1.3.1 单调性 学案(苏教版高中数学选修2-2)
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1、13 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 131 单调性单调性 学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能 利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间 知识点 函数的单调性与导函数正负的关系 思考 1 观察高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t)4.9t26.5t10 的图象及 h(t)9.8t6.5 的图象, 思考运动员从起跳到最高点, 从最高点到入水的运动状态有什么 区别 答案 从起跳到最高点,h 随 t 的增加而增加,h(t)是增函数,h(t)0;从最高点到入水,h(t) 是减函数,h(t)0 0 锐角 上升 递增
2、0 0,那么 f(x)为该区间上的增函数; 如果在某区间上 f(x)0,那么 f(x)在区间(a,b)内单调递增( ) 2如果函数 yf(x)在区间(a,b)上单调递增,那么它在区间(a,b)上都有 f(x)0.( ) 类型一 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例 1 求下列函数的单调区间: (1)yx32x2x; (2)f(x)3x22ln x. 解 (1)y3x24x1. 令 3x24x10,解得 x1 或 x1 3, 因此,yx32x2x 的单调增区间为(1,), ,1 3 . 再令 3x24x10,解得1 3x0,即 2 3x21 x 0, 解得 3 3
3、x 3 3 . 又x0,x 3 3 . 令 f(x)0,即 2 3x21 x 0, 解得 x 3 3 或 0x0,0x0 或 f(x)0,不等式的解集就是函数的单调区间 (2)如果函数的单调区间不止一个时,应用“及”、“和”等连接,而不能写成并集的形式 (3)要特别注意函数的定义域 跟踪训练 1 函数 f(x)(x22x)ex(xR)的单调减区间为_ 答案 (2 2,2 2) 解析 令 f(x)(x24x2)ex0, 即 x24x20, 解得2 2x0,得 x1;令 f(x)0,得 0x0 时,f(x) a xa1 a x1 x , a0,a1 a 0,得 x1;令 f(x)0,得 0x0,
4、所以 f(x)在(,)上单调递增 若 a0,则当 x(,ln a)时,f(x)0. 所以 f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增 综上所述,当 a0 时,函数 f(x)的单调增区间为(,); 当 a0 时,f(x)的单调增区间为(ln a,),单调减区间为(,ln a) 类型二 已知函数的单调性求参数的范围 例 3 若函数 f(x)kxln x 在区间(1,)上单调递增,则 k 的取值范围是_ 答案 1,) 解析 由于 f(x)k1 x, f(x)kxln x 在区间(1, )上单调递增f(x)k 1 x0 在(1, )上恒成立 由于 k1 x,而 0 1 x1,所以
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