第一章 计数原理 章末复习课 学案(人教B版高中数学选修2-3)
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1、第一章第一章 计数原理计数原理 章末复习章末复习 学习目标 1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.理解排列与组合的区别与联系, 能利用排列组合解决一些实际问题.3.能用计数原理证明二项式定理,掌握二项式定理和二项 展开式的性质 1分类加法计数原理 做一件事,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m1种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法在第 n 类办法中有 mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 Nm1m2 mn种不同的方法 2分步乘法计数原理 做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1种不同的方法,做第二步有 m2种不同 的方法做第 n 步有 mn种不同的
2、方法,那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同 的方法 3排列数与组合数公式及性质 排列与排列数 组合与组合数 公式 排列数公式 Am nn(n1)(n 2)(nm1) n! nm! 组合数公式 Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m! n! m!nm! 性质 当mn时, Am n为全排列A n n n! ;0!1 C0nCnn1; Cm nC nm n ; Cm nC m1 n Cm n1 备注 n,mN且 mn 4.二项式定理 (1)二项式定理的内容: (ab)nC0nanC1nan 1b1Cr na nrbrCn nb n (nN ) (2)通项公式:Tr1Crnan rbr
3、,r0,1,2,n (3)二项式系数 Crn,r0,1,2,n的性质: 与首末两端等距离的两个二项式系数相等; 若 n 为偶数, 其展开式中间一项 1 2 n T 的二项式系数最大; 若 n 为奇数, 中间两项 1 2 n T 与 1 1 2 n T 的二项式系数相等且最大 C0nC1nC2nCnn2n;C0nC2nC1nC3n2n 1. 类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用 命题角度 1 分类讨论思想 例 1 车间有 11 名工人,其中 5 名男工是钳工,4 名女工是车工,另外两名老师傅既能当车 工又能当钳工,现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,则有多少
4、种 选派方法? 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 解 方法一 设 A,B 代表 2 位老师傅 A,B 都不在内的选派方法有 C45C445(种), A,B 都在内且当钳工的选派方法有 C22C25C4410(种), A,B 都在内且当车工的选派方法有 C22C45C2430(种), A,B 都在内且一人当钳工,一人当车工的选派方法有 A22C35C3480(种), A,B 有一人在内且当钳工的选派方法有 C12C35C4420(种), A,B 有一人在内且当车工的选派方法有 C12C45C3440(种), 所以共有 C45C44C22C25C44C22C45C24A22C35C34
5、C12C35C44C12C45C34185(种) 方法二 5 名男钳工有 4 名被选上的方法有 C45C44C45C34C12C45C24C2275(种), 5 名男钳工有 3 名被选上的方法有 C35C12C44C35C34A22100(种), 5 名男钳工有 2 名被选上的方法有 C25C22C4410(种), 所以共有 7510010185(种) 方法三 4 名女车工都被选上的方法有 C44C45C44C35C12C44C25C2235(种), 4 名女车工有 3 名被选上的方法有 C34C12C45C34C35A22120(种), 4 名女车工有 2 名被选上的方法有 C24C22C4
6、530(种), 所以共有 3512030185(种) 反思与感悟 解含有约束条件的排列、组合问题,应按元素的性质进行分类,分类时需要满 足两个条件 (1)类与类之间要互斥(保证不重复) (2)总数要完备(保证不遗漏) 跟踪训练 1 从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中, 任取 3 个数字组成无重复数字的三位数, 其中若有 1 和 3 时,3 必须排在 1 的前面;若只有 1 和 3 中的一个时,它应排在其他数字的前面,这样 不同的三位数共有_个(用数字作答) 考点 两个计数原理的应用 题点 两个计数原理与排列组合的综合应用 答案 60 解析 1 与 3 是特殊元素,以此为分类标准进行分
7、类 分三类:没有数字 1 和 3 时,有 A34个; 只有 1 和 3 中的一个时,有 2A24个; 同时有 1 和 3 时,把 3 排在 1 的前面,再从其余 4 个数字中选 1 个数字插入 3 个空当中的 1 个即可,有 C14 C13个 所以满足条件的三位数共有 A342A24C14 C1360(个) 命题角度 2 “正难则反”思想 例 2 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60 的共有( ) A24 对 B30 对 C48 对 D60 对 考点 两个计数原理的应用 题点 两个计数原理与排列组合的综合应用 答案 C 解析 如图, 在正方体ABCDA1B1C1D1中
8、, 与面对角线AC成60 角的面对角线有B1C, BC1, A1D,AD1,AB1,A1B,D1C,DC1,共 8 条,同理与 DB 成 60 角的面对角线也有 8 条因此 一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上的 8 条对角线共组成 16 对又正方体共有 6 个面,所以共有 16696(对)又因为每对被计算了 2 次, 因此成 60 角的面对角线有1 296 48(对) 反思与感悟 对于正面处理较复杂或不易求解的问题,常常从问题的对立面去思考 跟踪训练 2 由甲、乙、丙、丁 4 名学生参加数学、写作、英语三科竞赛,每科至少 1 人(且 每人仅报一科),若学生甲、乙不能同时参加同一竞
9、赛,则不同的参赛方案共有_种 考点 两个计数原理的应用 题点 两个计数原理与排列组合的综合应用 答案 30 解析 从 4 人中选出两个人作为一个元素有 C24种方法, 同其他两个元素在三个位置上排列有 C24A3336(种)方案,其中有不符合条件的, 即学生甲、乙同时参加同一竞赛有 A33种参赛方案, 不同的参赛方案共有 36630(种) 类型二 排列与组合的综合应用 例 3 在高三一班元旦晚会上,有 6 个演唱节目,4 个舞蹈节目 (1)当 4 个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序? (2)当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序? (
10、3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板 2 个节目,但不能改变原来节目的 相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序? 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 解 (1)第一步先将 4 个舞蹈节目捆绑起来,看成 1 个节目,与 6 个演唱节目一起排,有 A77 5 040(种)方法;第二步再松绑,给 4 个节目排序,有 A4424(种)方法 根据分步乘法计数原理,可知一共有 5 04024120 960(种)安排顺序 (2)第一步将 6 个演唱节目排成一列(如图中的“”),一共有 A66720(种)方法 第二步再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的位置)这样相
11、当于 7 个“”选 4 个来排,一共有 A47840(种)方法 根据分步乘法计数原理可知,一共有 720840 604 800(种)安排顺序 (3)若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有 A12 12种排法,但原来的节目已定好顺序,需要 消除,所以节目演出的方式有A 12 12 A10 10A 2 12132(种)排列 反思与感悟 排列与组合的综合问题,首先要分清何时为排列,何时为组合对含有特殊元 素的排列、组合问题,一般先进行组合,再进行排列对特殊元素的位置有要求时,在组合 选取时,就要进行分类讨论,分类的原则是不重、不漏在用间接法计数时,要注意考虑全 面,排除干净 跟踪训练 3 两人进行乒
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