2.1.3 超几何分布 学案（人教B版高中数学选修2-3）

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1、2.1.3 超几何分布超几何分布 学习目标 1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.掌握超几何分布的特点， 并能简单的应用 知识点 超几何分布 已知在 8 件产品中有 3 件次品，现从这 8 件产品中任取 2 件，用 X 表示取得的次品数 思考 1 X 可能取哪些值？ 答案 X0,1,2. 思考 2 X1 表示的试验结果是什么？求 P(X1)的值 答案 任取 2 件产品中恰有 1 件次品，P(X1)C 1 3C 1 5 C28 . 思考 3 如何求 P(Xk)(k0,1,2)? 答案 P(Xk)C k 3C 2k 5 C28 (k0,1,2) 梳理 超几何分布 一般地，设有总数为

2、 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所有物品中任取 n 件 (nN)， 这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量，它取值为 m 时的概率为 P(Xm) Cm MC nm NM CnN (0ml，l 为 n 和 M 中较小的一个)，则称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分 布为超几何分布，也称 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布. 类型一 利用超几何分布公式求概率 例 1 已知某车间生产的 8 件产品中，有 2 件不合格若从中任取 2 件产品进行质检，则至 少有 1 件产品不合格的概率是多少？ 解 用 X 表示抽取的 2 件产品中不合格产品的件数，则 X 服从超几何分

3、布，记“至少有一件 产品不合格”为事件 A. 方法一 A 由 X1，X2 两个互斥事件构成 P(X1)C 1 2C 1 6 C28 3 7，P(X2) C22C06 C28 1 28， P(A)P(X1)P(X2)3 7 1 28 13 28. 方法二 记“2 件产品中没有不合格产品”为事件 A . 则 P( A )P(X0)C 0 2C 2 6 C28 15 28， P(A)1P( A )115 28 13 28. 反思与感悟 若随机变量服从超几何分布，则可先确定相应参数，再直接套用公式求解相应 变量对应的概率 跟踪训练 1 在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10

4、个红球和 20 个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出 5 个球，至少摸到 3 个红球中奖，求中 奖的概率(结果保留两位小数) 解 设摸出红球的个数为 X，则 X 服从超几何分布，其中 N30，M10，n5. 于是中奖的概率为 P(X3)P(X3)P(X4)P(X5) C 3 10C 53 3010 C530 C 4 10C 54 3010 C530 C 5 10C 55 3010 C530 12019021020252 C530 27 252 142 5060.19. 类型二 求超几何分布的分布列 例 2 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了 两种不

5、同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公 司要求此员工一一品尝后， 从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料 若 4 杯都选对， 则月工资定为 3 500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2 800 元，否则月工资定为 2 100 元令 X 表示此人选 对 A 饮料的杯数，假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 (1)求 X 的分布列； (2)设此员工的工资为 Y 元，求 Y 的分布列 解 (1)选对 A 饮料的杯数 X 的可能取值为 0,1,2,3,4， 其服从参数为 N8，M4，n4 的超几何分布，其概率分别为 P(X0)

6、C 0 4C 4 4 C48 1 70，P(X1) C14C34 C48 16 70 8 35， P(X2)C 2 4C 2 4 C48 36 70 18 35，P(X3) C34C14 C48 16 70 8 35， P(X4)C 4 4C 0 4 C48 1 70. 其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 (2)此员工月工资 Y 的所有可能取值为 3 500,2 800,2 100， 则 P(Y3 500)P(X4) 1 70， P(Y2 800)P(X3) 8 35， P(Y2 100)P(X0)P(X1)P(X2)53 70. 其分布

7、列为 Y 2 100 2 800 3 500 P 53 70 8 35 1 70 反思与感悟 (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何 分布 (2)在超几何分布公式中，P(Xm)C m MC nm NM CnN ，0mn，其中，mminM，n这里的 N 是产品总数， M 是产品中的次品数， n 是抽样的样品数， 且 0nN,0mn， 0mM， 0n mNM. (3)如果随机变量 X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量 X 的所有取值 (4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示 跟踪训练 2 某市 A， B 两所中学的学生

8、组队参加辩论赛， A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生， B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平 相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队 (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列 考点 超几何分布 题点 求超几何分布的分布列 解 (1)由题意知，参加集训的男生、女生各有 6 人 代表队中的学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 3 3C 3 4 C36C

9、36 1 100， 因 此，A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 1 100 99 100. (2)根据题意，得 X 的所有可能取值为 1,2,3. P(X1)C 1 3C 3 3 C46 1 5，P(X2) C23C23 C46 3 5， P(X3)C 3 3C 1 3 C46 1 5. 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 类型三 超几何分布的应用 例3 在10件产品中， 有3件一等品， 4件二等品， 3件三等品 从这10件产品中任取3件 求： (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列； (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的

