 类型二 二项分布 命题角度 1 求二项分布的分布列 例 2 某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通过初审予以 录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致 时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用设应聘人员获得 每位初审专家通过的概率均为1 2,复审能通过的概率为 3 10,各专家评审的结果相互独立 (1)求某应聘人员被录用的概率; (2)若 4 人应聘,设 X 为被录用的人数,试求随机变量 X 的分布列 解 设“两位专家都同意通过”为事
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