10、概率 解 (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数为 C310，从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 m(0m3 且 mN)件一等品的结果数为 Cm 3C 3m 7 ，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 m 件一等品的概率为 P(Xm)C m 3C 3m 7 C310 ，m0,1,2,3. 所以随机变量 X 的分布列是 Xk 0 1 2 3 P(Xk) 7 24 21 40 7 40 1 120 (2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A，“恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1，“恰好取出 2 件一等品”为事件 A2，“恰好取出 3

11、 件一等品”为事 件 A3.由于事件 A1，A2，A3两两互斥，且 AA1A2A3. 因为 P(A1)C 1 3C 2 3 C310 3 40， P(A2)P(X2) 7 40， P(A3)P(X3) 1 120， 所以 P(A)P(A1)P(A2)P(A3) 3 40 7 40 1 120 31 120. 即取出的 3 件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为 31 120. 反思与感悟 利用超几何模型求分布列，首先要弄清“产品”有多少个，其中“次品”有多 少个，要取多少个“产品”，即要正确找出超几何分布的参数，然后再利用超几何分布的概 率计算公式进行计算 跟踪训练 3 袋中装有标有数字

12、 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球 上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 个小球上的最 大数字，求： (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X 的分布列； (3)计算一次取球得分介于 20 分到 40 分之间的概率 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列组合在分布列中的应用 解 (1)方法一 “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A) C35C12C12C12 C310 2 3. 方法二 “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为

13、A，“一次取出的 3 个小球 上有两个数字相同”的事件记为 B，则事件 A 和事件 B 是对立事件 因为 P(B)C 1 5C 2 2C 1 8 C310 1 3，所以 P(A)1 1 3 2 3. (2)由题意知，X 所有可能的取值是 2,3,4,5， P(X2)C 2 2C 1 2C 1 2C 2 2 C310 1 30，P(X3) C24C12C14C22 C310 2 15， P(X4)C 2 6C 1 2C 1 6C 2 2 C310 3 10，P(X5) C28C12C18C22 C310 8 15. 所以随机变量 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 1 30 2 15 3 1

14、0 8 15 (3)“一次取球得分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C，则 P(C)P(X3)P(X4) 2 15 3 10 13 30. 1 设袋中有80个红球， 20个白球， 若从袋中任取10个球， 则其中恰有6个红球的概率为( ) A.C 4 80C 6 10 C10 100 B.C 6 80C 4 10 C10 100 C.C 4 80C 6 20 C10 100 D.C 6 80C 4 20 C10 100 答案 D 解析 记取出的 10 个球中红球个数为 X，则 X 服从超几何分布，即 P(X6)C 6 80C 4 20 C10 100 ，故选 D. 2一个盒中有 12

15、个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用(用完即为旧 的)，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4)的值为( ) A. 1 220 B. 27 55 C. 27 220 D. 21 25 答案 C 解析 由题意知，取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球，故 P(X4)C 2 3C 1 9 C312 27 220. 3已知在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示 10 个村 庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 4 7C 6 8 C10 15 的是( ) AP(X2) BP(X2) CP(

16、X4) DP(X4) 考点 超几何分布 题点 利用超几何分布求概率 答案 C 解析 X 服从超几何分布， 基本事件总数为 C10 15， 所求事件数为 C X 7C 10X 8 ， P(X4)C 4 7C 6 8 C10 15 . 4从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加数学竞赛，则所选 3 人中，女生的人数不超过 1 人的概率为_ 考点 超几何分布 题点 利用超几何分布求概率 答案 4 5 解析 设所选女生数为随机变量 X，则 X 服从超几何分布，所以 P(X1)P(X0)P(X 1)C 0 2C 3 4 C36 C 1 2C 2 4 C36 4 5. 5一个袋中有形状大小完全相同的

17、 3 个白球和 4 个红球 (1)从中任意摸出一球，用 0 表示摸出白球，用 1 表示摸出红球，求 X 的分布列； (2)从中任意摸出两个球，用 0 表示两个球全是白球，用 1 表示两个球不全是白球，求 X 的分 布列 解 (1)X 的分布列为 X 0 1 P 3 7 4 7 (2)P(X0)C 2 3 C27 1 7， X 的分布列为 X 0 1 P 1 7 6 7 超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道 N，M 和 n 就可 以根据公式： P(Xk)C k MC nk NM CnN 求出 X 取不同值 k 时的概率学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合 条件以及组合知识理解 M，N，n，k 的含义.